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专题1.21 全等三角形几何模型-倍长中线（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）
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这是一份专题1.21 全等三角形几何模型-倍长中线（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共48页。试卷主要包含了如图，在中，，，佳佳同学遇到这样一个问题，我们规定，已知，方法呈现，如图，在中，为边上的中线等内容，欢迎下载使用。
1．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围.
解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD．
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________).
所以BE=AC(_____________________).
因为AB+BE>AE(_____________________)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>_______cm.
2．如图，在中，，
(1) 求边的长的取值范围？ (2) 若是的中线，求取值范围？
3．如图，是的中线，，，求中线的取值范围．
4．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1) 为什么？写出推理过程；
(2) 求出的取值范围；
(3) 如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
5．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1) 求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2) “取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
① 请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
② 求证：AC＝2OP．
6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．
求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
7．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
8．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1) 求a，b的值；
(2) △ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
9．（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．
（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．
10．如图，在中，为边上的中线．
按要求作图：延长到点E，使；连接．
求证：．
求证：．
若，，求的取值范围．
11．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．
12．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．
13．如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接．
(1) 求证：；
(2) 与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；
(3) 若，猜想与的数量关系，并加以证明．
14．数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：
如图，在中，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到M，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
问题：
依据小明的做法，请你补全图形，并写出的取值范围；
根据你补全的图形，写出与的数量关系和位置关系，并加以证明．
15．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
16．如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．
17．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到的理由是______．
求得的取值范围是______．
如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
18．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
19．已知ABC．
如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ；
如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ．
20．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．
21．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
22．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．
求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．
23．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．
（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；
（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；
（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．
24．（1）如图1，是的中线，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接（如图2所示），这样就可以求出的取值范围，从而得解，请写出解题过程；
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
参考答案
1．答案见解析
【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.
【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD.
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).
所以BE=AC(全等三角形的性质).
因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>8cm.
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.
2．(1) (2)
【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；
（2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：，
∵，
∴；
（2）解：延长至E，使，连接，
在中，∵，
∴，
∴，
由三角形的三边关系：，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．
【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
4．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，且，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴．
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．(1)见解析 (2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BEOD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．(1)对顶角相等；BD；SAS (2) (3)
【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
（2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
，
，
，
故答案为；
（3）延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．
7．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
8．(1)， (2)2【分析】（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴，解得：；
（2）解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH∴10-6<2CD<10+6，
∴2【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．
9．（1）；（2）
【分析】（1）利用三角形的三边关系，得到，进而得出结论即可；
（2）倍长中线法，证明，三角形的三边关系求出的取值范围，即可得解．
【详解】解：（1）由题意，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴．
故答案为：．
（2）如图，延长至点E，使，连接．
因为D为的中点，
所以．
在和中，
，
所以，
所以．
因为，且，，
所以，
所以．
因为线段的长度为整数，
所以．
【点拨】本题考查全等是三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，是解题的关键．
10．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)
【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可；
（2）直接利用证明即可；
（3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论；
（4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（4）在中，
，
由（3）得 ，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键．
11．见解析
【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．
【详解】证明：如图所示：
，
是的中线，
，
在和中，
，
．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
12．
【分析】倍长中线至点N，构造，易得，再利用三角形的三边关系找到的取值范围，进而得到的取值范围．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
（SAS），
，
在中，，
，即，
，即．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．
13．(1)见解析 (2)， (3)，证明见解析
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得；
(2)由，可得，，据此即可解答；
(3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答．
【详解】（1）证明：是BC边上的中线，
，
在与中
，
；
（2）解：，
，，
，
故答案为：，；
（3）解：
证明：，
，，
，
在和中，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
14．(1)图见见解析， (2)，且，
【分析】（1）延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可；
（2）由（1）知，，可知，，进而可知；
【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2），且，
理由是：由（1）知，，
∴，，
∴
【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
15．（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析
【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；
②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；
（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．
【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵，
∴即，
又∵，
∴；
故答案为：；
（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．
16．见解析
【详解】解析：过点B作交CE的延长线于点F，由点E为AB中点，得到，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到与全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，即，再由，根据点B为AD中点，得到，利用外角性质及等量代换得到，利用SAS得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证．
答案：证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F．
∵CE是的中线，，
∴，，，
在和中，
∵
∴（AAS），
∴，，
∴，
又∵，CB是的中线，
∴，
∵，
∵，
∴，
在和中，
∵
∴（SAS），
∴．
易错：证明：在和中，
∴（ASA）．
错因：写错证明方法．
满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题．
17．(1)；(2)；(3)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到E，使，连接，，证明，得到，证明，得到，再利用即可证明．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∵，
∴，
故答案为：
（3）解：延长到E，使，连接，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
18．（1）；（2）且
【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；
（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．
【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴边上的中线的取值范围为：；
（2）且，证明如下：
如下图，延长，使得，延长与交于点H，
由（1）可易证，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，且．
【点拨】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
19．(1)见解析(2)(3)，理由见解析(4)
【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可．
②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可．
（2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
【详解】（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求；
②如图1中，线段DE，AE即为所求；
（2）结论：．
理由：在△CDB和△EDA中，
，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴∠B=∠DAE，
∴．
故答案为：．
（3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，
∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴，
∴∠ACB+∠EBC=，
∵∠ACB=，
∴∠EBC=，
在△ACB和△EBC中，
，
∴△ACB≌△EBC（SAS），
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
（4）如图3中，
∵BE⊥AC，∠ACB=，
∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
，
∴△CEF≌△BEA（ASA），
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=，
∴DE=AB=2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）；；；；（2）见解析；（3）8．
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；
（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；；；
（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，
∵，
，
在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
21．（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【分析】（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
22．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析
【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；
依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；
任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．
【详解】解：任务一：
依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
任务二：
任务三：EF=2AD．理由如下：
如图延长AD至G，使DG=AD，
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CGD中
∴△ABD≌△CGD
∴AB=CG，∠ABD=∠GCD
又∵AB=AE
∴AE=CG
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°
又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°
∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°
∴∠EAF=∠GCD
在△EAF和△GCA中
∴△EAF≌△GCA
∴EF=AG
∴EF=2AD．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）如图一中，延长使得，连接、，先证明，再证明即可解决问题．
（2）补充图形如图二所示，延长交的延长线于，只要证明，再证明是等腰直角三角形即可．
（3）如图三中，如图一中，延长使得，连接、，，先证明，再证明即可．
【详解】（1）证明：如图一中，延长DM使得MN=DM，连接BN、CN．
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，
∴DE∥NB，
∴∠ADE=∠ABN=90°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBN=45°=∠A，
在△ACD和△BCN中，，
∴△ACD≌△BCN，
∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，
∵DM=MN，
∴DM=CM．DM⊥CM
（2）解：如图二所示
延长DM交CB的延长线于N， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，
∵∠EDC+∠DCN=180°，
∴DE∥CN，
∴∠EDM=∠N
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN=AD，DM=MN，
∴CD=CN，
∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，
∴DM=CM．DM⊥CM．
（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．
∵DE∥AB，
∴∠MBN=∠MED，
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN=AD，DM=MN，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AED+∠BAE=180°，
∴∠BAE=135°，
∵∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠DAC=∠CBN=45°
在△ACD和△BCN中，，
∴△ACD≌△BCN，
∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，
∴DM=CM．DM⊥CM
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、 等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是添加辅助线构造全等三角形， 记住中线延长一倍是常用辅助线， 属于中考常考题型．
24．（1）；（2）见解析．
【分析】（1）延长到点，使，连接，易证，从而得，根据三角形三边关系，可得，进而即可求解；
（2）先证，结合，可得，结合，即可得到结论．
【详解】（1），
（SAS），
∴，
∴在中， ，
即：，
∴的范围是：；
（2）延长到点，使，连接，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，三角形三边的关系，等腰三角形的性质和判定定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
1．仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围.
解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD．
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________).
所以BE=AC(_____________________).
因为AB+BE>AE(_____________________)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>_______cm.
2．如图，在中，，
(1) 求边的长的取值范围？ (2) 若是的中线，求取值范围？
3．如图，是的中线，，，求中线的取值范围．
4．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1) 为什么？写出推理过程；
(2) 求出的取值范围；
(3) 如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
5．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1) 求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2) “取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
① 请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
② 求证：AC＝2OP．
6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．
求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
7．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
8．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．
(1) 求a，b的值；
(2) △ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．
9．（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．
（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．
10．如图，在中，为边上的中线．
按要求作图：延长到点E，使；连接．
求证：．
求证：．
若，，求的取值范围．
11．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．
12．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．
13．如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接．
(1) 求证：；
(2) 与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；
(3) 若，猜想与的数量关系，并加以证明．
14．数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：
如图，在中，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到M，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
问题：
依据小明的做法，请你补全图形，并写出的取值范围；
根据你补全的图形，写出与的数量关系和位置关系，并加以证明．
15．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
16．如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．
17．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到的理由是______．
求得的取值范围是______．
如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
18．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
19．已知ABC．
如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ；
如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ．
20．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．
21．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
22．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．
求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．
23．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．
（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；
（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；
（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．
24．（1）如图1，是的中线，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接（如图2所示），这样就可以求出的取值范围，从而得解，请写出解题过程；
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
参考答案
1．答案见解析
【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.
【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.
因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD.
在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).
所以BE=AC(全等三角形的性质).
因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，
所以AB+AC>AE.
因为AE=2AD=8cm，
所以AB+AC>8cm.
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.
2．(1) (2)
【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；
（2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：，
∵，
∴；
（2）解：延长至E，使，连接，
在中，∵，
∴，
∴，
由三角形的三边关系：，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．
【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
∵为中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
4．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．
【详解】（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，且，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴．
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．(1)见解析 (2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BEOD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．(1)对顶角相等；BD；SAS (2) (3)
【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
（2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
，
，
，
故答案为；
（3）延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．
7．（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
8．(1)， (2)2
（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
∴，解得：；
（2）解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
在△CDB和△HDA中，
∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，
∴△CDB≌△HDA（SAS），
∴BC=AH=a=6，
在△ACH中，AC-AH
∴2
9．（1）；（2）
【分析】（1）利用三角形的三边关系，得到，进而得出结论即可；
（2）倍长中线法，证明，三角形的三边关系求出的取值范围，即可得解．
【详解】解：（1）由题意，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴．
故答案为：．
（2）如图，延长至点E，使，连接．
因为D为的中点，
所以．
在和中，
，
所以，
所以．
因为，且，，
所以，
所以．
因为线段的长度为整数，
所以．
【点拨】本题考查全等是三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，是解题的关键．
10．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)
【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可；
（2）直接利用证明即可；
（3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论；
（4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
（4）在中，
，
由（3）得 ，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键．
11．见解析
【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．
【详解】证明：如图所示：
，
是的中线，
，
在和中，
，
．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
12．
【分析】倍长中线至点N，构造，易得，再利用三角形的三边关系找到的取值范围，进而得到的取值范围．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
（SAS），
，
在中，，
，即，
，即．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．
13．(1)见解析 (2)， (3)，证明见解析
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得；
(2)由，可得，，据此即可解答；
(3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答．
【详解】（1）证明：是BC边上的中线，
，
在与中
，
；
（2）解：，
，，
，
故答案为：，；
（3）解：
证明：，
，，
，
在和中，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
14．(1)图见见解析， (2)，且，
【分析】（1）延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可；
（2）由（1）知，，可知，，进而可知；
【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2），且，
理由是：由（1）知，，
∴，，
∴
【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
15．（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析
【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；
②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；
（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．
【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵，
∴即，
又∵，
∴；
故答案为：；
（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．
16．见解析
【详解】解析：过点B作交CE的延长线于点F，由点E为AB中点，得到，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到与全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，即，再由，根据点B为AD中点，得到，利用外角性质及等量代换得到，利用SAS得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证．
答案：证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F．
∵CE是的中线，，
∴，，，
在和中，
∵
∴（AAS），
∴，，
∴，
又∵，CB是的中线，
∴，
∵，
∵，
∴，
在和中，
∵
∴（SAS），
∴．
易错：证明：在和中，
∴（ASA）．
错因：写错证明方法．
满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题．
17．(1)；(2)；(3)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到E，使，连接，，证明，得到，证明，得到，再利用即可证明．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∵，
∴，
故答案为：
（3）解：延长到E，使，连接，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
18．（1）；（2）且
【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；
（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．
【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴边上的中线的取值范围为：；
（2）且，证明如下：
如下图，延长，使得，延长与交于点H，
由（1）可易证，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，且．
【点拨】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
19．(1)见解析(2)(3)，理由见解析(4)
【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可．
②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可．
（2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
【详解】（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求；
②如图1中，线段DE，AE即为所求；
（2）结论：．
理由：在△CDB和△EDA中，
，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴∠B=∠DAE，
∴．
故答案为：．
（3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，
∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴，
∴∠ACB+∠EBC=，
∵∠ACB=，
∴∠EBC=，
在△ACB和△EBC中，
，
∴△ACB≌△EBC（SAS），
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
（4）如图3中，
∵BE⊥AC，∠ACB=，
∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
，
∴△CEF≌△BEA（ASA），
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=，
∴DE=AB=2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）；；；；（2）见解析；（3）8．
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；
（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；；；
（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，
∵，
，
在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
21．（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【分析】（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
22．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析
【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；
依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；
任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．
【详解】解：任务一：
依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
任务二：
任务三：EF=2AD．理由如下：
如图延长AD至G，使DG=AD，
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CGD中
∴△ABD≌△CGD
∴AB=CG，∠ABD=∠GCD
又∵AB=AE
∴AE=CG
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°
又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°
∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°
∴∠EAF=∠GCD
在△EAF和△GCA中
∴△EAF≌△GCA
∴EF=AG
∴EF=2AD．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）如图一中，延长使得，连接、，先证明，再证明即可解决问题．
（2）补充图形如图二所示，延长交的延长线于，只要证明，再证明是等腰直角三角形即可．
（3）如图三中，如图一中，延长使得，连接、，，先证明，再证明即可．
【详解】（1）证明：如图一中，延长DM使得MN=DM，连接BN、CN．
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，
∴DE∥NB，
∴∠ADE=∠ABN=90°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBN=45°=∠A，
在△ACD和△BCN中，，
∴△ACD≌△BCN，
∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，
∵DM=MN，
∴DM=CM．DM⊥CM
（2）解：如图二所示
延长DM交CB的延长线于N， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，
∵∠EDC+∠DCN=180°，
∴DE∥CN，
∴∠EDM=∠N
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN=AD，DM=MN，
∴CD=CN，
∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，
∴DM=CM．DM⊥CM．
（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．
∵DE∥AB，
∴∠MBN=∠MED，
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN=AD，DM=MN，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AED+∠BAE=180°，
∴∠BAE=135°，
∵∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠DAC=∠CBN=45°
在△ACD和△BCN中，，
∴△ACD≌△BCN，
∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，
∴DM=CM．DM⊥CM
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、 等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是添加辅助线构造全等三角形， 记住中线延长一倍是常用辅助线， 属于中考常考题型．
24．（1）；（2）见解析．
【分析】（1）延长到点，使，连接，易证，从而得，根据三角形三边关系，可得，进而即可求解；
（2）先证，结合，可得，结合，即可得到结论．
【详解】（1），
（SAS），
∴，
∴在中， ，
即：，
∴的范围是：；
（2）延长到点，使，连接，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，三角形三边的关系，等腰三角形的性质和判定定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
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