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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题01全等三角形性质与判定(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题01全等三角形性质与判定(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了全等图形识别，全等三角形的概念，用SSS证明三角形全等，用ASA证明三角形全等，全等三角形的性质，用SAS证明三角形全等，用AAS证明三角形全等，用HL证明三角形全等等内容，欢迎下载使用。
考点一 全等图形识别 考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
考点三 全等三角形的概念 考点四 全等三角形的性质
考点五 用SSS证明三角形全等 考点六 用SAS证明三角形全等
考点七 用ASA证明三角形全等 考点八 用AAS证明三角形全等 考点九 用HL证明三角形全等
考点一 全等图形识别
例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形
【变式训练】
1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
考点三 全等三角形的概念
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
考点四 全等三角形的性质
例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
考点五 用SSS证明三角形全等
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
考点六 用SAS证明三角形全等
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
考点七 用ASA证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
考点八 用AAS证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
考点九 用HL证明三角形全等
例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．
(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
一、选择题
1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝3
3．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DFB．∠B=∠EC．∠ACB=∠DFED．BC=EF
4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．24B．26C．27D．28
5．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题
6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点在上，点E在上，，添加一个条件______，使（填一个即可）．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 _____．
8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．
9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 _____．
10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为________．
三、解答题
11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2
(1)求角F的度数与DH的长；
(2)求证：．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A=90°，∠ADE=120°，BD平分∠ADE，AD=DE．
(1)BAD与BED全等吗？请说明理由；
(2)若DE=2，试求AC的长．
14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）
(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
15．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠DFC，
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)设AC与DE交于点G，当∠B=50°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．
16．（2021·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)求证：∠AEB＝∠DEB；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
17．（2022·贵州铜仁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)试说明：DC与BE的位置关系．
18．（2022·湖南湘西·八年级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
专题01 全等三角形性质与判定
考点一 全等图形识别 考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
考点三 全等三角形的概念 考点四 全等三角形的性质
考点五 用SSS证明三角形全等 考点六 用SAS证明三角形全等
考点七 用ASA证明三角形全等 考点八 用AAS证明三角形全等 考点九 用HL证明三角形全等
考点一 全等图形识别
例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
解：A、不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、不是全等图形，故本选项不符合题意；
C、不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、全等图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等图形的定义，熟练掌握大小形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．
2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
认真观察图形，可以看出选项中只有B中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它三个形状与题干中已给的图形不一致．
【详解】
解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、D中图形形状与题干中已给的图形不一致，故不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转得到．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．
考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
【答案】45
【解析】
【分析】
连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接
∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；
【详解】
如图所示，
在△ACB和△DCE中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
考点三 全等三角形的概念
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.
【详解】
①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；
②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；
③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；
④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；
故四个命题都正确，
故D为答案.
【点睛】
本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
【分析】
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
考点四 全等三角形的性质
例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】
∵和全等，，对应
∴
∴AB=DF=4
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)
解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点五 用SSS证明三角形全等
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
(1)
在和中，
，
∴(SSS)；
(2)
AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
(1)
解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
(2)
解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
考点六 用SAS证明三角形全等
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．
【详解】
证明：，
，
在和中
，
≌（SAS），
．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；
【详解】
证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．
考点七 用ASA证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【详解】
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；
（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．
(1)
证明：在△ABO与△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
(2)
证明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；
（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．
由两直线平行得
(1)
证明：，
，
在和中，
，
．
(2)
解：，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
考点八 用AAS证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．
【详解】
解：△BDO与△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO与△CEO中，，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD＝1
【解析】
【分析】
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
(1)
证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点九 用HL证明三角形全等
例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．
(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；
（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明．
(1)
解：∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
又∵AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE=DF；
(2)
解：，理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠B=∠C，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)18°
【解析】
【分析】
（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）先求出∠ABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD的度数，由此即可得到答案．
(1)
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
(2)
解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=36°，
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】
此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
一、选择题
1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等，即可求解．
【详解】
解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，
∴DO=AO=3．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
3．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DFB．∠B=∠EC．∠ACB=∠DFED．BC=EF
【答案】D
【解析】
【分析】
根据判定定理即可得．
【详解】
解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
B、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
C、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
D、添加，能用定理判定，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．24B．26C．27D．28
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB＝DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．
【详解】
∵点M是AD 的中点，
∴MA＝MD，
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠MBC，∠DMC＝∠MCB，
又∵MC＝MB，
∴∠MBC＝∠MCB，
∴∠AMB＝∠DMC，
在△AMB和△DMC中，
∵
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB＝DC，
四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝6+6+8+4=24．
故答案为：A．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB＝DC．
5．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由AAS可证△PDM≌△QDN，可得PD＝DQ，进而判断①正确；由“HL”可证Rt△APM≌Rt△CQN，求出∠A＝∠ACB，得到AB＝BC，进而判断②正确；根据全等三角形的性质求出MD＝DN＝CD＋CN＝CD＋AM，可判断④正确；根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误．
【详解】
解：∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠PMD＝∠QND＝90°，
又∵∠PDM＝∠QDN，PM＝QN，
∴△PDM≌△QDN（AAS），
∴PD＝DQ，故①正确；
∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠AMP＝∠CNQ＝90°，
∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL）
∴∠A＝∠QCN，
∵∠ACB＝∠QCN，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，即②正确；
∵△PDM≌△QDN ，Rt△APM≌Rt△CQN，
∴MD＝DN ，AM＝CN，
∴MD＝CD＋CN＝CD＋AM，
∴DM＝AC，故④正确；
根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点在上，点E在上，，添加一个条件______，使（填一个即可）．
【答案】AE=AD（或CE=BD或∠AEB=∠ADC）．
【解析】
【分析】
由于AB=AC，加上∠A为公共角，然后利用全等三角形的判定方法可添加条件使△ABE≌△ACD．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，
∴当添加AE=AD（或CE=BD）时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠B=∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠AEB=∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．
故答案为：AE=AD（或CE=BD或∠AEB=∠ADC）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等详解即可．
【详解】
解：∵△ABC≌ΔA′B′C′，ΔA′B′C′的周长为22，
∴△ABC的周长为22，
∵AB+AC＝12，
∴BC＝22﹣12＝10，
∴B'C'＝BC＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB=DE=7，AC＝DB=5，结合图形利用线段间的数量关系即可得出结果．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE=7，AC＝DB=5，
∴AD=AB-DB=2，
故答案为：2．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．
9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】
证明△ACD≌△BDE得到AD=BE，即可求出BD．
【详解】
解：∵∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC=∠EDB+∠ADC，
∴∠C=∠EDB，
∵BE⊥AD，
∴∠EBD=∠A=90°，
又∵DC=DE，
∴△ACD≌△BDE，
∴AD=BE=7，
∵AB=4，
∴BD=AD-AB=3，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理并应用是解题的关键．
10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为________．
【答案】1或7
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上；当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：AD=BC=6，CD=AB=4，
当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上，则，
∴，解得：；
当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，则
，解得：；
综上所述，当和全等时，t的值为1或7．
故答案为：1或7
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2
(1)求角F的度数与DH的长；
(2)求证：．
【答案】(1)35°；6
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；
(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，再根据平行线的判定即可证得结论．
(1)
解：∵∠A=85°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-85°-60°=35°，
∵△ABC≌△DEF，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=DE-EH=8-2=6；
(2)
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案．
(1)
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
(2)
解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△EDB和△EDC中，
，
∴△EDB≌△EDC（SAS），
∴∠BED＝∠CED，
∵∠BED＝50°，
∴∠CED＝∠BED＝50°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．
13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A=90°，∠ADE=120°，BD平分∠ADE，AD=DE．
(1)BAD与BED全等吗？请说明理由；
(2)若DE=2，试求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△EDB；
（2）由全等三角形的性质可得∠A=∠DEB=90°，AD=DE=2，由含30度角的直角三角形的性质可求解．
(1)
解：△BAD与△BED全等，
理由如下：∵BD平分∠ADE，∠ADE=120°，
∴∠ADB=∠BDE=60°，
在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SAS）；
(2)
∵△ADB≌△EDB，DE=2，∠A=90°，
∴∠A=∠DEB=90°，AD=DE=2，
∵∠ADE=120°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=180°-120°=60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DE=4，
∴AC=AD+CD=6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）
(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理即可求解．
（2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证．
(1)
解：添加使，
故答案为：．
(2)
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．
15．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠DFC，
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)设AC与DE交于点G，当∠B=50°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠B=∠DEF，根据ASA可证明△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
(1)
解：证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
(2)
如图，∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF=50°，∠F=∠ACB=70°，
∴∠EGC=180°-∠GEC-∠GCE=180°-50°-70°=60°，
∴∠AGD=60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定、三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
16．（2021·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)求证：∠AEB＝∠DEB；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE=∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义可以得到∠AEB的度数．
(1)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE．
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠AEB=∠DEB；
(2)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠A=100°，∠C=50°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABE=15°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线定义，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
17．（2022·贵州铜仁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)试说明：DC与BE的位置关系．
【答案】(1)，证明见解答过程；
(2)，证明见解答过程．
【解析】
【分析】
（1）利用SAS定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论．
(1)
解：．
理由如下：
∵，
∴，
即．
在和中
，
∴；
(2)
解：．
理由如下：
∵为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2022·湖南湘西·八年级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AAS可证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE ，可得DE=BD+CE．
（2）由已知条件可知∠BAD+∠CAE=，∠DBA+∠BAD=，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA，同（1）可得出结论．
【详解】
（1）如图1，∵ BD⊥ 直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）如图2，
∵∠BDA=∠BAC=，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE，CE=AD是解题的关键．
考点一 全等图形识别 考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
考点三 全等三角形的概念 考点四 全等三角形的性质
考点五 用SSS证明三角形全等 考点六 用SAS证明三角形全等
考点七 用ASA证明三角形全等 考点八 用AAS证明三角形全等 考点九 用HL证明三角形全等
考点一 全等图形识别
例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形
【变式训练】
1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
考点三 全等三角形的概念
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
考点四 全等三角形的性质
例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
考点五 用SSS证明三角形全等
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
考点六 用SAS证明三角形全等
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
考点七 用ASA证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
考点八 用AAS证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
考点九 用HL证明三角形全等
例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．
(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
一、选择题
1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝3
3．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DFB．∠B=∠EC．∠ACB=∠DFED．BC=EF
4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．24B．26C．27D．28
5．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题
6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点在上，点E在上，，添加一个条件______，使（填一个即可）．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 _____．
8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．
9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 _____．
10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为________．
三、解答题
11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2
(1)求角F的度数与DH的长；
(2)求证：．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A=90°，∠ADE=120°，BD平分∠ADE，AD=DE．
(1)BAD与BED全等吗？请说明理由；
(2)若DE=2，试求AC的长．
14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）
(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
15．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠DFC，
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)设AC与DE交于点G，当∠B=50°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．
16．（2021·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)求证：∠AEB＝∠DEB；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
17．（2022·贵州铜仁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)试说明：DC与BE的位置关系．
18．（2022·湖南湘西·八年级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
专题01 全等三角形性质与判定
考点一 全等图形识别 考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
考点三 全等三角形的概念 考点四 全等三角形的性质
考点五 用SSS证明三角形全等 考点六 用SAS证明三角形全等
考点七 用ASA证明三角形全等 考点八 用AAS证明三角形全等 考点九 用HL证明三角形全等
考点一 全等图形识别
例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
解：A、不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、不是全等图形，故本选项不符合题意；
C、不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、全等图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等图形的定义，熟练掌握大小形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．
2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
认真观察图形，可以看出选项中只有B中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它三个形状与题干中已给的图形不一致．
【详解】
解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、D中图形形状与题干中已给的图形不一致，故不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转得到．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．
考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
【答案】45
【解析】
【分析】
连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接
∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；
【详解】
如图所示，
在△ACB和△DCE中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
考点三 全等三角形的概念
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.
【详解】
①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；
②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；
③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；
④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；
故四个命题都正确，
故D为答案.
【点睛】
本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
【分析】
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
考点四 全等三角形的性质
例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．
【详解】
∵和全等，，对应
∴
∴AB=DF=4
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)
解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点五 用SSS证明三角形全等
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
(1)
在和中，
，
∴(SSS)；
(2)
AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
(1)
解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
(2)
解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
考点六 用SAS证明三角形全等
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．
【详解】
证明：，
，
在和中
，
≌（SAS），
．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；
【详解】
证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．
考点七 用ASA证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【详解】
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；
（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．
(1)
证明：在△ABO与△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
(2)
证明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；
（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．
由两直线平行得
(1)
证明：，
，
在和中，
，
．
(2)
解：，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
考点八 用AAS证明三角形全等
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．
【详解】
解：△BDO与△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO与△CEO中，，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD＝1
【解析】
【分析】
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
(1)
证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
考点九 用HL证明三角形全等
例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．
(1)求证AE=DF；
(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；
（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明．
(1)
解：∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
又∵AB=DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE=DF；
(2)
解：，理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠B=∠C，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)18°
【解析】
【分析】
（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）先求出∠ABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD的度数，由此即可得到答案．
(1)
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
(2)
解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=36°，
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】
此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
一、选择题
1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等，即可求解．
【详解】
解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，
∴DO=AO=3．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
3．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DFB．∠B=∠EC．∠ACB=∠DFED．BC=EF
【答案】D
【解析】
【分析】
根据判定定理即可得．
【详解】
解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
B、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
C、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
D、添加，能用定理判定，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．24B．26C．27D．28
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB＝DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．
【详解】
∵点M是AD 的中点，
∴MA＝MD，
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠MBC，∠DMC＝∠MCB，
又∵MC＝MB，
∴∠MBC＝∠MCB，
∴∠AMB＝∠DMC，
在△AMB和△DMC中，
∵
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB＝DC，
四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝6+6+8+4=24．
故答案为：A．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB＝DC．
5．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①； ②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由AAS可证△PDM≌△QDN，可得PD＝DQ，进而判断①正确；由“HL”可证Rt△APM≌Rt△CQN，求出∠A＝∠ACB，得到AB＝BC，进而判断②正确；根据全等三角形的性质求出MD＝DN＝CD＋CN＝CD＋AM，可判断④正确；根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误．
【详解】
解：∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠PMD＝∠QND＝90°，
又∵∠PDM＝∠QDN，PM＝QN，
∴△PDM≌△QDN（AAS），
∴PD＝DQ，故①正确；
∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠AMP＝∠CNQ＝90°，
∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL）
∴∠A＝∠QCN，
∵∠ACB＝∠QCN，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，即②正确；
∵△PDM≌△QDN ，Rt△APM≌Rt△CQN，
∴MD＝DN ，AM＝CN，
∴MD＝CD＋CN＝CD＋AM，
∴DM＝AC，故④正确；
根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点在上，点E在上，，添加一个条件______，使（填一个即可）．
【答案】AE=AD（或CE=BD或∠AEB=∠ADC）．
【解析】
【分析】
由于AB=AC，加上∠A为公共角，然后利用全等三角形的判定方法可添加条件使△ABE≌△ACD．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，
∴当添加AE=AD（或CE=BD）时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠B=∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠AEB=∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．
故答案为：AE=AD（或CE=BD或∠AEB=∠ADC）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等详解即可．
【详解】
解：∵△ABC≌ΔA′B′C′，ΔA′B′C′的周长为22，
∴△ABC的周长为22，
∵AB+AC＝12，
∴BC＝22﹣12＝10，
∴B'C'＝BC＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB=DE=7，AC＝DB=5，结合图形利用线段间的数量关系即可得出结果．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE=7，AC＝DB=5，
∴AD=AB-DB=2，
故答案为：2．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．
9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】
证明△ACD≌△BDE得到AD=BE，即可求出BD．
【详解】
解：∵∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC=∠EDB+∠ADC，
∴∠C=∠EDB，
∵BE⊥AD，
∴∠EBD=∠A=90°，
又∵DC=DE，
∴△ACD≌△BDE，
∴AD=BE=7，
∵AB=4，
∴BD=AD-AB=3，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理并应用是解题的关键．
10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为________．
【答案】1或7
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上；当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：AD=BC=6，CD=AB=4，
当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上，则，
∴，解得：；
当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，则
，解得：；
综上所述，当和全等时，t的值为1或7．
故答案为：1或7
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2
(1)求角F的度数与DH的长；
(2)求证：．
【答案】(1)35°；6
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；
(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，再根据平行线的判定即可证得结论．
(1)
解：∵∠A=85°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-85°-60°=35°，
∵△ABC≌△DEF，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=DE-EH=8-2=6；
(2)
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案．
(1)
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
(2)
解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△EDB和△EDC中，
，
∴△EDB≌△EDC（SAS），
∴∠BED＝∠CED，
∵∠BED＝50°，
∴∠CED＝∠BED＝50°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．
13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A=90°，∠ADE=120°，BD平分∠ADE，AD=DE．
(1)BAD与BED全等吗？请说明理由；
(2)若DE=2，试求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△EDB；
（2）由全等三角形的性质可得∠A=∠DEB=90°，AD=DE=2，由含30度角的直角三角形的性质可求解．
(1)
解：△BAD与△BED全等，
理由如下：∵BD平分∠ADE，∠ADE=120°，
∴∠ADB=∠BDE=60°，
在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SAS）；
(2)
∵△ADB≌△EDB，DE=2，∠A=90°，
∴∠A=∠DEB=90°，AD=DE=2，
∵∠ADE=120°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=180°-120°=60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DE=4，
∴AC=AD+CD=6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．
(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）
(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理即可求解．
（2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证．
(1)
解：添加使，
故答案为：．
(2)
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．
15．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠DFC，
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)设AC与DE交于点G，当∠B=50°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠B=∠DEF，根据ASA可证明△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
(1)
解：证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
(2)
如图，∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF=50°，∠F=∠ACB=70°，
∴∠EGC=180°-∠GEC-∠GCE=180°-50°-70°=60°，
∴∠AGD=60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定、三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
16．（2021·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)求证：∠AEB＝∠DEB；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE=∠DBE，然后根据题目中的条件即可证明△ABE和△DBE全等，从而可以得到结论成立；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义可以得到∠AEB的度数．
(1)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE．
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠AEB=∠DEB；
(2)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠A=100°，∠C=50°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABE=15°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线定义，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
17．（2022·贵州铜仁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)试说明：DC与BE的位置关系．
【答案】(1)，证明见解答过程；
(2)，证明见解答过程．
【解析】
【分析】
（1）利用SAS定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论．
(1)
解：．
理由如下：
∵，
∴，
即．
在和中
，
∴；
(2)
解：．
理由如下：
∵为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2022·湖南湘西·八年级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AAS可证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE ，可得DE=BD+CE．
（2）由已知条件可知∠BAD+∠CAE=，∠DBA+∠BAD=，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA，同（1）可得出结论．
【详解】
（1）如图1，∵ BD⊥ 直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）如图2，
∵∠BDA=∠BAC=，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE，CE=AD是解题的关键．
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