山东省菏泽市定陶区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市定陶区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析），共17页。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．下列各式：，，，其中分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
4．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
5．下列三角形，不一定是等边三角形的是
A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形
6．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，若，则图中的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，6，4，7B．5，6，7，8C．2，4，6，8D．10，15，8，12
8．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．腰底不等的等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．如图，点C在上，在线段的同侧作等边和等边，、相交于点F，与交于点M，与交于点N，连接下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③④C．①②④D．①③④
10．如图，在中，，，的面积为的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为( )
A．7B．8C．9D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．的最简公分母是 ．
12．已知点、关于y轴对称，则 ．
13．若分式的值为0，则的值为 ．
14．如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于 ．

15．如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°则∠C= 度；
16．计算的结果是 ．
三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．计算：
(1)
(2)
18．先化简再求值：，其中a满足与2和3构成的第三边，且a为整数．
19．尺规作图：已知线段a和．
作一个，使，，．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

20．已知，如图，，，，求证：．
21．如图，，．求证：．
22．如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．
(1)说明：；
(2)若，求的度数．
23．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
24．如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B匀速运动，同时，点Q在线段上由点B向点D匀速运动，设点Q的运动速度为 ．当与全等时，求x的值．
25．如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的度数．
26．阅读下列材料：通过以前的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；
解决下列问题：
(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式．
答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是轴对称图形，
故选：D．
2．B
【分析】根据分式的定义：“形如，中含有字母，这样的式子叫做分式”，进行判断即可．
【详解】解：在，，，中，分式有，，共2个；
故选B．
3．A
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据所给图形结合全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法，可画出与此直角三角形全等的三角形，
故选：A．
4．D
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得，
故选：．
5．D
【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．
【详解】A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；
B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；
C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；
D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
6．A
【分析】根据平角的定义得出，再根据折叠的性质得出，进而求出，最后根据直角三角形两锐角互余以及对顶角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形沿折叠得到四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，直角三角形两锐角互余．
7．D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵3×7 4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8 6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8 4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵8×15 = 10×12，∴四条线段成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
8．A
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2再化简得（a−b）2＋（a−c）2＋（b−c）2＝0，得出：a＝b＝c,即选出答案．
【详解】解：等式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac等号两边均乘以2得：
2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac
即a2−2ab＋b2＋a2−2ac＋c2＋b2−2bc＋c2＝0，
即（a−b）2＋（a−c）2＋（b−c）2＝0，
解得：a＝b＝c,
所以，△ABC是等边三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，完全平方公式以及非负数的性质，化简式子得a＝b＝c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．
9．C
【分析】证明即可证明①正确；证明全等，即可证明②正确，从而证明④正确；根据三角形外角的性质求出，即可得到答案．
【详解】解：等边和等边，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故②正确；
为等边三角形，
，
，故④正确；
，
，
，
，
，
，故③错误．
综上所述，①②④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查的是轴对称之最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求得．
【详解】解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
的长即为的最小值，即的最小值为，
故选：D．
11．
【分析】本题考查最简公分母，掌握最简公分母的定义是解题的关键．先得出整式的各项的分式的分母，再根据最简公分母的定义进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
整式的各项的分式的分母为：，
又知，
故的最简公分母为：．
故答案为：．
12．
【分析】根据横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算，熟练掌握对称的特点是解题的关键．
【详解】∵点、关于y轴对称，
∴
∴．
故答案为：．
13．
【分析】根据分式值为0可得分母为0，分子不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
14．
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的边上的高相等，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，过点O作于D，于E，于F，

∵O是三条角平分线的交点，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15．28
【详解】连接线段AD
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD
∴∠B=∠C
又∵∠B=28°
∴∠C=28°
故答案为28°
16．
【分析】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【详解】解：原式，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）通分再进行计算即可；
（2）由完全平方公式和平方差公式进形因式分解再进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．，1
【分析】先化简，根据三角形存在性，确定a的值，后代入计算即可，本题考查了分式的化简求值，化简是关键．
【详解】
，
根据a满足与2和3构成的第三边，且a为整数，
，
故，
由于，
故，
故，
原式．
19．图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图，根据尺规作一个角等于已知角和尺规作线段的步骤画图即可．
【详解】解：如图，即为所求作：
20．见解析
【分析】利用平行线的性质证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，关键熟练应用判定来求解．
21．证明过程见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等．先根据得出，再根据全等三角形的判定得出，解答即可．
【详解】证明：∵，
∴
，
在和中
，
，
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质进一步可得，即可得证；
（2）根据平行线的性质可得的度数，根据等腰三角形的性质即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
（2）解：∵，
平分
23．，
【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可．
【详解】解：过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
24．3或
【分析】与全等，则分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可．
【详解】解：∵，
∴为对应顶点，
①若， 则，
即，
解得：；
②若， 则，
，
解得：；
综上所述，当或时，与全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质，解题的关键是注意分类讨论思想进行求解．
25．(1)的周长是8
(2)的度数是
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
（1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案；
（2）由，即可得，又由，即可求得的度数．
【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．(1)假
(2)
【分析】本题考查分式的定义、分式的运算，解答的关键是理解题中新定义并熟练应用．
（1）利用假分式的的定义判断即可；
（2）仿照题中的例子方法运算即可．
【详解】（1）解：∵分式的分子的次数等于分母的次数，
∴分式是假分式；
（2）解：
．