2024届高考数学二轮复习专题强化练(三)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(三)含答案，共12页。
A．3－3a B．－eq \f(3,2)a
C．－eq \f(1,2)a D．3a
解析：因为|a|＝2|b|，a与b的夹角为120°，
所以(2b－a)·a＝2b·a－a2＝2|b||a|cs 120°－a2＝－eq \f(1,2)|a|2－|a|2＝－eq \f(3,2)|a|2，
所以2b－a在a上的投影向量为
eq \f([（2b－a）·a]a,|a|2)＝eq \f(－\f(3,2)|a|2·a,|a|2)＝－eq \f(3,2)a.
故选B.
答案：B
2．(2023·广州黄埔区校级模拟)平面向量|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解析：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即a2－a·b＝0，
所以a·b＝a2＝2，
所以cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\r(2),2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
故a，b的夹角是eq \f(π,4).
故选C.
答案：C
3．(2023·上海黄埔区校级模拟)如图，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(11,20)，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝( )
A．2 B．4
C．6 D．10
解析：因为eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，又因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,16)eq \(AB,\s\up6(→))2＝25－eq \f(1,2)×8×5cs θ－eq \f(3,16)×82＝25－eq \f(1,2)×8×5×eq \f(11,20)－12＝2.故选A.
答案：A
4．(2023·普宁校级二模)设e是单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝3e，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3e，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝3e，eq \(CD,\s\up6(→))＝－3e，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以四边形ABCD是平行四边形．
又因为|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，所以四边形ABCD是菱形．
故选B.
答案：B
5．(2023·广东模拟)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如△ACD)为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))的值为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
解析：如图，连接OD，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
由题意可得图中各个三角形都为等腰直角三角形，
所以∠ADO＝∠ODB＝eq \f(π,4)，|eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4，
∠ADB＝eq \f(π,2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DO,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))2＋|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DO,\s\up6(→))|cs eq \f(3π,4)＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋|eq \(DB,\s\up6(→))||eq \(DO,\s\up6(→))|cs eq \f(π,4)
＝42＋4×eq \r(2)×(－eq \f(\r(2),2))＋2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝14.
故选C.
答案：C
6．(2023·深圳福田区校级模拟)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(NA,\s\up6(→))，则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的值为( )
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
解析：法一 由题意，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(NA,\s\up6(→))，
所以eq \f(BM,MA)＝eq \f(CN,NA)＝2，所以BC∥MN，且BC＝3MN，
又MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON·cs 120°＝1＋4－2×1×2×(－eq \f(1,2))＝7，所以MN＝eq \r(7)；所以BC＝3eq \r(7)，
所以cs ∠OMN＝eq \f(OM2＋MN2－ON2,2OM·MN)＝eq \f(1＋7－4,2×1×\r(7))＝eq \f(2,\r(7))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))|×|eq \(OM,\s\up6(→))|cs (π－∠OMN)＝3eq \r(7)×1×(－eq \f(2,\r(7)))＝－6.
法二 不妨设四边形OMAN是平行四边形，
由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(NA,\s\up6(→))，
知eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AN,\s\up6(→))－3eq \(AM,\s\up6(→))＝－3eq \(OM,\s\up6(→))＋3eq \(ON,\s\up6(→))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝(－3eq \(OM,\s\up6(→))＋3eq \(ON,\s\up6(→)))·eq \(OM,\s\up6(→))
＝－3eq \(OM,\s\up6(→))2＋3eq \(ON,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))
＝－3×12＋3×2×1×cs 120°
＝－6.
故选C.
答案：C
7．(多选题)(2023·广东模拟)如下图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠eq \f(π,2))角的两条数轴，e1、e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若eq \(OM,\s\up6(→))＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量eq \(OM,\s\up6(→))的斜坐标，记为eq \(OM,\s\up6(→))＝(x，y)．在θ＝eq \f(π,4)的斜坐标系中，a＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，b＝(eq \r(3)，－1)．则下列结论错误的是( )
A．a－b＝(eq \f(1,2)－eq \r(3)，eq \f(\r(3),2)＋1)
B．|a|＝1
C．a⊥b
D．b在a上的投影向量为(eq \f(2\r(2)＋\r(3),5)，eq \f(2\r(6)＋3,5))
解析：在θ＝eq \f(π,4)的斜坐标中，a＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，b＝(eq \r(3)，－1)，
a－b＝(eq \f(1,2)e1＋eq \f(\r(3),2)e2)－(eq \r(3)e1－e2)＝(eq \f(1,2)－eq \r(3))e1＋(1＋eq \f(\r(3),2))e2＝(eq \f(1,2)－eq \r(3)，1＋eq \f(\r(3),2))，A正确；
a＝eq \f(1,2)e1＋eq \f(\r(3),2)e2，
则|a|＝eq \r(（\f(1,2)e1＋\f(\r(3),2)e2）2)＝eq \r(\f(1,4)＋\f(\r(3),2)e1·e2＋\f(3,4))＝
eq \r(1＋\f(\r(3),2)×1×1×\f(\r(2),2))＝eq \r(1＋\f(\r(6),4))≠1，B错误；
a·b＝(eq \f(1,2)e1＋eq \f(\r(3),2)e2)·(eq \r(3)e1－e2)＝eq \f(\r(3),2)eeq \\al(2,1)＋e1·e2－eq \f(\r(3),2)eeq \\al(2,2)＝eq \f(\r(2),2)≠0，C错误；
因为|a|2＝1＋eq \f(\r(6),4)，a·b＝eq \f(\r(2),2)，
b在a上的投影向量为eq \f(a·b,|a|)·eq \f(a,|a|)＝eq \f(a·b,|a|2)·a＝eq \f(\f(\r(2),2),1＋\f(\r(6),4))·(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))＝(eq \f(2\r(2)－\r(3),5)，eq \f(2\r(6)－3,5))，D错误．
故选BCD.
答案：BCD
8．(多选题)(2023·汕头二模)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是( )
A．AM＝eq \f(\r(39),2)
B．BN＝eq \f(\r(21),2)
C．∠MPN的余弦值为eq \f(\r(21),21)
D．eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0
解析：如图，连接PC，并延长交AB于Q，
△ABC中，AB＝2，AC＝5，
∠BAC＝60°，
BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(PB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(BN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
AM＝|eq \(AM,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)eq \r(（\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))）2)
＝eq \f(1,2) eq \r(\(AB,\s\up6(→))2＋\(AC,\s\up6(→))2＋2\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2) eq \r(22＋52＋2×2×5×\f(1,2))＝eq \f(\r(39),2)，故A正确；
BN＝|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(（\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）2)
＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))2＋\f(1,4)\(AC,\s\up6(→))2－\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)))
＝eq \r(22＋\f(1,4)×52－2×5×\f(1,2))＝eq \f(\r(21),2)，故B正确；
cs ∠MPN＝cs〈eq \(PN,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(PN,\s\up6(→))·\(PM,\s\up6(→)),|\(PN,\s\up6(→))|·|\(PM,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\f(1,6)（\(AC,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))）·（\f(1,6)\(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))）,|\(PN,\s\up6(→))|·|\(PM,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\f(1,36)\(AC,\s\up6(→))2－\f(1,18)\(AB,\s\up6(→))2－\f(1,36)\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),\f(1,3)|\(BN,\s\up6(→))|·\f(1,3)|\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(4\r(91),91)，故C错误；
eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝0，故D正确．
故选ABD.
答案：ABD
9．(2023·惠州模拟)已知平面向量a＝(－2，4)，b＝(λ，1)，若a与b垂直，则实数λ＝________．
解析：平面向量a＝(－2，4)，b＝(λ，1)，a与b垂直，
则－2λ＋4＝0，解得λ＝2.
答案：2
10．(2023·广州一模)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，x)，a与a＋b共线，则|a－b|＝________．
解析：因为a＝(1，2)，b＝(3，x)，所以a＋b＝(4，2＋x)，
因为a与a＋b共线，所以2＋x＝8，所以x＝6，
所以b＝(3，6)，所以a－b＝(－2，－4)，
则|a－b|＝eq \r(（－2）2＋（－4）2)＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
11．(2023·汕头潮阳区三模)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，求eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝________．
解析：因为AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC＝2×1×eq \f(1,2)＝1，
所以eq \(AB,\s\up6(→))2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝22＝4，eq \(AC,\s\up6(→))2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝12＝1.
因为eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(3eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，
eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(3eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)(3eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)(3eq \(AC,\s\up6(→))2－4eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2)
＝eq \f(1,4)(3×1－4×1＋4)
＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
12．(2023·惠州模拟)在平面直角坐标系xOy中，将向量eq \(OP,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))按顺时针方向绕原点O旋转eq \f(π,3)后得到向量eq \(OQ,\s\up6(→))＝(a，b)，则ab的值为________．
解析：设经过点P的终边角度为α(0