2022-2023学年广东省汕头市潮阳区棉城中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省汕头市潮阳区棉城中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合{x∈N*|x–3<1}用列举法可表示为

A．{0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4}

C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}

【答案】C

【分析】解不等式求得的范围，再用列举法求得对应的集合.

【详解】由解得，由于，所以，故集合为，故选C.

【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查列举法表示集合，属于基础题.

2．下列说法中，正确的个数是（    ）

①的近似值的全体构成一个集合

②自然数集N中最小的元素是0

③在整数集Z中，若，则

④一个集合中不可以有两个相同的元素

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.

【详解】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；

②自然数集N中最小的元素是0，正确；

③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，

④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，

故选：C．

3．命题“，”的否定是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由全称命题的否定形式可得解

【详解】由全称命题的否定形式可得：

命题“，”的否定是“，”

故选：B

4．已知，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，且则

【答案】B

【分析】选项A、C、D通过举出反例来说明其错误，选项B利用不等式的性质来说明其正确．

【详解】若则，A不正确；

B：因为，，则，所以，故B正确；

C：当时，可得不等式不成立，故C不正确．

D：若，满足条件，但，所以D不正确.

故选：B．

5．下列函数中，在其定义域内既为奇函数又为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶性和单调性逐项判断即可.

【详解】对于选项：是奇函数，但在定义域内不是增函数，故选项不符合题意；

对于选项：是奇函数，且在上单调递增，故选项符合题意；

对于选项：是偶函数，故选项不符合题意；

对于选项：是偶函数，故选项不符合题意．

故选：B

6．已知函数，则函数的最小值等于（   ）

A． B． C．5 D．9

【答案】C

【分析】利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件.

【详解】因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：C.

7．已知是定义在上的偶函数，那么的值是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用偶函数定义求出，然后利用偶函数定义域的对称性求出，进而求出答案.

【详解】由偶函数定义可知，即，

所以，

又因为，所以，

从而.

故选：A．

8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（    ）年时，其营运的年平均利润最大.

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先根据题意求出总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系式，从而可得，化简后利用基本不等式可求得其最大值.

【详解】根据二次函数的图象设二次函数为，

因为图象过，

所以，解得，

所以（），

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润最大，

故选：C.

二、多选题

9．下列函数中，值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】分别求出各函数的值域即可得答案.

【详解】单调递增，值域为：A错；

的值域为：B错；

的值域为：，C对；

的值域为：，D对.

故选：CD

10．，下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用不等式性质逐一判断即可．

【详解】由，可得，故A正确；

由，可得，故B错误；

由可得，故，，故C正确，D错误.

故选：AC.

11．已知集合中至多有一个元素，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】对分成和两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.

【详解】当时，，符合题意.

当时，，所以符合.

故选：ACD

【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的个数求参数.

12．下列条件可以作为的充分不必要条件的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】首先解一元二次不等式得到，再根据集合的包含关系及充分条件必要条件的定义判断可得；

【详解】解：由，即，解得，因为，所以是的必要不充分条件，故A错误；

所以是的充分不必要条件，故B正确；

，所以是的必要不充分条件，故C错误；

所以是的充分不必要条件，故D正确；

故选：BD

三、填空题

13．函数的定义域是______．

【答案】

【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围，即分母不为0，二次根式下被开方数不小于0.

【详解】由题意，解得．

故答案为：．

14．若函数在（]上单调递减，则p的取值范围是________

【答案】

【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为.

在（]上单调递减，在单调递增.

所以，解得.

答案为.

15．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为______．

【答案】

【分析】先由幂函数的定义可得，求出的值，再由在上是减函数，可得答案

【详解】由函数是幂函数，则，解得或，

又因为在上是减函数，所以；

故答案为：

16．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是____________.

【答案】3

【分析】这个题目考查了集合的新定义问题，根据题意，则，就称是伙伴关系集合，可得到集合分别为：，，.

【详解】根据题意得到，则，就称是伙伴关系集合，则满足条件的集合为，，.

故答案为3.

【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．

四、解答题

17．已知全集，，.

(1)当时，，；

(2)若，求实数a的取值范围，

【答案】(1)，或；

(2)

【分析】（1）解不等式，求出，进而求出与；（2）利用交集结果得到集合的包含关系，进而求出实数a的取值范围.

【详解】（1），解得：，所以，当时，，所以，或；

（2）因为，所以，要满足，所以实数a的取值范围是

18．已知函数

(1)求，，；

(2)若，求的值．

【答案】(1)3，2，4

(2)或3

【分析】（1）根据自变量的范围代入进行求值即可；

（2）分段解方程即可求解.

【详解】（1）因为，

所以．

因为，所以．

又，

所以．

（2）经观察可知，否则．

若，令，得，符合题意；

若，令，得，符合题意．

故的值为或3．

19．已知奇函数，当时，（为常数），

(1)求的值；

(2)求的解析式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由是奇函数可得，代入解出的值，再利用即可求解；

（2）设，则，将代入解析式，再利用奇函数的定义求解即可.

【详解】（1）由于是奇函数，且时，（为常数），

所以，，，

所以，解得，

所以时，，

所以.

（2）设，则，

所以，

因为是奇函数，，

所以时，，

所以时，，

所以．

20．已知函数．

(1)证明函数在上是减函数；

(2)求，的值域．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用单调性的定义，采用作差法进行证明；

（2）利用函数的单调性求其值域.

【详解】（1）任取、，且，

则，

因为，所以，，，

所以，即，

所以函数在上是减函数．

（2）由（1）的证明知，函数在上是减函数．

因为，

所以函数在上是减函数．

所以函数在上的最大值是，最小值是，

所以函数在上的值域是．

21．已知关于 的不等式，其中.

(1)若该不等式的解集为 ，求的值;

(2)解原不等式.

【答案】(1)1；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据不等式的解可知对应方程的根，利用根与系数的关系求解；

（2）分解因式后，分类讨论求解一元二次不等式即可.

【详解】（1）原不等式的解集为 ，所以 1 和 2 是方程的两实根，

所以，解得 .

（2）由原不等式可得，

当时，即时，解得，原不等式的解集为;

当时，即时，原不等式为，解得，原不等式的解集为;

当时，即时，解得，原不等式的解集为

综上，时，；时，；时，.

22．已知，且.

（1）求实数和的值，并求的最小值；

（2）若不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），，；（2）.

【解析】（1）根据，得到1，3是的两个根，从而得到，进而得到，利用基本不等式求解,

（2）由恒成立，转化为，恒成立，利用判别式法求解.

【详解】（1）∵，

∴1，3是的两个根，

∴，

∴，.

∴，

时，，

当且仅当即时上式取等号，

所以.

（2）由，得 （*）

当即时，不等式（*）为，不满足对任意实数都成立，

∴，∴，

∴，

∴，

∴，

∴的取值范围为.

【点睛】方法点睛：(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，.

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再求函数的最值来处理，一般后者比较简单．