河南省安阳市第五中教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份河南省安阳市第五中教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3B．3，3，3C．4，3，8D．4，3，7
3．如图，的AB边上的高是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
4．三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
5．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（ ）
A．15°B．30°C．10°D．20°
8．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边中垂线的交点
9．有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）
A．①②④B．①②C．①④D．②③
10．在中，已知点分别是边上的中点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题）
11．把因式分解的结果是______．
12．如图，在和中，，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明，则还需补充条件：______．
13．如图，，以点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角．则点的坐标为______．
14．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，则______度．
15．如图，是的两个外角的角平分线，，且．下列结论中正确的个数有______个．
①；
②；
③；
④．
三．解答题（共7小题）
16．先化简再求值：，其中．
17．分解因式．
（1）（2）
18．如图，已知的顶点都在图中方格的格点上．
（1）画出关于轴对称的，并直接写出三点的坐标．
（2）的面积是______；
（3）在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）
19．小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和．
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
20．如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于两点，与相交于点．
（1）若，求的周长；
（2）若，则的度数为______．
21．（10分）在下图的基础上，平分，点为直线上一点，过点作于点．
（备用图）
（1）若点在线段上，则与有什么关系？
（2）若点在线段或的延长线上，（1）中探究的结论还成立么？请说明理由．
22．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值；
（3）若关于的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，求代数式的最小值．
23．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
图1 图2
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“>”“<”或“＝”）
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“>”、“<”或“＝”）理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
安阳市五中教育集团八年级期中试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【答案】B
【分析】根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．
【解答】解：A．，不能构成三角形，不符合题意；
B．，即，能构成三角形，符合题意；
C．，不能构成三角形，不符合题意；
D．，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查构成三角形的三边关系，掌握其判定方法是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】根据高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高作答．
【解答】解：根据三角形高的定义可知，的AB边上的高是线段CE．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高的概念，正确理解定义和会看图形是关键．
4．【答案】B
【分析】由三角形的外角性质可得，从而可求得结果．
【解答】解：如图，
由三角形的外角性质可知，，
，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形外角的性质是解题的关键．
5．【答案】D
6．【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线，角平分线的性质一一判断即可．
【解答】解：A．点是的中点，本选项符合题意；
B．点在的垂直平分线上，不符合题意；
C．是的角平分线．不符合题意；
D．垂直，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又由于折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而求出的度数．
【解答】解：中，，，
将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则，
是的外角，
．
故选：C．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．
8．【答案】D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
9．【答案】D
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【解答】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．不能构成周角，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
10．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
二、填空题（共4小题）
11．【答案】
原式
12．【答案】．
【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可．
【解答】解：在和中，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形全等三角形的判定的应用，掌握HL是解题关键．
13．【答案】．
【分析】作轴，垂直为，证明，得到，进而得到，根据点在第三象限即可求解．
【解答】解：如图，作轴，垂直为，则，
点坐标分别为，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系等知识，熟知相关知识，添加辅助线，证明是解题关键．
14．【答案】48或52．
【分析】根据“倍角三角形”的定义，可分两种情况：①是另一个角的2倍；②是的2倍，再结合三角形的内角和定理进行求解即可．
【解答】解：①当是另一个角的2倍时，
，另一个角是，
第三个角的度数为：，
；
（2）当是的2倍时，
，
，
解得：．
综上所述，的度数为：或．
故答案为：48或52．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为．
15．【答案】3．
【分析】由角平分线的性质可判断①；由角平分线的定义及三角形外角的性质可判断②；过作于，利用证明三角形全等可得，再由四边形的内角和定理可判断③④．
【解答】解：，
平分，
，故①正确；
平分，
，
，
，故②正确；
过作于，
，
在和中，
，
，即，
同理：，
，即，
，
，
即，故③错误；
，故④正确．
即正确的个数有3个，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用角的平分线的性质是解题的关键．
三、解答题（共7小题）
16．【答案】．
【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式，先将中括号内的式子展开，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式计算，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．【分析】（1）多项式共3项且有公因式，应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解；
（2）多项式变形为，先提取公因式，再考虑用平方差公式分解．
【解答】解：（1）原式
（2）原式
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，一般来说，多项式若有公因式先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18．【答案】（1）作图见解析部分，；
（2）10.5；
（3）作图见解析部分．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接交轴于点，连接，点即为所求．
【解答】解：（1）如图，即为所求．；
（2）的面积；
故答案为：10.5；
（3）如图，点即为所求．
【点评】本题考查作图－轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用割补法求三角形面积．
19．【答案】（1）全等，理由见解析；
（2）爸爸是在距离地面的地方接住小明的．
【分析】（1）由题意可知，，即得出，从而可利用“AAS”证明；
（2）由全等的性质可得出，从而可求出，进而即可求出．
【解答】解：（1）与全等．
证明：由题意可知．
，
．
．
在和中，
；
（2），
．
分别为和，
答：爸爸是在距离地面的地方接住小明的．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余．理解题意，找出证明三角形全等的条件是解题关键．
20．【答案】（1）； （2）50．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）分别垂直平分边和边，
，
的周长，
，
的周长为；
（2），
，
，
，
，
由（1）可知：，
，
，
，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．解：（1）如图D11.2－1所示．
图D11.2－1
，
．
由典例6知，，
．
（2）（1）中探究的结论仍然成立．理由如下：
如图D11.2－2所示．
图D11.2－2
．
由典例6知，，
．
22．【答案】（1）16； （2）2； （3）．
【分析】（1）根据已知条件可得，根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法，即可求解；
（2）根据已知条件可得，进而可得，代入代数式，即可求解；
（3）根据题意可得，代入代数式，得出，根据完全平方公式的变形，根据偶次幂的非负性，即可求解．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
，
原式
（3）解：
；
依题意，系数为1，
，
，
，
原式
；
最小值为．
【点评】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，完全平方公式，整体代入法求解代数式的值，熟练的构造整体是解本题的关键．
23．【分析】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2），理由如下，过点作，交于点，由三角形为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证；
（3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可．
【解答】解：（1）当为的中点时，；
（2），理由如下，过点作，交于点，
证明：为等边三角形，
为等边三角形，
，
，，
，，
在和中，，
，
则；
（3）点在延长线上时，作，则为等边三角形，如图所示，同理可得，
，
，
，
则．
故答案为：（1）＝；（2）＝
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．