山东省菏泽市定陶区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题(含解析)

这是一份山东省菏泽市定陶区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．有一组数据：2，5，0，3，5，则这组数据的众数是（ ）
A．0B．3C．5D．以上都不对
4．若点与点关于轴对称，则（ ）
A．2024B．C．D．1
5．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A．B．C．D．
6．能说明命题“若，则”为假命题的一个反例可以是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，兔子的三个洞口构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点
9．“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修，结果提前10天完成
10．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11．“对顶角相等”的逆命题是 （填“真”或者“假”）命题．
12．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为
13．若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
14．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1＝70°，则∠MKN＝ °．
15．如图，用直尺和圆规作角的平分线，是运用性质“全等三角形的对应角相等”．若判定三角形全等，则需利用作图所得条件，其判定方法是 （填：或或或）．
16．如图，在中，，，边上的高，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是 ．
三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．解分式方程：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，已知，，．求证：
20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
21．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
22．已知、、是的三边长，且．
(1)求的值．
(2)若的周长为，求各边的长．
23．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
24．在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为、、三个等级，其中相应等级的得分依次记为级100分、级90分、级80分，达到级以上（含级）为优秀，其中8（2）班有2人达到级．将两个班的成绩整理并绘制成如图的统计图．请解答下列问题：
8（1）班成绩统计图 8（2）班成绩统计图

8（1）（2）班竞赛成绩统计表
(1)求各班参赛人数，并补全条形统计图；
(2)此次竞赛中8（2）班成绩为级的人数为______；
(3)小明根据以上信息制作了8（1）（2）班竞赛成绩统计表：请分别求出和的值，并综合考虑“平均分”“优秀率”和“稳定性”三方面因素，判断这两个班哪个班的成绩更好一些．
25．阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：知，所以，即．
所以．
故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：，求的值．
26．问题情境：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接．
(1)小明发现：，请你帮他写出推理过程；
(2)李洪受小明的启发，求出了的度数，请直接写出为______°；
(3)轩轩在前面两人的基础上又探索出了与的位置关系为______；
(4)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为的边上的高，连接，试探究，，之间有怎样的数量关系．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题．
【详解】解：，，
，
，
，
点恰好在的延长线上，
，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查的是众数，理解“一组数中出现次数最多的数就是这组数据的众数”是解题的关键．
分别找出2，5，0，3这四个数出现的次数，找出出现次数最多的数即可．
【详解】解：这组数据中2出现1次，5出现2次，0出现1次，3出现1次，
∴出现次数最多的是5，众数是5，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了关于轴对称点的性质、有理数的乘方运算，直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算，即可解题．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可．
【详解】解：，
故选A．
6．A
【分析】当时，满足，但不能得到，于是可作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例．
【详解】解：说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．A
【分析】过O作OP⊥AB，连接OB，根据角平分线的性质可得点O到边AC、BC、AB的距离相等，，结合三角形面积的不同求法列式求出OP，即可得出答案．
【详解】解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到边AC、BC、AB的距离相等，
过O作OP⊥AB，连接OB，
S△ABC＝S△AOC＋S△OAB＋S△OBC＝OP•AC＋OP•AB＋OP•BC＝OP•（AB＋BC＋AC），
又∵AC＝5cm，BC＝4cm，∠B＝90°，
∴AB＝3cm，
∴×3×4＝•OP（3＋4＋5），
解得：OP＝1，
∴点到边的距离为1cm，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积的求法，正确表示出三角形面积是解题关键．
8．A
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，用线段垂直平分线性质判断即可，熟练掌握性质是解题的关键；
【详解】解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
∵方程，
其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
10．A
【分析】连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=100°，推出2∠DAO+2∠FBO=100°，推出∠DAO+∠FBO=50°，由此即可解决问题．
【详解】如图，连接AO、BO．
由题意EA=EB=EO，
∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∵DO=DA，FO=FB，
∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，
∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO=100°，
∴2∠DAO+2∠FBO=100°，
∴∠DAO+∠FBO=50°，
∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，
∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-140°=40°，
故选A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．
11．假
【分析】先写出“对顶角相等”逆命题，然后再进行判断即可．
【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义．
12．4
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【详解】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．1
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：；
∵分式方程有增根，
∴，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．40
【分析】由折叠的性质可求出∠KMN，进而得到∠KMA，然后利用平行得到内错角相等，即可得答案.
【详解】解：由折叠的性质可得：∠1＝∠KMN＝70°，
∴∠KMA＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵DN∥AM，
∴∠MKN＝∠KMA＝40°，
故答案为40
【点睛】本题考查折叠的性质以及平行线的性质，由折叠得到对应角相等是关键.
15．
【分析】本题考查的是作图−基本作图，易知，，因此符合的条件．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．
【详解】解：连接，，
由作图知：在和中，
，
∴（），
故答案为：．
16．8
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得当点共线时，取最小值，最小值为，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，，
是等边三角形，
是边上的高，
垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为，
又∵在等边中，是边的中点，
是边上的高，
，
即的最小值为8，
故答案为：8．
17．(1)原分式方程的解为
(2)原分式方程无解
【分析】(1)首先方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得；
(2)方程两边同时乘 ，去分母，再解整式方程即可求得．
【详解】（1）方程两边乘，得.
解得.
检验：当时，.
所以原分式方程的解为.
（2）方程两边乘，得.
解得.
检验：当时，.
所以原分式方程无解.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，在去分母时，一是要找准公分母，二是要每一项都要乘以公分母，注意解分式方程要检验．
18．，6
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则化简，利用得到，即可解题．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
，
原式．
19．见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练应用三角形全等的判定是解题的关键．利用平行线的性质证明，再利用证明．
【详解】证明：，
，
在和中，
．
20．见解析
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论．
【详解】证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴，
∵EF垂直平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．见解析
【分析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．
【详解】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质证得AD=CD是解决问题的关键．
22．(1)
(2)，，
【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键．
（1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解；
（2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解．
【详解】（1）解：设，
，，，
代入，得；
（2）由题意知，，
则，
解得，
，，．
23．(1)甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
(2)乙商店租用服装的费用较少，理由见解析
【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案．
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
（2）解：乙商店租用服装的费用较少．
理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
24．(1)8（1）、八（2）班参赛人数是10；图见解析
(2)1
(3)，，8（2）班的成绩更好一些
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数是正确解答的关键．
（1）从两个统计图可知八（2）班成绩为A等级的学生有2人，占调查人数的20%，由频率频数总数可求出八（2）班调查人数，进而求出八（1）班成绩为C等级的人数，补全条形统计图；
（2）根据频率频数总数进行计算即可；
（3）根据平均数，方差的计算方法进行计算即可求出，的值，再根据平均数、优秀率的大小和方差的大小得出结论即可．
【详解】（1）解：八（2）班调查人数为（人），
∵8（1）和8（2）班参赛人数相同，
∴八（1）班调查人数也是10人，
所以样本中八（1）班成绩在C等级的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）8（2）班成绩为C级的人数为（人），
故答案为：1；
（3）八（1）班学生成绩的平均数为（分），即，
八（1）班学生成绩的方差为，即，
八（1）班学生成绩的优秀率为，
八（2）班学生成绩的优秀率为，
从平均数看，两个班成绩相同，
从优秀率看，，所以八（2）班的成绩较好，
从方差来看，，所以八（2）班的成绩较稳定．
综合来看，8（2）班的成绩更好一些．
25．
【分析】由同时取倒数，可得，方程左侧分子、分母同时除以，可得，取倒数后分子、分母同时除以可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解．
【详解】解：由知，
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解本题关键．
26．(1)见解析
(2)60
(3)平行
(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到，利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质、结合图形计算，得到答案；
（3）根据内错角相等、两直线平行解答；
（4）根据直角三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
即：，
在和中，，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：；
（4）解：，
证明如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可知，则，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
平均数（分）
中位数（分）
方差（分2）
8（1）
90
8（2）
91
90
29