初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定第2课时学案设计

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第2课时 三边成比例的两个三角形相似
学习目标：1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理的引理.
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
自主学习
一、知识链接
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获证明三角形相似的启发吗？
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
合作探究
要点探究
探究点1：三边成比例的两个三角形相似
操作 任意画 一个△ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的k倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
发现 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
证明 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
【要点归纳】利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：∵，∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
【典例精析】
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
AB=4 cm ，BC =6 cm ，AC =8 cm，
A′B′=12 cm ，B′C′=18 cm ，A′C′=24 cm.
【针对训练】已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1) AB =3，BC =4，AC＝6，
DE＝6，EF＝8，DF＝9；
(2) AB=4，BC =8，AC＝10，
DE＝20，EF＝16，DF＝8.
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
【方法总结】判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
【注意】计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′= 90°，且，求证：△ A′B′C′∽△ABC.
【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有2组边成比例和90°的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解
例4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，,∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
二、课堂小结
当堂检测
1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由
AB=5 cm ，BC =7 cm ，AC =8 cm，
A′B′=15 cm ，B′C′=21 cm ，A′C′=23 cm.
2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由.
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，求证： △ABC∽△DBA.

4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：仅形状不同的两个三角形是相似三角形，相似的判定定义有：对应角相等，对应边成比例，也有平行线判断相似.
2. 解：三角形全等判定有：边边边、角边角、角角边、边角边、斜边直角边.
3. 解：能.
合作探究
一、要点探究
探究点1：三边成比例的两个三角形相似
【典例精析】
例1 解：相似.理由如下：
∵，， ,
∴∴△ABC∽△A′B′C′.
【针对训练】解：（1）不相似；（2）相似.
例2 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
∵，，，
∴. ∴ △ABC ∽ △DEF.
例3 【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有2组边成比例和90°的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴BC = AB² －AC ² = ( 2 A′B′ )²－( 2 A′C′ )² = 4（A′B′）²－ 4（ A′C′）²
= 4 (（ A′B′）²－（A′C′）²) = 4（B′C′）²= ( 2 B′C′ )².
∴ BC=2B′C′，
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
例4 解：∵，∴ △ABC ∽△ADE (三边成 比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC= ∠DAE －∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.
当堂检测
1. 解：不相似.理由如下：
∵，，，
∴△ABC与△A′B′C′的三边不成比例，∴不相似.
2.解：相似，
图①中的三角形三边分别为，2 ，；
图②中的三角形三边分别为 2，2，2.
则，所以这两个三角形相似.
3. 证明：∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，∴AB=，AC=，AD=.
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA.
4. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∴，∴ △ABC∽△EFD.
5. 解：公路 AB 与 CD 平行.∴，
∴ △ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.