江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验学校2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验学校2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各数中，是无理数的是（ ）
A.C.D.0
3.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A.7cmB.3cmC.5cmD.9cm
4.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A.B.C.平分D.
6.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题.如果每块砖的厚度，则的长为（ ）
A.50cmB.60cmC.70cmD.80cm
7.如图，以直角三角形、、为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足图形个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A.1.5B.2C.2.5D.3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.-8的立方根是_________.
10.如图，已知，点，，，依次在同一条直线上.若，，则的长为_________.
11.我国“辽宁号”航空母舰的满载排水量为67500吨，将数据67500精确到千位的近似值为_________.（结果用科学记数法表示）
12.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”_________.
13.如图，，，要使，应添加的条件是_________.（只需写出一个条件即可）
14.在中，，，，则边上的中线_________.
15.如图，在数轴上，点、表示的数分别为0、2，于点，且连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是_________.
16.如图1，在Rt中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积。小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取（如图2）.根据小颖的提示，可以求得的面积为_________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
（1）
（2）已知，求的值.
四、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（本小题6分）
如图，是的中点，，.求证：.
19.（本小题6分）
如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、.
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为16，求的长.
20.（本小题6分）
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，请按下面要求完成画图。
（1）在图（1）中画一个，使点在格点上，为轴对称图形，且对称轴经过点；
（2）在图（2）中画一个与成轴对称，且顶点都在格点上的.
21.（本小题6分）
如图，是的角平分线，，，垂足分别为，
（1）求证：；
（2）若的面积为70，，，求的长.
22.（本小题8分）
阅读理解，并回答问题.
阅读材料1：
，，即.
的整数部分为2，小数部分为。
阅读材料2：
对于任意实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则。我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法.
例如：比较与的大小时，可以计算，得，
，..
（1）请表示出的整数部分和小数部分；
（2）试判断与的大小，并说明理由.
23.（本小题8分）
如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上。
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，试求的长.
24.（本小题8分）
小丽与爸妈在公园里荡秋千。如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她。若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，。
（1）与全等吗？请说明理由。
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的?
（3）秋千的起始位置处与距地面的高是.
25.（本小题8分）
证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：在和中，，，与分别为，边上的中线且_________.
求证：_________.
请补全已知和求证部分，并写出证明过程。
26.（本小题10分）
若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”.
（1）如图1，与互为“底余等腰三角形”.若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）；
（2）如图1，与互为“底余等腰三角形”。当时，若的"余高"是.
①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：.
（3）如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，
，请直接写出的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意.
故选：D.
根据轴对称图形的概念进行判断即可.
本题考查的是轴对称图形的概念，图形两部分折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了无理数.根据无理数的概念解答即可.
【解答】
解：A：是分数，属于有理数，不符合题意；
B：3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C：是无理数，故是无理数，符合题意；
D：0是整数，属于有理数，不符合题意.
3.【答案】B
【解析】解：当长是3cm的边是底边时，三边为，，，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系.故该等腰三角形的底边长为3cm.
故选：B.
分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解.
本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理是解题的关键.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全等三角形在实际生活中的应用有关知识，已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等.
【解答】
解：做法中用到的三角形全等的判定方法是
证明如下：
，，
所以，故为的平分线.
故选.
5.【答案】B
【解析】解：，，
，是中点，
平分，，
所以，结论不一定正确的是.
故选：B.
根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答.
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：，，
，，
，，.
，，.
故选：C.
由等腰直角三角形的性质可得，，因此可以考虑证明，
由此即可求解.
此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，此题是与三角形全等有关的应用题，是很好的练习题.
7.【答案】D
【解析】【解答】
解：（1），，，
，，.
（2），，，，
，.
（3），，
，，.
（4），，，
，.
综上可得，面积关系满足图形有4个.
故选D.
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握.
根据直角三角形、、为边，应用勾股定理，可得.
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据，可得.
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据，可得.
（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据，可得.
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据，可得.
8.【答案】B
【解析】解：作点关于的对称点，过作于点，交于点，连接，
，，
此时的值最小，
是等边三角形，，
，，
，，，
，，
，，
故选：B.
作点关于的对称点，过作于点，交于点，连接，此时的值最小，由题意可得，则再由，，可得，解得，可求，故可求.
本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，利用两点之间线段最短以及垂线段最短找到点、的位置是解题的关键.
9.【答案】-2
【解析】解：-8的立方根是-2.
故答案为：-2.
根据立方根的定义解答即可.
本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键.
10.【答案】3
【解析】解：，，
又，，
.
故答案为：3.
根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可.
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键.
11.【答案】
【解析】解：将67500用科学记数法表示为：.
故答案为：.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数.
本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值.
12.【答案】3，4，5（答案不唯一）
【解析】解：一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）.
故答案为：3，4，5（答案不唯一）.
根据勾股数的定义即可求解.
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数.
13.【答案】（或或）
【解析】解：，
，即，
，
当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断.
故答案为或或.
利用得到，由于，然后根据全等三角形的判定方法添加条件.
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键.
14.【答案】5
【解析】解：在中，，，，
，
边上的中线，
故答案为：5.
先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
则点表示的实数是.
故答案为：.
根据勾股定理可得，由题意可得，即，因为即可得出答案.
本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键.
16.【答案】16
【解析】解：是的高，
，，
，，
，，.
在和中，
，，.
，，，
，
，.
故答案为：16.
先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可.
本题考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
17.【答案】解：（1）原式；
（2）方程，
开方得：或，
解得：或.
【解析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）已知方程开方即可求出的值.
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.【答案】证明：是的中点，，
在和中，，
.
【解析】求出，根据全等三角形的判定定理证明即可.
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有.
19.【答案】解：（1），，，
又垂直平分，，
，；
（2）垂直平分，，，
，
又，周长为16，
.
【解析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可.
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
20.【答案】解：（1）如图①，即为所求.
（2）如图②，即为所求.
【解析】（1）以为腰，作等腰三角形即可.
（2）作以为对角线的正方形即可.
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键.
21.【答案】解：（1），，
，
是的角平分线，，
在和中，，
，；
（2）是的角平分线，，，
，
，
，.
【解析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、面积法求线段长度，难度中等.熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键.
（1）由角平分线的对称性直接证明即可；
（2）先算出三角形的面积，再得出三角形的面积，高，从而直接算出.
22.【答案】解：（1），，
，的整数部分为4，小数部分为；
（2），
理由：，
，，.
【解析】（1）按照材料1的解题思路进行计算，即可解答；
（2）按照材料2的解题思路进行计算，即可解答.
本题考查了估算无理数的大小，实数比较大小，理解材料1和材料二的解题思路是解题的关键.
23.【答案】解：（1）是等腰三角形；理由如下：
四边形是长方形，
，，
根据折叠的性质可得：，
，，是等腰三角形；
（2）根据折叠的性质可得，
，
在Rt中，即
，
【解析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质求得，即可证明是等腰三角形；
（2）根据折叠的性质可得，在Rt中，利用勾股定理列式计算即可求解.
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题的关键是注意数形结合思想的应用.
24.【答案】0.6
【解析】解：（1）与全等.
理由如下：
由题意可知，，
，.，
在和中，，
；
（2），，，
、分别为和，
，
，
妈妈在距地面高的处，即，
答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的；
（3），
.
秋千的起始位置处与距地面的高0.6m.
故答案为：0.6.
（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案；
（3）因为，由勾股定理求得，再根据便可求得结果.
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键.
25.【答案】
【解析】解：；（写成也对）；
证明：，，，
，.
与分别为与边上的中线，
点和点分别是与的中点，
，，，
在和中，，
RtRt.
利用证明RtRt可得，结合中线的定义可得，再利用可证明RtRt.
本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用证明RtRt是解题的关键.
26.【答案】是
【解析】（1）解：与互为“底余等腰三角形”，
，，
，，
四边形内角和是，
，
，
与互为“底余等腰三角形”；
故答案为：是；
（2）①解：用直尺和圆规作出，如图1.1，
（2）证明：过点作，如图2，
，，
，又，，
，，
又，
（3）解：过点作，如图2，
根据等腰三角形的性质可得：，
根据（2）可知，
根据勾股定理可得.
（1）根据题意可得，，四边形内角和为，求出即可证明.
（2）（1）用直尺和圆规作出，如图；（2过点作，证明即可证明结论.
（3）过点作，根据（2）可知，再根据勾股定理可得.
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.