广东省深圳实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份广东省深圳实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣B．C．﹣3D．3
2．（3分）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2022年2月8日，在北京冬奥会自由式女子大跳台金牌决赛中，中国选手谷爱凌以188.25分夺得金牌．北京冬奥会大数据报告显示，这场比赛受到我国超过5650万人的关注，5650万这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×107B．5.65×107C．5.65×108D．56.5×106
4．（3分）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
5．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
6．（3分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（ ）
A．56B．60C．63D．72
7．（3分）若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根
8．（3分）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
9．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3y2﹣12＝ ．
12．（3分）2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”．从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是 ．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 ．
14．（3分）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点M是线段BC上的动点，在线段CA上截取CN＝BM，连接AM和BN，当点M在运动的过程中，AM+BN的最小值为 ．
三、解答题（第16题5分，第17题6分，第18—20题每题8分，第21—22题每题10分，共55分）
16．（5分）计算：．
17．（6分）解不等式组：．
18．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ；
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
19．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
20．（8分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
21．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）【模型识别】：
如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．求证：BD＝CE；
（2）【类比迁移】：
如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．若BD⊥AD，，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；
（3）【方法应用】：
如图3，已知点D在AC上方，连接DB和CD，BD与AC相交于点F，若∠BDC＝90°，BF＝2CD，AB＝6，求△BFC的面积．
22．（10分）如图，已知抛物线：y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和点B，交y轴于点C，且A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上第二象限的动点，过点P作BC的平行线交x轴于点D，连接PD和CD，连接AP和PC，若四边形APCD的面积为4，求此时点P的坐标；
（3）如图2，已知直线EF：交x轴于点F，交y轴于点E，M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MF，∠EFA＝α，把线段FM沿着点F逆时针旋转α，M的对应点M′恰好落在抛物线上，直接写出点M′的坐标．
2022-2023学年广东省深圳实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣B．C．﹣3D．3
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
【解答】解：∵3×＝1，
∴3的倒数是．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B．俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D．俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
3．（3分）2022年2月8日，在北京冬奥会自由式女子大跳台金牌决赛中，中国选手谷爱凌以188.25分夺得金牌．北京冬奥会大数据报告显示，这场比赛受到我国超过5650万人的关注，5650万这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×107B．5.65×107C．5.65×108D．56.5×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5650万＝56500000＝5.85×107．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
【分析】由题意得：∠ACB＝45°，∠F＝30°，利用平行线的性质可求∠DCB＝30°，进而可求解．
【解答】解：如图，∠ACB＝45°，∠F＝30°，
∵BC∥EF，
∴∠DCB＝∠F＝30°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
【分析】由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求得答案．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是（ ）
A．56B．60C．63D．72
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中60出现3次，次数最多，
∴这组数据的众数是60，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
7．（3分）若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根
【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．
【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，
∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，
∵a＞b，
∴a﹣5是19的算术平方根，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为根号a．
8．（3分）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2＝14x的解为x＝14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
9．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴﹣＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3y2﹣12＝ 3（y+2）（y﹣2） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3y2﹣12，
＝3（y2﹣4），
＝3（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”．从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是 ．
【分析】利用概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵五个字中有一个“来”字，
∴从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 ﹣6 ．
【分析】设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出x1，此题得解．
【解答】解：设方程的另一个根是x1，
依题意得：x1+3＝﹣3，
解得：x1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
14．（3分）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为 6 ．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据题意可推出BO为△ACD的中位线，再根据线段之间的长度关系推出△COD的面积，最后由反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图，
∵CD⊥x轴，BO⊥x轴，
∴CD∥BO，
∵点B是AC的中点，
∴BO为△ACD的中位线，
∴AO＝OD，BO＝，
∵，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、三角形中位线的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点M是线段BC上的动点，在线段CA上截取CN＝BM，连接AM和BN，当点M在运动的过程中，AM+BN的最小值为 2 ．
【分析】过点C作CD⊥AC并截取CD＝AB，连接DN，BD，设BD交AC于点E，利用直角三角形的边角关系定理求得AC，AB的长，利用全等三角形的判定与性质得到AM＝DN，再利用三角形的三边关系定理得到AM+BN的最小值为BD；过点B作BF∥AC，交DC的延长线于点F，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AC并截取CD＝AB，连接DN，BD，设BD交AC于点E，如图，
Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，AB＝BC•tan∠ACB＝2×tan60°＝2．
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴AB＝DC＝2，AM＝DN．
∴AM+BN＝DN+BN．
∵DN+BN≥BD，
∴AM+BN的最小值为BD．
过点B作BF∥AC，交DC的延长线于点F，
∵DC⊥AC，
∴BF⊥DF．
∵∠BCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝BC•cs∠BCF＝，
∴DF＝DC+CF＝3．
∴BD＝＝，
∴AM+BN的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（第16题5分，第17题6分，第18—20题每题8分，第21—22题每题10分，共55分）
16．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3×+﹣1﹣1
＝4﹣+﹣1﹣1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（6分）解不等式组：．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣1，
则不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
（1）本次抽查总人数为 50人 ，“合格”人数的百分比为 40% ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 115.2° ；
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），
“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，
故答案为：50人，40%；
（2）补全图形如下：
（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.2°，
故答案为：115.2°；
（4）列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图；读懂统计图中的信息、画出树状图是解题的关键．
19．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（8分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，
∴m（60﹣m），
∴m≥20．
依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．
21．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）【模型识别】：
如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．求证：BD＝CE；
（2）【类比迁移】：
如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．若BD⊥AD，，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；
（3）【方法应用】：
如图3，已知点D在AC上方，连接DB和CD，BD与AC相交于点F，若∠BDC＝90°，BF＝2CD，AB＝6，求△BFC的面积．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（2）证明四边形ADHE为正方形，则BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，进而求解；
（3）延长BA，CD交于E，证明△ABF≌△ACE（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝CE，设AF＝FM＝x，则CF＝6﹣x，得出x＝6﹣x，求出x＝6﹣6，由三角形面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：延长BD和EC交于点H，
同（1）可知△BAD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，CE＝BD＝2，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD+∠BAE+∠E＝90°+90°+90°＝270°，
∴∠H＝360°﹣270°＝90°，
又∵∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，
故四边形ADHE为矩形，
而AD＝AE，
故四边形ADHE为正方形，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝＝6
∴DH＝EH＝AD＝6，
则BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，
在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，
在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，
故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；
（3）解：延长BA，CD交于E，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠CAE＝∠BDC＝90°，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABF＝∠DCF，
又∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴BF＝CE，
又∵BF＝2CD，
∴CD＝CE，
∵BD⊥CE，
∴BC＝BE，
∴∠CBD＝∠EBD，
过点F作FM⊥BC于点M，
∵BA⊥AF，
∴AF＝FM，
设AF＝FM＝x，则CF＝6﹣x，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴FM＝CM，
∴x＝6﹣x，
∴x＝6﹣6，
∴FM＝6﹣6，
∵AB＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴S△BCF＝BC•FM＝＝36﹣18．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）如图，已知抛物线：y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和点B，交y轴于点C，且A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上第二象限的动点，过点P作BC的平行线交x轴于点D，连接PD和CD，连接AP和PC，若四边形APCD的面积为4，求此时点P的坐标；
（3）如图2，已知直线EF：交x轴于点F，交y轴于点E，M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MF，∠EFA＝α，把线段FM沿着点F逆时针旋转α，M的对应点M′恰好落在抛物线上，直接写出点M′的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点P⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，连接OP，设点P（m，﹣m2+2m+3），利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用S四边形APCD＝S△AOP+S△COP+S△ODC＝4，列出关于m的方程，解方程即可得出结论；
（3）过点M′作M′H⊥EF于点H，并延长交x轴于点N，过点H作HK⊥OF于点K，设抛物线的对称轴交x轴于点G，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质求得FH，再利用相似三角形的判定与性质求得点H的坐标；通过计算得到点N与点O重合，可知直线M′H为正比例函数的图象，利用待定系数法求得直线M′H的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，连接OP，如图，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
∵点P是抛物线上第二象限的动点，
∴OE＝PF＝﹣m，PE＝﹣m2+2m+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴OB＝OC＝3．
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PD∥BC，
∴∠PDE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥OA，
∴DE＝PE＝﹣m2+2m+3，
∴OD＝ED﹣EO＝﹣m2+3m+3，
∵S四边形APCD＝S△AOP+S△COP+S△ODC＝4，
∴OA•PE+OC•PF+OC•OD＝4，
即1×（﹣m2+2m+3）+3（﹣m）+3（﹣m2+3m+3）＝4，
解得：m＝1﹣或m＝1+（不合题意，舍去），
∴m＝1﹣，
∴P（1﹣，2）；
（3）过点M′作M′H⊥EF于点H，并延长交x轴于点N，过点H作HK⊥OF于点K，设抛物线的对称轴交x轴于点G，如图，
令x＝0，则y＝，
∴E（0，），
∴OE＝．
令y＝0，则﹣＝0，
∴x＝，
∴F（，0），
∴OF＝．
∴EF＝＝．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线 对称轴为直线x＝1，
∴OG＝1，
∴FG＝OF﹣OG＝．
由题意得：FM＝FM′，∠EFA＝∠MFM′＝α，
∴∠MFG＝∠HFM′，
在△MFG和△M′FH中，
，
∴△MFG≌△M′FH（AAS），
∴FG＝FH＝．
∵HK⊥OF，OE⊥OF，
∴OE∥HK，
∴△FHK∽△FEO，
∴，
∴HK＝，FK＝．
∴OK＝OF﹣KF＝，
∴H（，）．
∵HN⊥HF，HK⊥FN，
∴△FKH∽△FHN，
∴，
∴，
∴FN＝．
∵OF＝，
∴O，N两点重合，
∴M′H经过原点，即M′H的图象是正比例函数的图象，
设直线M′H的解析式为y＝kx，
∴k＝，
∴k＝．
∴直线M′H的解析式为y＝x．
∴，
解得：，，
∴M′的坐标为（，）或（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形 点P的与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
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（甲，丙）
（乙，丙）