2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校高二上学期第二次月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数(为虚数单位), 是的共轭复数,则的虚部为
A．0B．-1C．1D．-2
【答案】A
【详解】：，则
2．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】由直线，
则，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
3．已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.
【详解】设平面的一个法向量为，
又，
由，
即，
又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，
故选：B.
4．已知函数
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：设，则，
，所以，所以答案为D.
【解析】1.对数函数的运算律；2.换元法.
5．把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图象的变换性质、值域性质进行求解即可.
【详解】，
因为函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，
，
因此的值域为，
故选：B
6．设的内角所对边的长分别为，若,则角=
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：，由正弦定理可得即； 因为，所以，所以，而，所以，故选B.
【解析】1.正弦定理；2.余弦定理.
7．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，则三棱锥与三棱锥的体积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意结合三棱锥的体积公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】因为底面为平行四边形，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因此.
故选：C.
【点睛】本题考查了三棱锥体积公式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.
8．已知椭圆左顶点为，上下顶点为C，D，在椭圆上（P在第一象限，Q在第四象限），O为坐标原点，记分别表示的面积，且，下列说法：①；②③；④为定值.正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据点到直线距离公式，结合三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】直线方程，
点Q到直线距离为，（i），
由P，Q在椭圆上，得（ii）
（ii）（i）得

不是定值，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用点到直线距离公式、三角形面积公式.
二、多选题
9．事件A，B是相互独立的，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．C．D．.
【答案】ABD
【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式逐一判断即可.
【详解】A：因为事件A，B是相互独立的，，，
所以，
因此本选项正确；
B：因为事件A，B是相互独立的，，，
所以，
因此本选项正确；
C：因为事件A，B是相互独立的，，，
所以，
因此本选项不正确；
D：因为事件A，B是相互独立的，，，
所以，
因此本选项正确；
故选：ABD
10．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．的面积为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为
D．以为直径的圆的方程为
【答案】AB
【分析】由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，离心率，由得出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项.
【详解】由双曲线，可得，则，渐近线为.
对于A，因为，所以A正确；
对于B，设，则，
所以，得，
因为点是双曲线上，所以，解得，
所以的面积为，所以B正确；
对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；
对于D，由于 ，所以以为直径的圆，圆心为，半径为，
所以圆的方程为，所以D错误.
故选：AB.
11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AB
【分析】设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误.
【详解】由得：，可设，；
对于A，，
当时，，A正确；
对于B，，
当时，；B正确；
对于C，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：，
，，C错误；
对于D，，
当时，，D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解.
12．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（ ）
A．平面平面ABC
B．面积的最小值为
C．平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形
D．若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为
【答案】ABD
【分析】由面面垂直的判定定理可判断A；以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设所成角为，由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式结合二次函数的性质可判断B；当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，可判断C；若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，三棱锥的棱长最长为，故可求出正方体的体积最小值可判断D.
【详解】对于A，因为，，
故，，则，又因为，
所以，故，
因为，为的中点，所以，
则平面ABC，所以平面ABC，
平面，则平面平面ABC，故A正确；

对于B，因为平面ABC，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，设所成角为，
而，
又，故，
，
所以的面积为，

故B正确；
对于C，当为中点，取的中点，连接，
因为，故四边形四点共面，
且四边形为平行四边形，又因为，
故四边形为菱形，所以当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，故C不正确；

对于D，因为，，所以，
故三棱锥P－ABC的外接球半径为，故该外接球的内接正方形的棱长为，
若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题的关键点在于由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式可得，再由二次函数的性质可求出面积的最小值.
三、填空题
13．已知数列的前项和为，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用求得.
【详解】当时，，
当时，，
当时上式也符合，所以.
故答案为：
14．过抛物线的焦点F作斜率等于的直线与抛物线C交于A．B两点，则 .
【答案】
【解析】将直线方程代入抛物线方程，利用抛物线焦点弦长公式，结合韦达定理可求得结果.
【详解】由抛物线方程知：，则直线方程为：，
代入抛物线方程可得：，整理得：，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的求解问题，属于基础题.
15．已知P是圆上任意一点，平面上两个定点，，则的最小值为
【答案】
【分析】根据题意，在轴上取，使得，再结合图形，代入计算，即可得到结果.
【详解】
设轴上一个定点，，记，，
则，化简可得，
即，
且，则，解得，
则，，即，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
16．斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取的中点，得到，再由，，结合所以，求得，利用，即可求解.
【详解】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，
联立方程组，整理得，
可得，则，
又由在直线上，可得，
所以，所以，
即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，
如图所示，取的中点，
因为的重心在中线上，的重心在中线上，
所以，，可得，
即，
又由，可得，可得
因为，且的外心为点，则为线段的中点，
可得，因为，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.

【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
四、解答题
17．已知数列{an}满足，，令.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将递推关系代入，利用定义证明是等差数列；
（2）由等差数列通项公式求，进而得.
【详解】（1）∵
，
∴，又，
∴是首项为，公差为的等差数列．
（2）由（1）知，
，∴.
五、问答题
18．在中，.
(1)求；
(2)再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求边上中线的长．
条件①：的周长为；条件②：的面积为 .
（若选择多个做答，按第一作答给分）
【答案】(1)
(2)若选择①：；若选择②：
【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，再求出.
（2）若选择①，则结合正弦定理、余弦定理求得中线长；若选择②，则根据三角形的面积公式、余弦定理求得中线长.
【详解】（1）∵，∴由正弦定理可得，
∴，∵，∴，
∴，解得.
（2）若选择①：
由（1）可得.
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长为
.
若选择②：
由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长为
.
六、解答题
19．（1）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，求圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C. 求C的方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据曲线与坐标轴的交点求出圆心与半径可得圆的方程；
（2）根据所给题意建立方程化简即可得解.
【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为，，
由圆的几何性质，可设圆的圆心坐标为，
则有，
解得，则圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）点P的坐标为，到轴的距离为，则，
故有，化简得，
当时，有；当时，有，
所以C的方程为或.
七、证明题
20．如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得各点坐标，从而可得各向量坐标，根据向量数量积为0则两向量垂直，可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面．（2）根据向量垂直数量积等于0可求得平面的一个法向量，由数量积公式可求得两法向量所成角的二面角．两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，所以观察图像可得所求二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的余弦值等于两法向量余弦值的绝对值．
试题解析：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
依题设，．
.
（1） ，
，即
又，平面．
（2）由（1）知为面的一个法向量．
设向量是平面的法向量，则，
．
令，则，．
所以
观察可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
【解析】1线面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．
【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．用空间向量法解题时一定要注意二面角的余弦值等于两法向量夹角的余弦值或其绝对值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
八、解答题
21．已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：与椭圆交于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，利用代入法进行求解即可；
（2）根据椭圆和圆的弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
又因为椭圆经过点，
所以有，而，所以解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，
所以以为直径的圆的方程为，
∴圆心到直线l的距离，
∴.
设，由，得，
恒成立，
由根与系数的关系可得，
，
∴，所以
，
由，得 ，
解得，∴直线l的方程为或.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆和圆的弦长公式.
22．已知G是圆T：上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C
(1)求曲线C的方程；
(2)设P是曲线C上任一点，延长OP至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线交曲线E于A，B两点，求面积的最大值.
(3)M，N是曲线C上两个动点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为，且，则的面积为定值，求出此定值（直接写出结论，不要求写证明过程）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得，动点的轨迹为椭圆，待定系数法求方程即可；
（2）求出点的轨迹方程曲线，，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示，由直线与曲线有交点确定参数范围，求面积最大值；
（3）设两点的坐标，表示出的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求的面积.
【详解】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，
所以，，

由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，，
所以曲线的方程为.
（2）设，，，
代入：得，
所以曲线的方程为.
由知，同理，
，
设，

①当直线有斜率时，设：，
代入椭圆的方程得：，
，，
将：代入椭圆的方程得：，
与椭圆有公共点，
由得：，
令，则，
．
②当斜率不存在时，设：，代入椭圆的方程得：，
，
综合①②得面积的最大值为，
所以面积的最大值为．
（3）设，，直线：；
，到直线的距离，
所以
另一方面，因为，是椭圆上的动点，
所以可设，，，
由，得，
为定值.
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．