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辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知等差数列的前项和为，则， 下列求导运算正确是， 已知，函数的大致图象可能是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，则（ ）
A 8B. 11C. 18D. 19
2. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. 5D.
4. 定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（ ）
A B.
C. D.
6. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A 14B. 26C. 28D. 32
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知等比数列前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 恒成立
D. 若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若函数的导函数为，则__________.
13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.
14. 以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.
（1）求的表达式；
（2）若自变量从变到，求的平均变化率；
（3）若，求在处的瞬时变化率.
16. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.
（1）证明：.
（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有个零点，求的取值范围.
18. 已知数列满足.
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
19. 已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．高二考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，则（ ）
A. 8B. 11C. 18D. 19
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果.
【详解】由，得.
故选：D
2. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值.
【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故选：A
3. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出，可得是以2为周期的周期数列，求得.
【详解】由，可得，
所以数列是以2为周期的周期数列，故.
故选：D
4. 定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对各选项求导，结合题意即可得出答案.
【详解】对于A，，，无法判断单调性，故A错误；
对于B，，，无法判断单调性，故B错误；
对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；
对于D，，，无法判断单调性，故D错误.
故选：C.
5. 已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的意义和斜率的定义得到正确结果.
【详解】
由导数的意义可知，和分别表示图像上点切线的斜率，
所以由图像可知，，
而表示过点直线的斜率，
由图像可知，，
故选：D.
6. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 14B. 26C. 28D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，，可求得，利用前项和公式可求.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
则，所以.
故选：B.
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
8. 已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果．
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
则，即，
因，所以，解得，所以，
所以，
当为奇数时，，所以，
当为偶数时，，所以，所以.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据求导公式计算判断各选项.
【详解】因为，所以错误；
因为，所以正确；
因为，所以错误；
因为，所以D正确.
故选：BD
10. 已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误.
【详解】对于A，当时，，
，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，
又，A正确；
对于B，当时，，
，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
又，B正确；
对于C，当时，，，
，的定义域为，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
在上单调递减，且当时，恒成立；
由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；
对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
此时图象应为B中图象，D错误.
故选：ABC.
11. 已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 恒成立
D. 若，关于不等式恰有两个解，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】知数列与的关系式，即可判断A，构造数列的地推关系，即可判断B；首先求解数列的通项公式，再判断单调性，即可判断C；并求解数列的最值，并根据恰有两个解，判断D.
【详解】当时，，即，所以.
当时，，所以，
即.
因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故A正确；
由，得，则，
所以数列为常数列，所以，即，故B错误；
故.
当时，，令，可得，
令，可得，所以，
则当或时，取得最大值，故C正确；
，因为关于的不等式恰有两个解，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题第D选项的判断的关键是首先判断函数的单调性和最值，并结合临界值比较大小，即可确定的取值范围.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若函数的导函数为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求函数的导数，令，求出，得到的解析式，再令，即可得到.
【详解】由题意得，
令，得，
则，所以.
故答案为：.
13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.
【答案】##0.064
【解析】
【分析】根据条件求得，，当时，有最小值，计算求得满足此不等关系的项.
【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则，
解得，则，所以.
易知当时，，当时，，
故的最小值为.
故答案为：
14. 以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据的结构特征，可构造函数，利用导数判断其单调性，即可比较的大小关系，再结合作商法比较大小，即可求得答案.
【详解】构造函数，则.
，当时，，则在上单调递减，
而，故，所以.
又，，所以，
故.
故答案为：；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.
（1）求的表达式；
（2）若自变量从变到，求的平均变化率；
（3）若，求在处的瞬时变化率.
【答案】（1）
（2）22 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，利和长方体的体积公式可求；
（2）由平均变化率的定义可得，计算可得平均变化率；
（3）由，可求，进而求得可得在处的瞬时变化率.
【小问1详解】
（1）因为四边形的周长为12，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
若自变量从变到，则的平均变化率为.
【小问3详解】
由，得.
，
则，
所以在处的瞬时变化率为-30.
16. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.
（1）证明：.
（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）185
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，由等差中项的性质可得，再由等比数列和等差数列的性质代入化简即可得出答案；
（2）先求出数列和的通项公式，分析得，从而得解.
【小问1详解】
设数列的公差为，
因为是和的等差中项，是和的等差中项，
所以，
，
所以，解得，得证.
【小问2详解】
因为，所以.
.
为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项.
因为，，
所以的前100项中，含有7个，
所以.
17 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导可得，利用导函数分类讨论可求单调区间；
（2）若，求得零点，可判断不符合题意，由有3个零点，结合（1）可得，可求的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，解得或，所以在和上单调递
增，上单调递减.
当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，，令，解得或，
不符合题意，故，
由（1）可知，又有3个零点，所以，.
由，所以，
因，所以，可得或或，
即的取值范围为.
18. 已知数列满足.
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所给条件推导出，即可求出的通项公式，再分奇、偶讨论，求出的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用分组求和与错位相减法求出，最后再分奇、偶讨论，求出.
【小问1详解】
由题可知，
当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
，
记，①
则，②
①②得
，
所以，
则，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，
.
故.
19. 已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案；
（2）对求导，令证明在上恒成立即可.
（3）在上恒成立等价于，分类讨论和，令求出的单调性可得，分离参数，令求出即可得出答案.
【小问1详解】
因为所以则
又
所以曲线在点处的切线方程为
即
【小问2详解】
证明：因为所以则
令则
当时，单调递增，故
当时，单调递增，
当时，单调递减，故．
从而在上恒成立，
则在上单调递增.
【小问3详解】
解：在上恒成立等价于
在上恒成立．
若则，则显然恒成立．
若则在上恒成立，
令由（1）可知在上恒成立，
故由得则即．
令则
当时，单调递减，当时，单调递增，
则则．
综上所述，的取值范围为
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，则（ ）
A 8B. 11C. 18D. 19
2. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. 5D.
4. 定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（ ）
A B.
C. D.
6. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A 14B. 26C. 28D. 32
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知等比数列前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 恒成立
D. 若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若函数的导函数为，则__________.
13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.
14. 以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.
（1）求的表达式；
（2）若自变量从变到，求的平均变化率；
（3）若，求在处的瞬时变化率.
16. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.
（1）证明：.
（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有个零点，求的取值范围.
18. 已知数列满足.
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
19. 已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．高二考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，则（ ）
A. 8B. 11C. 18D. 19
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果.
【详解】由，得.
故选：D
2. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值.
【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故选：A
3. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出，可得是以2为周期的周期数列，求得.
【详解】由，可得，
所以数列是以2为周期的周期数列，故.
故选：D
4. 定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对各选项求导，结合题意即可得出答案.
【详解】对于A，，，无法判断单调性，故A错误；
对于B，，，无法判断单调性，故B错误；
对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；
对于D，，，无法判断单调性，故D错误.
故选：C.
5. 已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的意义和斜率的定义得到正确结果.
【详解】
由导数的意义可知，和分别表示图像上点切线的斜率，
所以由图像可知，，
而表示过点直线的斜率，
由图像可知，，
故选：D.
6. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 14B. 26C. 28D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，，可求得，利用前项和公式可求.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
则，所以.
故选：B.
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
8. 已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果．
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
则，即，
因，所以，解得，所以，
所以，
当为奇数时，，所以，
当为偶数时，，所以，所以.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据求导公式计算判断各选项.
【详解】因为，所以错误；
因为，所以正确；
因为，所以错误；
因为，所以D正确.
故选：BD
10. 已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误.
【详解】对于A，当时，，
，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，
又，A正确；
对于B，当时，，
，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
又，B正确；
对于C，当时，，，
，的定义域为，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
在上单调递减，且当时，恒成立；
由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；
对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
此时图象应为B中图象，D错误.
故选：ABC.
11. 已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 恒成立
D. 若，关于不等式恰有两个解，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】知数列与的关系式，即可判断A，构造数列的地推关系，即可判断B；首先求解数列的通项公式，再判断单调性，即可判断C；并求解数列的最值，并根据恰有两个解，判断D.
【详解】当时，，即，所以.
当时，，所以，
即.
因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故A正确；
由，得，则，
所以数列为常数列，所以，即，故B错误；
故.
当时，，令，可得，
令，可得，所以，
则当或时，取得最大值，故C正确；
，因为关于的不等式恰有两个解，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题第D选项的判断的关键是首先判断函数的单调性和最值，并结合临界值比较大小，即可确定的取值范围.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若函数的导函数为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求函数的导数，令，求出，得到的解析式，再令，即可得到.
【详解】由题意得，
令，得，
则，所以.
故答案为：.
13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.
【答案】##0.064
【解析】
【分析】根据条件求得，，当时，有最小值，计算求得满足此不等关系的项.
【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则，
解得，则，所以.
易知当时，，当时，，
故的最小值为.
故答案为：
14. 以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据的结构特征，可构造函数，利用导数判断其单调性，即可比较的大小关系，再结合作商法比较大小，即可求得答案.
【详解】构造函数，则.
，当时，，则在上单调递减，
而，故，所以.
又，，所以，
故.
故答案为：；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.
（1）求的表达式；
（2）若自变量从变到，求的平均变化率；
（3）若，求在处的瞬时变化率.
【答案】（1）
（2）22 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，利和长方体的体积公式可求；
（2）由平均变化率的定义可得，计算可得平均变化率；
（3）由，可求，进而求得可得在处的瞬时变化率.
【小问1详解】
（1）因为四边形的周长为12，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
若自变量从变到，则的平均变化率为.
【小问3详解】
由，得.
，
则，
所以在处的瞬时变化率为-30.
16. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.
（1）证明：.
（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）185
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，由等差中项的性质可得，再由等比数列和等差数列的性质代入化简即可得出答案；
（2）先求出数列和的通项公式，分析得，从而得解.
【小问1详解】
设数列的公差为，
因为是和的等差中项，是和的等差中项，
所以，
，
所以，解得，得证.
【小问2详解】
因为，所以.
.
为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项.
因为，，
所以的前100项中，含有7个，
所以.
17 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导可得，利用导函数分类讨论可求单调区间；
（2）若，求得零点，可判断不符合题意，由有3个零点，结合（1）可得，可求的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，解得或，所以在和上单调递
增，上单调递减.
当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，，令，解得或，
不符合题意，故，
由（1）可知，又有3个零点，所以，.
由，所以，
因，所以，可得或或，
即的取值范围为.
18. 已知数列满足.
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所给条件推导出，即可求出的通项公式，再分奇、偶讨论，求出的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用分组求和与错位相减法求出，最后再分奇、偶讨论，求出.
【小问1详解】
由题可知，
当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
，
记，①
则，②
①②得
，
所以，
则，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，
.
故.
19. 已知函数
（1）若求曲线在点处的切线方程．
（2）若证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案；
（2）对求导，令证明在上恒成立即可.
（3）在上恒成立等价于，分类讨论和，令求出的单调性可得，分离参数，令求出即可得出答案.
【小问1详解】
因为所以则
又
所以曲线在点处的切线方程为
即
【小问2详解】
证明：因为所以则
令则
当时，单调递增，故
当时，单调递增，
当时，单调递减，故．
从而在上恒成立，
则在上单调递增.
【小问3详解】
解：在上恒成立等价于
在上恒成立．
若则，则显然恒成立．
若则在上恒成立，
令由（1）可知在上恒成立，
故由得则即．
令则
当时，单调递减，当时，单调递增，
则则．
综上所述，的取值范围为
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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