山东省聊城市临清市2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市临清市2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图A．B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）

A．、的两条高线的交点处B．．两内角平分线的交点处
C．、两边中线的交点处D．、两条边垂直平分线的交点处
4．如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为( )

A．B．C．D．
5．对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为0B．当时，分式无意义
C．时，分式的值为D．当时，分式的值为正数
6．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A．B．C．D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）

A．0B．5C．7D．9
9．若分式中的和都扩大3倍，分式的值不变，则可以是（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，中，，点是，垂直平分线的交点，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
11．如图，，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）．
A．20°或70°B．20°、70°或100°C．40°或100°D．40°、70°或100°
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则 ．
14．小明沿一段笔直的人行道行走，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．根据上述信息，可知标语的长度为 米．
15．已知非零实数，满足，则的值等于 ．
16．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是 ．

17．按一定规律排列的式子：，，，，……第个式子是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
19．如图，，，，是同一条直线上的点，，，，那么与相等吗？为什么？

20．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：，线段．
求作：，使．
21．有这样一道题：“计算的值，其中”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也正确，这是怎么回事？
22．如图，中，是的中点，于，于点，且．那么平分吗？为什么？
23．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小；
(3)求的面积．
24．已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．

(1)吗？为什么？
(2)试说明垂直平分．
25．如图，已知中，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度；
(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间，点与点第一次在的哪条边上相遇？
答案与解析
1．C
【分析】本题考查全等图形的概念：能够完全重合的平面图形叫做全等图形，全等图形的大小和形状完全相同．根据定义判断即可．
【详解】解：根据全等图形的定义可知：选项C符合题意
故选：C．
2．C
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3．D
【分析】连接、、，根据得出O在的垂直平分线上，根据，得出O在的垂直平分线上，即可得出选项．
【详解】解：如图，、两条边垂直平分线的交点O，则点O为超市的位置，
连接、、，
∴，，
∴，
∴超市到三个小区的距离相等.
故选：D．

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，注意线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4．B
【分析】先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．
5．A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件，根据分式有意义的条件：分母不为0，分式职位0的条件：分子等于0，分母不等于0，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，当时，分式无意义，故A不正确，符合题意；
B、当时，分式无意义，故B正确，不符合题意；
C、时，，故C正确，不符合题意；
D、当时，，∴分式的值为正数，故D正确，不符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法“”即可证明．
【详解】∵点分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴．
故选：C
7．B
【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可．
【详解】A. ，
∵，
∴A错误；
B. ，
∵，
∴B正确；
C. ，
∵，
∴C错误；
D. ，
∵，
∴D错误．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的三边关系定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，

∵点关于直线，的对称点分别是点，，且，
，
在中，，
，
故选：B．
9．C
【分析】此题考查了分式的性质，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
【详解】解：∵和都扩大3倍，
∴分子扩大到原来的：倍，
∵分式的值不变，
∴分母也扩大为原来的9倍，
∵x扩大3倍，扩大原来的9倍，
∴也要扩大原来的9倍，
∵y扩大3倍，
∴y，都扩大原来的3倍，扩大原来的9倍，2不扩大，
∴可以是，故C正确．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接、，根据三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接、，

∵，
∴，
∵是，垂直平分线的交点，
∴，，
，，，
，
，
，
．
故选：A．
11．B
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
【详解】∵，
，，
，
在中，，
∵，
，
，
整理得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．
12．D
【分析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
．
当时，如图所示，
，，
，
平分，
，
，
，
故的度数是：、或，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型．
13．16
【分析】此题主要考查关于轴对称点的性质，根据关于轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数求出的值即可得到答案．
【详解】解：由于点和点关于轴对称，
，
解得，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与形状，证即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵相邻两平行线间的距离相等，，三点共线
∴
∴
∵
∴
∴米．
故答案为：
15．
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据得出，将其代入进行计算化简即可．
【详解】解：∵，
∴，则，
∴，
故答案为：．
16．18
【分析】过D点作于H，如图，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：过D点作于H，如图，

由作法得平分，
∵，
∴，
∴的面积= ．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用角平分线的性质求出中边上的高是解题的关键．
17．
【分析】根据系数的绝对值分别为连续的奇数，分母为的次，分子为，即可求解．
【详解】解：依题意，按一定规律排列的式子：，，，，
分子的系数规律为，
分母的次数的规律为：
∴第个式子为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据题意，找到分子、分母次数的变化规律是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）直接约分即可求解；
（2）对分子、分母因式分解，再约分即可求解；
（3）先乘方，再约分即可求解；
（4）对分子、分母因式分解，除法运算转化成乘法运算，再约分即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先根据平行线的性质证明，再证明，即可利用证明，从而证明．
【详解】解：，理由如下：
∵，
，
，
∴
，
在和中，
，
，
．
20．见解析
【分析】根据题意题目要求进行作图即可．
【详解】解：①画出射线，
②以点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于点E和点F；以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，交以点B为圆心画的弧于点；
④画出射线，则；
⑤以点B为圆心，b为半径画弧，交射线于点A；以点B为圆心，a为半径画弧，交射线于点P；以点P为圆心，a为半径，交射线于点C，
⑥连接，即为所求．

【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，作线段，解题的关键是熟练掌握相关作图方法．
21．计算结果与x的取值无关
【分析】将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再代值计算，代值时，x的取值不能使得原式的分母，除式为0．
【详解】因为．
与x的取值无关．
∴x=2004错抄成x=2040不影响结果．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再代值计算．
22．平分，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是求证．先证明，从而得到，再利用角平分线的判定定理即可得证．
【详解】解：平分，理由是：
，，
，
是的中点，
，
在和中，，
，
，
又，，
点在的角平分线上，
平分．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据成轴对称的性质，画图即可；
（2）根据的周长等于，得到当的值最小时，三角形的周长最小，根据关于直线对称，进而得到，得到当三点共线时，的值最小，画图即可；
（3）长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行求解即可．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）如图，点P即为所求；
（3）的面积．
【点睛】本题考查轴对称作图．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
24．(1)；理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据折叠的性质得出．即可证明，即可求证；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，，则，推出，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．
【详解】（1）解：，，，，
，
将沿折叠，使点落在直线上的点处，
是的平分线，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，，
，
即，
，
是的平分线，
垂直平分．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠两部分对应边相等，对应角相等；等腰三角形“三线合一”；全等三角形对应边相等，对应角相等．
25．(1)①全等，理由见解析；②秒， 厘米/秒
(2)经过了秒，点与点第一次在边上相遇
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，一元一次方程的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意知，，，，则，证明即可；
②由，可得，当与全等时，，即，则，点、的运动时间：，，计算求解即可；
（2）由题意知，点追上点，即点比点多走的路程，设经过秒后与第一次相遇，依题意得，解得，即运动了，由的周长为56厘米，可得，然后进行作答即可．
【详解】（1）①解：全等，理由如下：
，
∴，
∵，为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴；
②解：∵，
∴，
∴当与全等时，，即，
∴，
∴点、的运动时间：（秒），
此时（厘米/秒）；
（2）解：，
∴点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，
依题意得，
解得（秒），
∴运动了（厘米），
又∵的周长为56厘米，
∴，
∴点，在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇．