苏科版七年级上册第2章 有理数2.8 有理数的混合运算学案及答案

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知识精讲
知识点01 有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【微点拨】
（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
在运算过程中注意运算律的运用．
【即学即练1】1．计算：（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】B
【分析】
直接根据有理数的运算法则，进行计算即可．
【详解】
解：
=
=
=0
故选：B．
【知识拓展】
应用四个原则
1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．
把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法．
(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。
(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。
知识点02 科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
【微点拨】
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【即学即练2】2．2020年新冠疫情在全球部分国家迅速蔓延，截止美国东部时间11月8日，美国感染新冠病毒的人数达到9940000人，数字9940000用科学记数法可以表示为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】
解：9940000=9.94×106，
故选：C．
【知识拓展1】
掌握运算技巧
（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。
（2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
（3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
（4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
（5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。
（6）、裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法
（7）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。
乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便.
【知识拓展2】
理解转化的思想方法
有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。
有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算．其关键是注意两个变：(1)变减号为加号；(2)变减数为其相反数。另外被减数与减数的位置不变．例如（-12）-(+18)+(-20)-(-14)．
有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幂)。
因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。
总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．
能力拓展
考法01 有理数混合运算
先乘方、在乘除、最后加减
同级运算，从左到右进行
如有括号，先做括号内的运算；按小括号、中括号、大括号依次进行。
【典例1】下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
计算出各项结果，即可做出判断．
【详解】
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】
利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
故选B．
2．下列各式计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据有理数加减乘除运算法则判断结果的正负．
【详解】
A选项，，结果是正数；
B选项，，结果是正数；
C选项，，结果是负数；
D选项，，结果是正数．
故选：C．
3．下列计算：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据有理数的加减乘除运算法则逐个判断即可得．
【详解】
，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
，故④错误；
故选：B．
4．下列计算中，正确的数量是（ ）
①；②；③；④．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
根据有理数的加、减、乘除计算法则进行计算．
【详解】
①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③错误；
④
故④错误
∴正确的数量为0．
故选A．
5．10克盐溶于100克水中，则盐与盐水的比是（ ）
A．1：8B．1：9C．1：10D．1：11
【答案】D
【分析】
用盐的重量比上盐水的重量即可求解．
【详解】
盐与盐水的比是10：（10＋100）＝1：11．
故选：D．
6．设，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据有理数的乘方运算，分别求得a，b，c的值，然后进行大小比较即可．
【详解】
解：，，
∵-36＜-18＜36
∴
故选：B．
7．与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据有理数的乘法法则、减法法则、加法法则分别进行计算可得答案.
【详解】
解：A、与不相等，故此选项错误；
B、，与不相等，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、 ，与不相等，故此选项错误；
故选：C.
题组B 能力提升练
1．甲，乙两个油桶中装有体积相等的油，先把甲桶的油倒一半到乙桶，再把乙桶的油倒出一半给甲桶，结果（ ）
A．甲桶中的油多B．乙桶中的油多C．甲、乙两个桶油一样多D．不能确定
【答案】A
【分析】
采用设数法，将甲、乙两个油桶中体积相等时的油的体积设为“1”，分别算出倒两次之后甲乙两桶中油的体积，即可得解．
【详解】
解：甲、乙两个油桶中装有体积相等的油，
将此时甲、乙两个油桶中油的体积设为“1”，
则把甲桶的油倒一半到乙桶后，
甲桶中油的体积设为“”，乙桶中油的体积为：，
再把乙桶的油倒出一半给甲桶，
则乙桶油的体积为：，甲桶中油的体积为：，
，∴甲桶中的油多，
故选：A．
2．如果是最大的负整数，是绝对值最小的整数，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2017
【答案】C
【分析】
由于x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，由此可以分别确定x=-1，y=0，把它们代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：∵x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，
∴x=-1，y=0，
∴-x2017+y=-（-1）2017+0=1．
故选：C．
3．在□的□中填上运算符号，使结果最小，这个符号是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
【答案】A
【分析】
根据题意可以分别计算出□中填上、、、后的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：，
，
，
，
要使得□的值最小，□中填上运算符号是“”，
故选：A．
4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据数轴可得，然后依此可排除选项．
【详解】
解：由数轴可得：，则有：
A、，错误，故不符合题意；
B、，正确，故符合题意；
C、，错误，故不符合题意；
D、，错误，故不符合题意；
故选B．
5．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，a的形式，又可以表示的形式，则________．
【答案】0
【分析】
根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，再根据分母不为0判断出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若a=0，会使无意义，
∴a≠0，只能a+b=0，即a=-b，于是中只能是b=1，于是a=-1．
∴a2019+b2020=（-1）2019+12020=-1+1=0，
故答案为：0．
6．已知(a－3)2+|b－1|=0，则式子a2＋b2的值为________．
【答案】10
【分析】
根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵(a－3)2+|b－1|=0，
∴a－3=0，b－1=0，
a=3，b=1，
a2＋b2=32+12=9+1=10，
故答案为：10．
7．冰箱开始启动时的内部温度为8℃，若每小时冰箱内部的温度降低5℃，那么3小时后冰箱内部的温度是_______℃．
【答案】-7．
【分析】
降低记作“-”，降低5℃记作-5℃,3小时共降低（-5）×3=-15℃，求和即可．
【详解】
根据题意，得
8+（-5）×3=8-15=-7（℃），
故答案为：-7．
题组C 培优拔尖练
1．观察下面三行数：
－2、4、－8、16、－32、64、……①
0、6、－6、18、－30、66、……②
－1、2、－4、8、－16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x－y－2z的值为（ ）
A．B．0C．－2D．2
【答案】C
【分析】
第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正；
第②行的数比第①行对应数大2；
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正；
根据以上规律得出x、y、z的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210，；
第②行的数比第①行对应数大2，第10个数为210+2，；
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210÷2，；

故选C
2．现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（ ）
A．4B．11C．4或11D．1或11
【答案】A
【分析】
对x的取值分为两种情况，当x≥3和x＜3分类求解，得出符合题意得答案即可.
【详解】
当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；
当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．
∴若x*3＝5，则有理数x的值为4，
故选：A．
3．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为：
,
按此方式，则(101)2+ (1111)2 =( )
A．(10000)2B．(10101)2C．(1011111)2D．(10100)2
【答案】D
【分析】
根据例子可知：若二进制的数有n位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的（n-1）方，再相加即可，先把式子化成十进制数，然后再求和，把求和得到的数再转化成二进制数即可．
【详解】
解： (101)2+ (1111)2 =5+15=20，
20=16+4==，
故选：D．
4．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，因此2S－S＝22020－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22019＝22020－1.请仿照以上推理计算：1＋4＋42＋43＋…＋42019的值是( ）
A．42100－1B．42020－1C．D．
【答案】D
【分析】
设S=1+4+42+43+…+42019，表示出4S，然后求解即可．
【详解】
解：设S=1+4+42+43+…+42019，
则4S=4+42+43+…+42020，
因此4S-S=42020-1，
所以S=．
故选：D．
5．已知，则式子：（ ）
A．3B．或1C．或3D．1
【答案】C
【分析】
不妨设a ＜b＜c，分类讨论：①a ＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．
【详解】
不妨设a ＜b＜c．
∵abc＞0，∴分两种情况：
①a ＜b＜0＜c，则=－1+（－1）+1=－1；
②a＞0，b＞0，c＞0，则1+1+1=3．
故选C．
6．如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，则第5次输出的结果为
A．3B．27C．9D．1
【答案】D
【分析】
把x的值代入运算程序中计算即可．
【详解】
解：第1次：把代入得：，
第2次：把代入得：，
第3次：把代入得：，
第4次：把代入得：，
依此类推，
则第5次输出的结果为1，
故选：D．
7．1×2+2×3+3×4+…+99×100=（ ）
A．223300B．333300C．443300D．433300
【答案】B
【分析】
根据题目中的数据可以求出该式子的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：1×2+2×3+3×4+…+99×100
=×[(1×2×3)−(0×1×2)]+×[(2×3×4)−(1×2×3)]+×[(99×100×101)−(98×99×100)]
=×[(99×100×101)−(0×1×2)]
=×99×100×101
=333300，
故选：B．
课程标准
课标解读
1. 进一步掌握有理数的混合运算.
2. 会用科学记数法表示大数.
1．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算,并会用运算律简化运算。
2．能用计算器进行较繁杂的有理数混合运算,注意培养自己的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。