精品解析：广东省深圳市南山区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

2022-2023学年度第一学期期末教学质量监测

九年级数学试题2022．12

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置．

2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效．

3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．

第一部分  选择题

一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1. 如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其俯视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，即可求解．

【详解】解：由题意得：一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其俯视图是：

，

故选B．

【点睛】本题主要考查物体的三视图，掌握俯视图的定义是关键．

2. 若方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】利用一元二次方程根判别式求出的取值范围，由此即可得．

【详解】解：方程有两个不相等的实数根，

此方程根的判别式，

解得，

观察四个选项可知，只有选项D符合，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

3. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（    ）

A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据P的位置和反比例函数关于原点成中心对称，即可得出答案．

【详解】解法一：∵P（-1，-2）在第三象限，

∴反比例函数过第三象限

∵反比例函数图形关于原点对称

∴反比例函数位于一、三象限

故选：B．

解法二：将P（-1，-2）代入 得，

∵，

∴反比例函数位于一、三象限，

故选：B．

【点睛】本题考查反比例函数图象，理解k的符号与反比例函数图象的位置是解题的关键．

4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（     ）

A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD

【答案】D

【解析】

【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．

【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．

【点睛】本题考查矩形判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型．

5. 一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球．则这个口袋中红球数大约有（　　）

A. 4个 B. 10个 C. 16个 D. 20个

【答案】C

【解析】

【分析】先计算出摸到红球的频率为0.805，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.805，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量．

【详解】因为共摸了200次，有161次摸到红球，所以摸到红球的频率==0.805，

由此可根据摸到红球的概率为0.805，

所以可估计这个口袋中红球的数量为0.805×20≈16（个），

故选C．

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

6. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理得到，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，∵，

∴，

∴，即，

解得，

故选：D．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．

7. 如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知，栅栏的总长度是，门宽度为，则三边的总长度是，根据长方形的面积公式，列出方程即可．

【详解】解：设的长度是，则的长度是，

列出方程为：，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形的面积公式列出方程．

8. 下面说法错误的是（    ）

A. 点，都在反比例函数图象上，且，则

B. 若点是线段的黄金分割点，，，则

C. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形

D. 平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积

【答案】A

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质，黄金分割点、中点四边形，以及平行四边形的性质，对选项逐个判断即可．

【详解】解：A、点，都在反比例函数图象上，

∵，

∴反比例函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，

∴，则，说法错误，符合题意；

B、若点是线段的黄金分割点，，，则，说法正确，不符合题意；

C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，说法正确，不符合题意；

D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，说法正确，不符合题意；

故选：A

【点睛】此题考查了反比例函数的性质，黄金分割点、中点四边形以及平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

9. 超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（    ）

A. 15元或20元 B. 10元或15元 C. 10元或20元 D. 5元或10元

【答案】D

【解析】

【分析】设每千克应该涨价元，根据题意，列一元二次方程，求解即可．

【详解】解：设每千克应该涨价元，由题意可得：

，

解得或

即每千克应该涨价5元或10元．

故选：D

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．

10. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（    ）个：①；②；③；④

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】①通过证明即可求证；②根据题意可得，由可得，即，即可判定；③通过证明，得到，即可求证；④过点作，交延长线于点，通过证明和即可求证．

【详解】解：①由题意可得：，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，①正确；

②由题意可得：，

∴，

∴，即，

∴，即，②错误；

③由题意可得：，

∴，

∴，即

又∵，

∴，③正确；

④过点作，交延长线于点，如下图：

由题意可得：，，

∴，，

∴，

∴，

由勾股定理可得：，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴，即，④正确；

正确的个数为3，

故选：C

【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

第二部分  非选择题

二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 若，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据比例的性质，求解即可．

【详解】解：由可得，设，

则，

故答案为：．

【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．

12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得：，进而即可求解．

【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和=，两根之积=是解题的关键．

13. 如图，已知，则_______

【答案】

【解析】

【分析】根据平行线分线段，可得，根据，，可得，可计算出.

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴

∴，

将，代入得：.

故答案为.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题时如果平行线较多，一定要分清楚分别是哪两条平行线间夹的线段是对应成比例的，比较容易混淆，注意区分.

14. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是___________．

【答案】

【解析】

【分析】设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可．

【详解】解：设与的交点为，如下图：

设，则，

由题意可得，，

∴，

∴，即

解得，即

故答案为：．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

15. 如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】过点作，交延长线于点，利用得到，设，根据相似三角形的判定与性质以及勾股定理，得到，，即可求解．

【详解】解：过点作，交延长线于点，如下图：

由题意可得：，，

∴

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

设，则，

∴，

∴，

∴，

∴

故答案为：

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形和相似三角形．

三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题8分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16. 解下列方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），；   

（2），．

【解析】

【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；

（2）将方程化为一般式，再用因式分解法求解即可．

【小问1详解】

解：

，

即，

解得，；

【小问2详解】

解：

即

解得：，．

【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．

17. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，张老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；：较好；：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）此次调查的总人数为__________人；

（2）条形统计图缺少组女生和组男生人数，请将它补充完整；

（3）该校九年级共有学生1000名，请你估计“达标”的共有___________人．

（4）为了共同进步，张老师准备从被调查的A类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．

【答案】（1）20；    （2）见详解   

（3）900    （4）

【解析】

【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；

（2）用总人数分别乘“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，然后求出C等级的女生和D等级的男生，最后补全统计图即可；

（3）用总人数×达标人数比例即可求解；

（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【小问1详解】

解：调查的总人数为：（人），

故答案为：20；

【小问2详解】

，

（人），

D等级的男生人数有：（人），

C等级的人数有：（人），

C等级的女生人数有：（人），

补全统计图如下：

【小问3详解】

（人），

故答案为：900；

【小问4详解】

由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种．

所以．

【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率的求解公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．

18. 如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）

（1）在图（1）中，以为位似中心，位似比为1：2，在格点上将放大得到；请画出

（2）在图（3）中，线段上作点，利用格点作图使得

（3）在图（2）中，利用格点在边上作一个点，使得．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）按同向位似图形的作法作图即可；

（2）利用网格线，根据平行线分线段成比例定理作图即可；

（3）已知的两个三角形有一个公共角，所以在网格中，取格点M，作，则与的交点即为所求的点D．

【小问1详解】

在图中，以为位似中心，位似比为1：2，在格点上将放大得到，画出如下：

【小问2详解】

在图（2）中，线段上作点，利用格点作图使得，则过点N的网格纵线于线段的交点即为所求点M．

【小问3详解】

在图（3）中，利用格点在边上作一个点，使得如下：

【点睛】本题考查用无可度的直尺作图，三角形的相似，位似，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

19. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形面积．

【答案】（1）见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先通过得到，得到四边形为平行四边形，再根据，即可求证；

（2）由题意可得四边形的面积，求解即可．

【小问1详解】

证：∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，是的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵，

∴平行四边形为菱形；

【小问2详解】

解：，

由题意可得：，

，

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

20. 如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，，一次函数的图象经过点A交轴于点，反比例函数的图象也经过点A．

（1）求反比例函数的解析式：

（2）若，求的面积；

（3）当时对应的自变量的取值范围是__________（请直接写出答案）

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）过点A作，求出,进而即可求解；

（2）先证明，可得，进而即可求解；

（3）根据A的坐标和函数图象直接写出答案即可．

【小问1详解】

解：过点A作，

∵为等腰直角三角形，斜边在轴上，，

∴，，

∴，

∴,

∵反比例函数的图象也经过点A．

∴，，

∴；

【小问2详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴的面积=；

【小问3详解】

解：∵，

∴当时对应的自变量的取值范围：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质和判定，求出函数图像的交点坐标，掌握相似三角形的判定和性质是关键．

21. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．

【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：

首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为，即（    ）=4；

第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；

第三步：

【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________．

【答案】【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3，

【解析】

【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）；

第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图：

第三步：

图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，

表示边长，

，即，

故答案为：，；

【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．

∴长方形的长为，宽为x，即：，

∴，

∴，，方程的一个正根为：．

故答案为：2，3，．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的几何意义，读懂题意，根据正方形面积相等列出方程是关键．

22. 如图1，直线与坐标轴的正半轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点（点在点的左边），过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点．

（1）当点恰好是中点时，求此时点的横坐标；

（2）如图2，连接，求证：；

（3）如图3，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求此时反比例函数的解析式．

【答案】（1）；   

（2）见解析；    （3）

【解析】

【分析】（1）根据点恰好是中点，求得点的坐标，求得反比例函数的解析式，即可求解；

（2）求得两点的坐标，用表示，得到，即可求证；

（3）过点作，利用折叠的性质可以得到，求解即可．

【小问1详解】

解：由题意可得：，，

∵点恰好是中点，

∴，

此时反比例函数的解析式为：

将代入得，，解得，即

点的横坐标为；

【小问2详解】

解：将代入可得，，即

同理可得，

由题意可得：，，，

∴，

即

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴；

【小问3详解】

解：过点作，如下图：

由折叠的性质可得：，，

由题意可得：，，

∴，

∴,

∴，

∴，

∴，即

解得，

，即，解得，

即反比例函数的解析式为．

【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．