广东省汕头市潮阳一中明光学校2023-2024学年高一上学期第二次检测（11月）数学试题（解析版）

这是一份广东省汕头市潮阳一中明光学校2023-2024学年高一上学期第二次检测（11月）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
2. 已知全集为，集合，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先由指数函数的单调性化简集合，再解二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算先求得，再求得.
【详解】因为在上单调递减，所以由得，故，更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 由得，解得，故，
所以或，
所以或.
故选：D.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性和函数值符号即可排除错误选项.
【详解】的定义域为，
因为，
所以偶函数，图象关于y轴对称，故CD错误；
易知，，故B错误.
故选：A
4. 已知函数，则
A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
5. 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.
方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.
方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.
【详解】［方法一］：特殊函数法
由题意，不妨设，因为，
所以，化简得．
故选：D.
［方法二］：【最优解】特殊值法
假设可取，则有，
又因为，所以与矛盾，
故不是不等式的解，于是排除A、B、C．
故选：D.
［方法三］：直接法
根据题意，为奇函数，若，则，
因在单调递减，且，
所以，即有：，
解可得：.
故选：D.
【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；
方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；
方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．
6. 已知，，，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b故选：A.
7. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
8. 已知函数，对，使得成立，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对a分类求出函数的值域，然后由值域之间的包含关系可得.
【详解】当时，记和的值域分别为集合A，B.
当时，，当时，，
所以，函数的值域为.
因为对，使得成立，
所以，.
当时，，满足题意；
当时，，则，解得；
当时，，则，解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，令，，则，，，
，B错误；
对于C，为定义在上的增函数，，C正确；
对于D，，
，D正确.
故选：ACD.
10. 若函数，则下述正确的有（ ）
A. 在R上单调递增B. 的值域为
C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称
【答案】AC
【解析】
【分析】A.由和的单调性判断；B.取判断；C.D.判断是否等于零即可.
【详解】因为是定义在R上的增函数，是定义在R上的减函数，
所以在R上单调递增，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
所以的图象关于点对称，故C正确，D错误．
故选：AC．
11. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即,给出如下四个结论：正确结论的是（ ）
A.
B. ；
C. ;
D. “整数属于同一“类”的充要条件是“”.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对各项进行分析，利用类的定义直接求解.
【详解】A中，因为，所以，故A对；
B中，因为，所以，故B错；
C中，因为整数集中的数被5除的数余数可以分为五类，
所以，故C对；
D中，若两个数属于同一类，则对应的余数相同，则相减为0，故，故D对.
故选：ACD
12. 已知函数，则（ ）
A. B. 对任意实数a，函数为奇函数
C. 存在实数a，使得为偶函数D. 时，在区间上为单调递增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出与比较，判断A；根据函数的奇偶性定义判断B；取特殊值判断C；根据函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，的定义域为，关于原点对称，
且，故对任意实数a，函数为奇函数，B正确；
对于C，当时，，，此时为偶函数，
故存在实数a，使得为偶函数，C正确；
对于D，时，，则，
因为且在上单调递减，故在上单调递增，D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个定义域为R的函数，使得不等式的解集为，该函数_________．
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】根据函数图象平移可知的解，再根据函数的零点及增减性构造函数即可求解.
【详解】将的图象向右平移1个单位可得到的图象，
故的解集为，
故可取函数.
故答案为：（不唯一）
14. 计算的值为________
【答案】
【解析】
【分析】根据实数指数幕的公式转化即可求解．
【详解】
故答案为：．
15. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
【答案】6
【解析】
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意可知，“孤立元”即为在集合中无与之相邻的元素，
故满足条件的集合有，共6个集合.
故答案为：6
16. 已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值．
【详解】设，，
图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，
时，，时，，时，，
因此时，，时，，，
所以①，②，
由①得，代入②得，因为，此式显然成立．
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）已知函数．记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）；
（2）关于不等式的解集为，求的值.
【答案】（1）作图见解析，单调递减区间为，；（2）16.
【解析】
【分析】（1）先写出函数的解析式，然后根据一次函数和二次函数的图象特征作出草图，然后由图象可得单调区间；
（2）利用韦达定理求出m，n，然后可解.
【详解】（1）当时，；当时，；当时，.
所以，
函数的图象如图所示：

所以函数的单调递减区间为，．
（2）不等式化为，
依题意，是方程的两个实根，则，
解得，
所以
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式；
（2）用定义证明函数的单调性；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
【小问1详解】
由题意，得，
∴（经检验符合题意），故．
【小问2详解】
证明 任取，且，
则．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函数．
【小问3详解】
由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，∴，∴，
解得．∴不等式的解集为．
19. 在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
（1）当时，求A∪B；
（2）若_______，求实数a的取值范围.
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由并集运算求解即可；
（2）选①：由交集运算的结果列出不等式，得出实数a的取值范围.选②：由是的真子集，结合包含关系得出实数a的取值范围.选③：由，结合包含关系得出实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，集合，
所以.
【小问2详解】
若选择①，
因为，所以，
又，所以或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，
又，所以或解得，
所以实数a的取值范围是.
若选择③，则，
因为 ，所以，
又，所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
20. 物流公司A拟在某城市港口建立某产品进口供货基地，该物流公司对周边商户、居民社区、道路、河道和水库、地区气候等信息进行调研后．拟在一块矩形空地上建造大型仓库（如图所示）进行产品的储存．已知需要建造的两个仓库占地面积（图示中空白部分）均为40000平方米，仓库四周及中间（阴影部分）硬化为水泥路面，方便货物运输．
（1）若矩形仓库的长比宽至少多90米，但不超过300米，求仓库宽的取值范围；
（2）若水泥路面宽度均为50米，求建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的最小占地面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设仓库的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【小问1详解】
设仓库的宽为x米，长为y米，由面积均为40000平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大90米，所以，
所以，解得，
又，所以.
仓库宽的取值范围为：.
【小问2详解】
建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
21. 已知，且.
（1）求的最小值，并求出相应的值；
（2）是否存在实数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）最小值为2，；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
（2）假定存在，结合已知求出，再与（1）的结论比对判断即得.
【小问1详解】
由，，得，于是，解得，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以的最小值为2，此时.
【小问2详解】
假定存在实数，使得成立，于是，而，，
于是，整理得，由（1）知，，而，
因此不存在存在实数，使得成立.
22. 定义：已知集合，，，则称为“有界恒正不等式”.
（1）当时，判断是否为“有界恒正不等式”；
（2）设为“有界恒正不等式”，求的取值范围.
【答案】（1）是“有界恒正不等式”；（2）或.
【解析】
【分析】（1）当时，解不等式得解集，化简，根据可得答案；
（2）分类讨论，求出不等式的解集，根据列式可求出结果.
【详解】（1）当时，，不等式为，
解得得或，
设此不等式解集为得或，
因为
所以当时，是“有界恒正不等式”.
（2）设解集为，则，
由题可得
当时，，由，得，满足
故符合题意.
当时，由，得.
当，即时，，
又的解集为，满足
故符合题意.
当，即时，
的解集或，
因为所以或，解得或.
因为所以.
当.即时，
的解集为或，.
因为
所以或，解得或
所以.
综上所述，的取值范围是或.