山东省聊城市临清市2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市临清市2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）

A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．都不相似
2．已知，则锐角α的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．75°
3．如图，与位似，位似中心为O，且，则的周长与的周长之比为（ ）
A．4∶3B．7∶3C．7∶4D．16∶9
4．式子的值是（ ）
A．B．0C．D．2
5．在中，，，，以点C为圆心，2为半径作，直线与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相切或相交
6．跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
7．如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A．B．C．8D．10
8．如图，，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，，是的弦，延长，相交于点，已知，，则所对的圆心角的度数是（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在中，点D在边上，,，连接，交于点G，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
11．如图，为半圆的直径，，分别切于，两点，切于点，连接，，下结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
12．如图，在梯形中，，平分交于E，且，．如果的面积为2，那么四边形的面积是（ ）

A．2B．C．D．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且OP与x轴正半轴的夹角为．若，则 ．

14．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD= .
15．如图，己知，，，若，写出与a，b之间满足的关系式 ．

16．如图，在中，弦所对的圆周角，，，则 ．

17．如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以为直角三角形，那么的长度是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共69分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．在中，，，求的正弦．

19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．求证：．

20．如图，是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，若，求的度数．

21．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】
22．一块直角三角形木板，它的一条直角边，面积．甲、乙两人分别按图把它加工成一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积大．

23．如图，在斜坡上有一建成的基站塔，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角．（点A，B，C，D，E均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）

(1)求坡面的坡度；
(2)求基站塔的高．
24．如图，己知等腰，，平分，以为直径作，交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接与交于点，若，，①求的长；②求的长．
25．如图，在网格内，、、、．
(1)判断的形状；
(2)画出的外接圆；
(3)点P是第一象限内的一个格点，．
①写出一个点P的坐标_____；
②满足条件的点P有_____个．
答案与解析
1．B
【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似图形对应边成比例，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故甲和乙不相似，不符合题意；
B、，，故甲和丙相似，符合题意；
C、，故乙和丙不相似，不符合题意；
D、由B可知，甲和丙相似，故D不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】根据得到即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
3．A
【分析】直接利用位似图形的性质得出△ABC与△DEF的周长之比．
【详解】∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，且，
∴△ABC与△DEF的周长之比是：4：3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
4．B
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案：
.故选B.
【详解】请在此输入详解！
5．C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形．熟记相关结论即可．
若⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，当时，直线与⊙O相切；当时，直线与⊙O相交；当时，直线与⊙O相离．
【详解】解：作，如图所示：

∵，，
∴
∴
故直线与的位置关系是相交
故选：C
6．D
【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．
【详解】根据题意，此时小李离着落点A的距离是，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
7．B
【分析】作于M，延长交于N，连接，，由垂径定理，勾股定理即可求解．
【详解】解：作于，延长交于，连接，，设，
∵、是两条平行弦
∴
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理进行解题．
8．B
【分析】根据，可知，因此只要再找一组角相等或夹这组角的一组对应边成比例即可．
【详解】A.
△ABC∽△ADE
故A不符合题意；
B项中两组对应边成比例但无法证明△ABC∽△ADE，
故B符合题意；
C.
△ABC∽△ADE
故C不符合题意；
D.
△ABC∽△ADE
故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴所对的圆心角的度数的度数是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，判断出三角形相似是解题的关键．根据三角形对应边比相等求解即可．
【详解】解：，
，
，故选项A错误；
,，
四边形是平行四边形，
，
,故选项B错误；
，
，
，
故选项C正确；
，
，
，
故选项D错误．
故选C．
11．D
【分析】此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的面积计算等知识与方法，连接，由分别切于两点，切于点，根据切线长定理得 ，，则 ，可判断 正确；由是的直径得，，则，于是有 ，由切线长定理 得，，则 ，因此 ，可判断正确；根据“”可分别证明，，则 ，可判断正确； 先由， ，证明，根据相似三角形的对应边成比例得到，故错误；正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，

∵分别切于两点，切于点，
∴，，
∴，故正确；
∵是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∵ ， ，
∴，
∴，故正确；
∵是的半径，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴， 故正确；
∵， ，
∴，
∴，
∴，故错误；
故选：．
12．B
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质和相似三角形的判定和性质，延长和交于O，根据题意得，有，得到的面积是2，，由，得，利用三角形面积比为边长比的平方即可求得答案．
【详解】解：延长和交于O，

∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且的面积为2，
∴的面积是2，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：，
故选：B．
13．10
【分析】本题考查了正切值的概念，勾股定理，
过点作轴的垂线段，交轴于点，则，利用，可得的值，再利用勾股定理即可解答，
根据，想到作直角三角形，作出辅助线，是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线段，交轴于点，则，
，
，
，
，
故答案为：10．

14．4
【分析】由∠BAC=∠ADC可证△BAC∽△ADC，再由相似比及已知线段长度即可求解CD长度.
【详解】解：∵∠C=∠C，∠BAC=∠ADC
∴△BAC∽△ADC，
∴AC:BC=CD:AC，
∴CD=AC2÷BC=82÷16=4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质.
15．
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．由得出即可得到答案．
【详解】解：解：，
，
，
，
故答案为：．
16．30
【分析】连接、、，由圆周角定理得，则是等腰直角三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：连接、、，如图所示：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理，证明为等腰直角三角形、为等边三角形是解题的关键．
17．或
【分析】根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则，即可求出的长，得到的长．
【详解】解：∵，，，
∴
∴是直角三角形，，
沿折叠和重合，
，
设，则，
当时，，
，，
，
解得：，
则，
当时，，即，
解得：，
则．
故CF或，
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
18．
【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，三线合一定理，勾股定理，过点A作于点D，利用三线合一定理得到，利用勾股定理得到，则.
【详解】解：如图所示，过点A作于点D，

∵，，
∴，
∴，
∴．
19．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明．
【详解】证明：由图可知，，，，

∴，
∴
∴．
20．
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，连接，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵是的内切圆，与分别相切于点D，E，F，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21．海里
【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离．
【详解】解：如图，过点作于点，

在中，，，
∵，，
∴（海里），（海里），
在中，，，
∴（海里），
∴（海里），
∴、两岛之间的距离约为海里．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．图1，见解析
【分析】根据相似三角形的性质，得出相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求出正方形的边长，根据正方形边长求出面积即可判断．
【详解】解：按图1加工的正方形面积大．
理由：在中，，面积，
∴．
在图1中，
∵是直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得．
在图2中，作，垂足为，交于点．
∵四边形是正方形，
∴，
∴∽．
∴．
∵，
∴
设，则，．
∴，解得．
∵，
∴按图1加工的正方形面积大．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．
23．(1)
(2)基站塔的高为17.5米
【分析】本题主要考查解直角三角形，通过作垂线构造垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算．
（1）过点D作于点M，延长，交于点N，过点D作于点F．利用勾股定理即可求解．
（2）设米，则米，米，表示出，再由锐角三角函数列出方程即可．
【详解】（1）解：解：如图，过点D作于点M，延长，交于点N，过点D作于点F．

（米），（米），
（米）
坡面的坡度为：；
（2）解：设米，则米，米，
，
，
米，
米．
在中，
米，米，，
，
解得；
（米），
（米），
．
答：基站塔的高为17.5米．
24．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据三线合一定理得到，即可证明是的切线；
（2）①如图所示，连接，，，由角平分线的定义和圆周角定理得到，即可利用三线合一定理得到，利用勾股定理求出，即可求出的长；
②证明，得到，利用相似三角形的性质求出，证得、是等腰直角三角形，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①连接，，，

∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三线合一定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．(1)直角三角形
(2)见解析
(3)①或或或或；②5
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可确定的形状；
（2）根据网格即可画出的外接圆．
（3）点P是第一象限内的一个格点，．①根据网格，即可写出一个点P的坐标；②满足条件的点P有5个．
【详解】（1）解：如图所示：由坐标可得：，，，
∴，
∴的形状是直角三角形．
（2）的外接圆即为所求作的图形；
（3）点P是第一象限内的一个格点，．
①点P的坐标为或或或或．
②满足条件的点P有5个．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、勾股定理及其逆定理、三角形的外接圆与外心，圆周角定理．