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2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中考试数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中考试数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|x>-1}，下列关系式中成立的是
( )
A. 0⊆AB. {0}∈AC. {0}⊆AD. ⌀∈A
2.设集合A={x|x=2n+1,n∈Z}，B={x|-3( )
A. {-2,-1,0,1,2,3}B. {-2,-1,0,1,2}
C. {-2,-1,1,2}D. {-1,1,3}
3.函数y=|x|x+x的图象是
( )
A. B.
C. D.
4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是
( )
A. (2,5]B. [-5,2)∪(2,5]C. (-2,0)∪(2,5]D. [-5,0)∪(2,5]
5.两次购买同一种物品，每次的价格不同．可以用两种不同的策略，第一种策略每次购买这种物品的数量一定；第二种策略每次购买这种物品所花的钱数一定．则哪种购物方式比较经济？( )
A. 第一种B. 第二种C. 都一样D. 不能确定
6.对于函数f(x)=ax5+bx3+cx+d(a,b,c∈R，d∈Z)，选取a，b，c，d的一组值计算f(2)和f(-2)，所得的正确结果一定不可能是
( )
A. 3和4B. 2和6C. 1和7D. 4和8
7.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,x-1x,x≥1的值域为R，那么a的取值范围是
( )
A. (-∞,-1]B. -1,12C. -1,12D. (0,1)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为真命题的是( )
A. ∃n∈Z，n2+n为奇数
B. ∀a∈R，二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
C. “a>b”是“ac2>bc2”的必要条件
D. f(x)=x2与g(x)=( x)4是同一函数
10.设f(x)=1+x21-x2，则
( )
A. f(-x)=f(x)B. f1x=-f(x)(x≠0)
C. f(x)在(1,+∞)上单调递增D. f(x)的值域为(-∞,+∞)
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则
( )
A. f(0)=0B. f(1)=0C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数
12.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则下列说法正确的是
( )
A. a2+ b2的最小值为15B. ab的最大值为18
C. 1a+1b的最小值为4 2D. 1a+b的最大值为43
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若函数f(x)=x2-ax+4的值域是[0,+∞)，则a=________．
14.已知a>b，ab=1，则a2+b2a-b的最小值是________．
15.已知μ∈R，函数f(x)=x-3,x≥μ,x2-3x+2,x<μ,若函数f(x)与x轴恰有2个交点，则μ的取值范围是 ．
16.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．则求出函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心为 ；类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}．
(1)若A∩B={2}，求实数a的值；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)命题q：∃x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数y= ax2+2ax+1的定义域为R．
(1)求a的取值范围．
(2)若该函数的最小值为 22，解关于x的不等式x2-x-a2-a<0．
20.(本小题12分)
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/每小时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为：y=175(x2-130x+4900),x∈[50,80)12-x60,x∈[80,120]
(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
21.(本小题12分)
设函数f(x)是定义在R上的奇函数．
(1)若对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，满足fx1-fx2x1-x2<0，f(1)=-1，求满足-1≤f(x-2)≤1的实数x的取值范围；
(2)若对任意的x1，x2∈[0,+∞)且x1≠x2，满足x1fx1-x2fx2x1-x2<0，解关于m的不等式mf(m)-(2m-1)f(2m-1)>0．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，且对任意的x∈[1,a+1]，都有f(x)≤0.求实数a的取值范围；
(3)若g(x)=x2+x-1x+1，且对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查学生掌握元素与集合关系的判断方法，以及理解子集和真子集的概念来判断两集合之间的关系，属基础题．
根据集合与集合、元素与集合的关系逐一判断即可．
【解答】
解：A. 0为元素，而A=x|x>-1为集合，元素与集合应为属于关系，故 A错误；
B.0为集合，集合和集合之间应是包含关系，故B错误；
C. 根据集合中的不等式x>-1可知，0是集合A的元素，即0∈A，则{0}⊆A， 故C正确；
D. ⌀为集合，集合和集合之间应是包含关系，故 D错误；
故选C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了交集的运算，属于基础题．
利用交集的定义运算即可．
【解答】
解：∵A={x|x=2n+1,n∈Z}，B={x|-3∴A∩B={-1,1,3}．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
去掉绝对值符号，函数可化为 y=x+1,x>0x-1,x<0，进而答案可得．
【解答】
解：函数y=|x|x+x，x≠0，可化为y=x+1,x>0,x-1,x<0,为分段函数，
即D项正确．
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查奇函数图象特征运用，属于基础题；
先由图象求出当x>0时不等式的解集，再由奇函数的性质求出当x<0时不等式的解集，由此可得不等式的解集．
【解答】
解：由图象可知当00．
当2根据函数f(x)是奇函数，
∴当-5≤x<-2时，f(x)>0．
当-2故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式的判断不等关系，是中档题．
分别计算两种购物策略下的平均价格，再由基本不等式比较大小即可．
【解答】解：设两次购物的价格分别为p1，p2.第一种策略：每次购买量为n，第二种策略：每次花钱数为m．
若按第一种策略购物，两次购物的平均价格为np1+np22n=p1+p22
若按第二种策略购物，两次购物的平均价格为2mmp1+mP2=2p1p2p1+p2 ≤2p1p22 p1p2= p1p2 ≤p1+p22，当且仅当p1=p2时取等号．
又p1≠p2,所以p1+p22>2p1p2p1+p2，故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是由已知得到f(2)+f(-2)为偶数．
在函数解析中分别取x=2和x=-2，两式相加后得到2d=f(2)+f(-2)，由d为整数可得f(2)+f(-2)为偶数，由此可得答案．
【解答】
解：f(x)=ax5+bx3+cx+d(a,b,c∈R，d∈Z)，
∴f(2)+f(-2)=2d，
∵d∈Z，
∴f(2)+f(-2)为偶数，
故3和4结果一定不可能，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．属于中档题．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：若a>b，
①a>b≥0，不等式a|a|>b|b|等价为a⋅a>b⋅b，此时成立；
②0>a>b，不等式a|a|>b|b|等价为-a⋅a>-b⋅b，即a2③a≥0>b，不等式a|a|>b|b|等价为a⋅a>-b⋅b，即a2>-b2，此时成立，
即充分性成立；
若a|a|>b|b|，
①当a>0，b>0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a-b)(a+b)>0，
因为a+b>0，所以a-b>0，即a>b；
②当a>0，b<0时，a>b；
③当a<0，b<0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a-b)(a+b)<0，
因为a+b<0，所以a-b>0，即a>b，
即必要性成立．
综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件，
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的值域，难度一般．
根据函数解析式得出x≥1，x-1x≥0，由题意可得(1-2a)x+3a必须取到所有的负数，即满足：1-2a>01-2a+3a≥0，求解即可．
【解答】解：∵f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,x-1x,x⩾1,
∵y=x-1x在[1,+∞)上是增函数，故它的最小值为1-1=0，故y=x-1x的值域为[0,+∞)，
∴(1-2a)x+3a必须取到所有的负数，
即满足：1-2a>01-2a+3a≥0，解得-1≤a<12，
即实数a的取值范围是[-1,12).
故选C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查判断命题的真假，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：
对于A、当n∈Z时，n2+n=n(n+1)，是偶数，故A是假命题；
对于B、令f(x)=y=x2+a，x∈R，满足f(-x)=x2+a=f(x)，故原函数是偶函数，图象关于y轴对称，故B是真命题；
对于C、当a>b，c=0时，得不到ac2>bc2，反之，若ac2>bc2，则c2>0，则a>b，
故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件，故C是真命题；
对于D、f(x)=x2的定义域为R，g(x)=( x)4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数，故D是假命题
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题为函数性质的应用，属于中档题．
A、B选项代入解析式化简即可得到结果，C、D选项将f(x)=1+x21-x2分离常数得f(x)=-1+21-x2，借助不等式的性质与单调性的性质进行判断．
【解答】
解：A选项，f(-x)=1+(-x)21-(-x)2=f(x)，故A选项正确．
B选项，f(1x)=1+(1x)21-(1x)2=x2+1x2-1，-f(x)=-1+x21-x2=x2+1x2-1
所以f(1x)=-f(x)(x ≠0)，故B选项正确．
C选项，因为f(x)=1+x21-x2=-(1-x2)+21-x2=-1+21-x2，
设y=1-x2，因为y=1-x2在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)=1+x21-x2在(1,+∞)单调递增，故C选项正确．
D选项，由C选项知f(x)=-1+ 21-x2，
因为1-x2⩽1，则21-x2∈(-∞,0)∪[2,+∞),-1+21-x2∈(-∞,-1)∪[1,+∞)，
函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪[1,+∞)，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数的奇偶性、赋值法的应用，属中档题．
通过赋值法，可判断选项．
【解答】
解：选项A，令x=y=0，则f(0)=0×f(0)+0×f(0)，则f(0)=0，故A正确;
选项B，令x=y=1，则f(1)=1×f(1)+1×f(1)，则f(1)=0，故B正确;
选项C，D，令x=y=-1，则f(1)=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)，则f(-1)=0，
再令y=-1，则f(-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1)，即f(-x)=f(x)，
故此函数一定是偶函数，
故D正确，C错误．
故选ABD．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，也考查利用函数求最值思想求表达式的最值，属于中档题．
利用基本不等式及函数的性质，逐个选项计算可得．
【解答】
解：对于A：由a>0，b>0，a+2b=1，则a=1-2b，
所以1-2b>0b>0，解得0所以a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5b-252+15，
所以当b=25时，a2+b2有最小值15，故A正确．
对于B：由a>0，b>0，1=a+2b≥2 2ab，即ab≤18，
当且仅当a=2b，即a=12，b=14时等号成立，
所以ab的最大值是18，故B正确；
对于C：1a+1b=a+2ba+a+2bb=1+2ba+2+ab≥3+2 2ba⋅ab=3+2 2，
当且仅当2ba=ab，即b=2- 22，a= 2-1时取等号，故C错误；
对于D：由a>0，b>0，a+2b=1，则a=1-2b，所以1-2b>0b>0，解得0所以1a+b=11-2b+b=-1b-1，因为0所以-2<1b-1<-1，所以1<-1b-1<2，即1<1a+b<2，故D错误；
故选：AB．
13.【答案】±4
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题．
根据二次函数的图象与性质，当函数值域为[0,+∞)，则图象开口向上且△=0，求a的值即可．
【解答】解：∵已知函数f(x)=x2-ax+4的值域为[0,+∞)，∴△=a2-16=0，解得a=±4．
故答案为：±4．
14.【答案】2 2
【解析】【分析】解：∵ab=1，a>b，
∴a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=a-b+2a-b≥2 (a-b)⋅2a-b=2 2，
当且仅当a-b=2a-b，
即a-b= 2时取等号，
故a2+b2a-b的最小值是2 2，
故答案为：2 2
将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．
本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】(1,2]∪(3，+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断．
利用分段函数转化求解不等式的解集，通过函数的零点得到不等式求解即可．
【解答】解：函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点等价于f(x)=0恰有两个根，
又x-3=0⇒x=3，x2-3x+2=0解为{1,2}．
故当μ>3，f(x)=0根为1、2，符合题意;
当2<μ⩽3，f(x)=0根为1、2、3，不合题意;
当1<μ⩽2，f(x)=0根为1、3，符合题意;
当μ<1，f(x)=0根为3，不合题意;
故μ的取值范围是(1,2]∪(3，+∞)．
故答案为：(1,2]∪(3，+∞)．
16.【答案】(-1,2)；函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查类比推理，是中档题．
结合题意利用奇函数定义求解即可，再利用图象的平行移动规则可以直接得到结论．
【解答】
解：由题意设函数f(x)=x3+3x2的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数．
f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b=x3+(3a+3)x2+(3a2+6a)x+a3+3a2-b为奇函数，
所以3a+3=0且a3+3a2-b=0
解得a=-1b=2
所以函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(-1,2)．
根据函数的平移规则，可以得到推广结论：
函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
故答案为：(-1,2)，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
17.【答案】解：(1)由x2-3 x+2=0，得x=1或x=2，故集合A={1,2}．
因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，
得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，
当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2,2}，满足条件，
当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，
综上，实数a的值为-1或-3；
(2)对于集合B，Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)．
因为A∪B=A，所以B⊆A．
当Δ<0，即a<-3时，B为空集，满足条件，
当Δ=0，即a=-3时，B={2}，满足条件，
当Δ>0，即a>-3时，B=A={1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系，得1+2=-2(a+1)，1×2=a2-5，
解得a=-52，且a2=7，矛盾．
综上，实数a的取值范围是(-∞,-3]．
【解析】本题考查了含参数的交集、并集运算，属于一般题．
(1)根据集合交集的性质得2∈B，代入集合B进行求解即可；
(2)根据集合并集的运算性质得B⊆A，分类讨论集合B是否为空集，进行求解即可；
18.【答案】(1)当B=⌀时，m+1>2m-1，解得m<2，
当B≠⌀时，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5解得2≤m≤3
综上，实数m的取值范围为(-∞,3]
(2)由题意A∩B≠ϕ∴B≠ϕ即m≥2∴m+1≥3
∵A∩B≠ϕ
∴m+1≤5，故实数m的取值范围为[2,4]．
【解析】【分析】
本题考查子集的定义与应用，交集及其运算，属于中档题．
(1)根据B⊆A，分B为空集和B不是空集两种情况，讨论求解即可；
(2)由∃x∈A，使得x∈B，可知B为非空集合且A∩B≠⌀，然后求解A⋂B=⌀的情况，求出m的范围后，再求其补集可得答案．
19.【答案】解：(1)函数y= ax2+2ax+1的定义域为R，
∴ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1>0恒成立，满足题意；
当a≠0时，根据二次函数y=ax2+2ax+1的图象与性质，
知不等式ax2+2ax+1≥0恒成立时，a>0△≤0，
即a>04a2-4a≤0，
解得0综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
(2)∵函数y= ax2+2ax+1的最小值为 22，
∴ ax2+2ax+1≥ 22，a∈[0,1]，
∴ax2+2ax+1≥12；
当a=0时，不满足条件；
当1≥a>0时，ax2+2ax+1的最小值是4a-4a24a=12，
∴a=12；
∴不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-34<0，
解得-12∴不等式的解集是{x|-12【解析】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题．
(1)由函数y= ax2+2ax+1的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；
(2)由题意，得ax2+2ax+1的最小值是12，求出a的值，代入不等式x2-x-a2-a<0，求解集即可．
20.【答案】解：(1) 当x∈[50,80)时，y=175(x2-130x+4900)=175[(x-65)2+675]，
当x=65时，y有最小值175×675=9，
当x∈[80,120]时，函数单调递减，故当x=120时，y有最小值10，
因9<10，故x=65时每小时耗油量最低，
该型号汽车速度为65千米/每小时时，可使得每小时耗油量最低；
(2)设总耗油量为l，由题意可知l=y⋅120x：
①当x∈[50,80)时，l=y⋅120x=85(x+4900x-130)
≥85(2 x×4900x-130)=16，
当且仅当x=4900x，即x=70时，l取得最小值16；
②当x∈[80,120]时，l=y⋅120x=1440x-2为减函数，
当x=120，l取得最小值10，
∵10<16，所以当汽车速度为120千米/每小时时，总耗油量最少．
【解析】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，利用基本不等式求最值，属于一般题．
(1)分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论；
(2)分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．
21.【答案】(1)由题意奇函数f(x)满足f(-1)=-f(1)=1
∴-1≤f(x-2)≤1变为f(1)≤f(x-2)≤f(-1)
又f(x1)-f(x2)x1-x2<0
∴f(x)在R上递减
∴-1≤x-2≤1
解得1≤x≤3
故实数x的取值范围为[1,3]
(2)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数∴g(x)=xf(x)为定义在R上的偶函数
又∵x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0∴g(x)=xf(x)在[0,+∞)上递减，
则g(x)在(-∞,0)上递增
mf(m)-(2m-1)f(2m-1)>0即mf(m)>(2m-1)f(2m-1)则|m|<|2m-1|
解得：m∈(-∞,13)∪(1,+∞)
【解析】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，是中档题．
(1)利用函数的奇偶性化简得到f(1)≤f(x-2)≤f(-1)，由题意得到函数f(x)在R上递减，解不等式即可得x的取值范围；
(2)由题意得g(x)=xf(x)为定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，在(-∞,0)上递增，结合奇偶性和单调性解不等式即可．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+(5-a2)
∴f(x)在(-∞,a]上单调递减，又a>1，
∴f(x)在[1,a]上单调递减，
∴f(1)=af(a)=1，
∴1-2a+5=aa2-2a2+5=1，
∴a=2
(2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，
∴(-∞,2]⊆(-∞，a]
∴a≥2
∴|1-a|≥|(a+1)-a|，f(1)≥f(a+1)
∴x∈[1,a+1]时，f(x)max=f(1)，
又∵对任意的x∈[1,a+1]，都有f(x)≤0，
∴f(1)≤0，即 1-2a+5≤0，
∴a≥3
(3)∵g(x)=x2+x-1x+1=x-1x+1在[0,1]上递增，
当x∈[0,1]时，g(x)∈[-1,12]
f(x)在[0,1]上递减，f(x)∈[6-2a,5]
∵对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立
∴[-1,12]⊆[6-2a,5]∴6-2a≤-1∴a≥72
即a∈[72,+∞)
【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的值域，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，属于中档题．
(1)由函数f(x)的解析式，可得函数在(-∞,a]上单调递减，进而得到f(x)在[1,a]上单调递减，则f(1)=af(a)=1，由此构造关于a的方程组，解之可得答案．
(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，则(-∞,2]⊆(-∞，a]，进而结合x∈[1,a+1]时，f(x)max=f(1)，构造关于a的不等式，解不等式，可得答案．
(3)由题得到g(x)在[0,1]上递增，f(x)在[0,1]上递减，则[-1,12]⊆[6-2a,5]，即可得解．
1.若集合A={x|x>-1}，下列关系式中成立的是
( )
A. 0⊆AB. {0}∈AC. {0}⊆AD. ⌀∈A
2.设集合A={x|x=2n+1,n∈Z}，B={x|-3
A. {-2,-1,0,1,2,3}B. {-2,-1,0,1,2}
C. {-2,-1,1,2}D. {-1,1,3}
3.函数y=|x|x+x的图象是
( )
A. B.
C. D.
4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是
( )
A. (2,5]B. [-5,2)∪(2,5]C. (-2,0)∪(2,5]D. [-5,0)∪(2,5]
5.两次购买同一种物品，每次的价格不同．可以用两种不同的策略，第一种策略每次购买这种物品的数量一定；第二种策略每次购买这种物品所花的钱数一定．则哪种购物方式比较经济？( )
A. 第一种B. 第二种C. 都一样D. 不能确定
6.对于函数f(x)=ax5+bx3+cx+d(a,b,c∈R，d∈Z)，选取a，b，c，d的一组值计算f(2)和f(-2)，所得的正确结果一定不可能是
( )
A. 3和4B. 2和6C. 1和7D. 4和8
7.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,x-1x,x≥1的值域为R，那么a的取值范围是
( )
A. (-∞,-1]B. -1,12C. -1,12D. (0,1)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为真命题的是( )
A. ∃n∈Z，n2+n为奇数
B. ∀a∈R，二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
C. “a>b”是“ac2>bc2”的必要条件
D. f(x)=x2与g(x)=( x)4是同一函数
10.设f(x)=1+x21-x2，则
( )
A. f(-x)=f(x)B. f1x=-f(x)(x≠0)
C. f(x)在(1,+∞)上单调递增D. f(x)的值域为(-∞,+∞)
11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则
( )
A. f(0)=0B. f(1)=0C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数
12.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则下列说法正确的是
( )
A. a2+ b2的最小值为15B. ab的最大值为18
C. 1a+1b的最小值为4 2D. 1a+b的最大值为43
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若函数f(x)=x2-ax+4的值域是[0,+∞)，则a=________．
14.已知a>b，ab=1，则a2+b2a-b的最小值是________．
15.已知μ∈R，函数f(x)=x-3,x≥μ,x2-3x+2,x<μ,若函数f(x)与x轴恰有2个交点，则μ的取值范围是 ．
16.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．则求出函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心为 ；类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}．
(1)若A∩B={2}，求实数a的值；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)命题q：∃x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数y= ax2+2ax+1的定义域为R．
(1)求a的取值范围．
(2)若该函数的最小值为 22，解关于x的不等式x2-x-a2-a<0．
20.(本小题12分)
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/每小时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为：y=175(x2-130x+4900),x∈[50,80)12-x60,x∈[80,120]
(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
21.(本小题12分)
设函数f(x)是定义在R上的奇函数．
(1)若对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，满足fx1-fx2x1-x2<0，f(1)=-1，求满足-1≤f(x-2)≤1的实数x的取值范围；
(2)若对任意的x1，x2∈[0,+∞)且x1≠x2，满足x1fx1-x2fx2x1-x2<0，解关于m的不等式mf(m)-(2m-1)f(2m-1)>0．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，且对任意的x∈[1,a+1]，都有f(x)≤0.求实数a的取值范围；
(3)若g(x)=x2+x-1x+1，且对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查学生掌握元素与集合关系的判断方法，以及理解子集和真子集的概念来判断两集合之间的关系，属基础题．
根据集合与集合、元素与集合的关系逐一判断即可．
【解答】
解：A. 0为元素，而A=x|x>-1为集合，元素与集合应为属于关系，故 A错误；
B.0为集合，集合和集合之间应是包含关系，故B错误；
C. 根据集合中的不等式x>-1可知，0是集合A的元素，即0∈A，则{0}⊆A， 故C正确；
D. ⌀为集合，集合和集合之间应是包含关系，故 D错误；
故选C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了交集的运算，属于基础题．
利用交集的定义运算即可．
【解答】
解：∵A={x|x=2n+1,n∈Z}，B={x|-3
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
去掉绝对值符号，函数可化为 y=x+1,x>0x-1,x<0，进而答案可得．
【解答】
解：函数y=|x|x+x，x≠0，可化为y=x+1,x>0,x-1,x<0,为分段函数，
即D项正确．
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查奇函数图象特征运用，属于基础题；
先由图象求出当x>0时不等式的解集，再由奇函数的性质求出当x<0时不等式的解集，由此可得不等式的解集．
【解答】
解：由图象可知当0
当2
∴当-5≤x<-2时，f(x)>0．
当-2
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式的判断不等关系，是中档题．
分别计算两种购物策略下的平均价格，再由基本不等式比较大小即可．
【解答】解：设两次购物的价格分别为p1，p2.第一种策略：每次购买量为n，第二种策略：每次花钱数为m．
若按第一种策略购物，两次购物的平均价格为np1+np22n=p1+p22
若按第二种策略购物，两次购物的平均价格为2mmp1+mP2=2p1p2p1+p2 ≤2p1p22 p1p2= p1p2 ≤p1+p22，当且仅当p1=p2时取等号．
又p1≠p2,所以p1+p22>2p1p2p1+p2，故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是由已知得到f(2)+f(-2)为偶数．
在函数解析中分别取x=2和x=-2，两式相加后得到2d=f(2)+f(-2)，由d为整数可得f(2)+f(-2)为偶数，由此可得答案．
【解答】
解：f(x)=ax5+bx3+cx+d(a,b,c∈R，d∈Z)，
∴f(2)+f(-2)=2d，
∵d∈Z，
∴f(2)+f(-2)为偶数，
故3和4结果一定不可能，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．属于中档题．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：若a>b，
①a>b≥0，不等式a|a|>b|b|等价为a⋅a>b⋅b，此时成立；
②0>a>b，不等式a|a|>b|b|等价为-a⋅a>-b⋅b，即a2
即充分性成立；
若a|a|>b|b|，
①当a>0，b>0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a-b)(a+b)>0，
因为a+b>0，所以a-b>0，即a>b；
②当a>0，b<0时，a>b；
③当a<0，b<0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a-b)(a+b)<0，
因为a+b<0，所以a-b>0，即a>b，
即必要性成立．
综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件，
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的值域，难度一般．
根据函数解析式得出x≥1，x-1x≥0，由题意可得(1-2a)x+3a必须取到所有的负数，即满足：1-2a>01-2a+3a≥0，求解即可．
【解答】解：∵f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,x-1x,x⩾1,
∵y=x-1x在[1,+∞)上是增函数，故它的最小值为1-1=0，故y=x-1x的值域为[0,+∞)，
∴(1-2a)x+3a必须取到所有的负数，
即满足：1-2a>01-2a+3a≥0，解得-1≤a<12，
即实数a的取值范围是[-1,12).
故选C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查判断命题的真假，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：
对于A、当n∈Z时，n2+n=n(n+1)，是偶数，故A是假命题；
对于B、令f(x)=y=x2+a，x∈R，满足f(-x)=x2+a=f(x)，故原函数是偶函数，图象关于y轴对称，故B是真命题；
对于C、当a>b，c=0时，得不到ac2>bc2，反之，若ac2>bc2，则c2>0，则a>b，
故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件，故C是真命题；
对于D、f(x)=x2的定义域为R，g(x)=( x)4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数，故D是假命题
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题为函数性质的应用，属于中档题．
A、B选项代入解析式化简即可得到结果，C、D选项将f(x)=1+x21-x2分离常数得f(x)=-1+21-x2，借助不等式的性质与单调性的性质进行判断．
【解答】
解：A选项，f(-x)=1+(-x)21-(-x)2=f(x)，故A选项正确．
B选项，f(1x)=1+(1x)21-(1x)2=x2+1x2-1，-f(x)=-1+x21-x2=x2+1x2-1
所以f(1x)=-f(x)(x ≠0)，故B选项正确．
C选项，因为f(x)=1+x21-x2=-(1-x2)+21-x2=-1+21-x2，
设y=1-x2，因为y=1-x2在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)=1+x21-x2在(1,+∞)单调递增，故C选项正确．
D选项，由C选项知f(x)=-1+ 21-x2，
因为1-x2⩽1，则21-x2∈(-∞,0)∪[2,+∞),-1+21-x2∈(-∞,-1)∪[1,+∞)，
函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪[1,+∞)，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数的奇偶性、赋值法的应用，属中档题．
通过赋值法，可判断选项．
【解答】
解：选项A，令x=y=0，则f(0)=0×f(0)+0×f(0)，则f(0)=0，故A正确;
选项B，令x=y=1，则f(1)=1×f(1)+1×f(1)，则f(1)=0，故B正确;
选项C，D，令x=y=-1，则f(1)=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)，则f(-1)=0，
再令y=-1，则f(-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1)，即f(-x)=f(x)，
故此函数一定是偶函数，
故D正确，C错误．
故选ABD．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，也考查利用函数求最值思想求表达式的最值，属于中档题．
利用基本不等式及函数的性质，逐个选项计算可得．
【解答】
解：对于A：由a>0，b>0，a+2b=1，则a=1-2b，
所以1-2b>0b>0，解得0
所以当b=25时，a2+b2有最小值15，故A正确．
对于B：由a>0，b>0，1=a+2b≥2 2ab，即ab≤18，
当且仅当a=2b，即a=12，b=14时等号成立，
所以ab的最大值是18，故B正确；
对于C：1a+1b=a+2ba+a+2bb=1+2ba+2+ab≥3+2 2ba⋅ab=3+2 2，
当且仅当2ba=ab，即b=2- 22，a= 2-1时取等号，故C错误；
对于D：由a>0，b>0，a+2b=1，则a=1-2b，所以1-2b>0b>0，解得0
故选：AB．
13.【答案】±4
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题．
根据二次函数的图象与性质，当函数值域为[0,+∞)，则图象开口向上且△=0，求a的值即可．
【解答】解：∵已知函数f(x)=x2-ax+4的值域为[0,+∞)，∴△=a2-16=0，解得a=±4．
故答案为：±4．
14.【答案】2 2
【解析】【分析】解：∵ab=1，a>b，
∴a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=a-b+2a-b≥2 (a-b)⋅2a-b=2 2，
当且仅当a-b=2a-b，
即a-b= 2时取等号，
故a2+b2a-b的最小值是2 2，
故答案为：2 2
将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．
本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】(1,2]∪(3，+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断．
利用分段函数转化求解不等式的解集，通过函数的零点得到不等式求解即可．
【解答】解：函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点等价于f(x)=0恰有两个根，
又x-3=0⇒x=3，x2-3x+2=0解为{1,2}．
故当μ>3，f(x)=0根为1、2，符合题意;
当2<μ⩽3，f(x)=0根为1、2、3，不合题意;
当1<μ⩽2，f(x)=0根为1、3，符合题意;
当μ<1，f(x)=0根为3，不合题意;
故μ的取值范围是(1,2]∪(3，+∞)．
故答案为：(1,2]∪(3，+∞)．
16.【答案】(-1,2)；函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查类比推理，是中档题．
结合题意利用奇函数定义求解即可，再利用图象的平行移动规则可以直接得到结论．
【解答】
解：由题意设函数f(x)=x3+3x2的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数．
f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b=x3+(3a+3)x2+(3a2+6a)x+a3+3a2-b为奇函数，
所以3a+3=0且a3+3a2-b=0
解得a=-1b=2
所以函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(-1,2)．
根据函数的平移规则，可以得到推广结论：
函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
故答案为：(-1,2)，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
17.【答案】解：(1)由x2-3 x+2=0，得x=1或x=2，故集合A={1,2}．
因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，
得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，
当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2,2}，满足条件，
当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，
综上，实数a的值为-1或-3；
(2)对于集合B，Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)．
因为A∪B=A，所以B⊆A．
当Δ<0，即a<-3时，B为空集，满足条件，
当Δ=0，即a=-3时，B={2}，满足条件，
当Δ>0，即a>-3时，B=A={1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系，得1+2=-2(a+1)，1×2=a2-5，
解得a=-52，且a2=7，矛盾．
综上，实数a的取值范围是(-∞,-3]．
【解析】本题考查了含参数的交集、并集运算，属于一般题．
(1)根据集合交集的性质得2∈B，代入集合B进行求解即可；
(2)根据集合并集的运算性质得B⊆A，分类讨论集合B是否为空集，进行求解即可；
18.【答案】(1)当B=⌀时，m+1>2m-1，解得m<2，
当B≠⌀时，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5解得2≤m≤3
综上，实数m的取值范围为(-∞,3]
(2)由题意A∩B≠ϕ∴B≠ϕ即m≥2∴m+1≥3
∵A∩B≠ϕ
∴m+1≤5，故实数m的取值范围为[2,4]．
【解析】【分析】
本题考查子集的定义与应用，交集及其运算，属于中档题．
(1)根据B⊆A，分B为空集和B不是空集两种情况，讨论求解即可；
(2)由∃x∈A，使得x∈B，可知B为非空集合且A∩B≠⌀，然后求解A⋂B=⌀的情况，求出m的范围后，再求其补集可得答案．
19.【答案】解：(1)函数y= ax2+2ax+1的定义域为R，
∴ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1>0恒成立，满足题意；
当a≠0时，根据二次函数y=ax2+2ax+1的图象与性质，
知不等式ax2+2ax+1≥0恒成立时，a>0△≤0，
即a>04a2-4a≤0，
解得0
(2)∵函数y= ax2+2ax+1的最小值为 22，
∴ ax2+2ax+1≥ 22，a∈[0,1]，
∴ax2+2ax+1≥12；
当a=0时，不满足条件；
当1≥a>0时，ax2+2ax+1的最小值是4a-4a24a=12，
∴a=12；
∴不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-34<0，
解得-12
(1)由函数y= ax2+2ax+1的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；
(2)由题意，得ax2+2ax+1的最小值是12，求出a的值，代入不等式x2-x-a2-a<0，求解集即可．
20.【答案】解：(1) 当x∈[50,80)时，y=175(x2-130x+4900)=175[(x-65)2+675]，
当x=65时，y有最小值175×675=9，
当x∈[80,120]时，函数单调递减，故当x=120时，y有最小值10，
因9<10，故x=65时每小时耗油量最低，
该型号汽车速度为65千米/每小时时，可使得每小时耗油量最低；
(2)设总耗油量为l，由题意可知l=y⋅120x：
①当x∈[50,80)时，l=y⋅120x=85(x+4900x-130)
≥85(2 x×4900x-130)=16，
当且仅当x=4900x，即x=70时，l取得最小值16；
②当x∈[80,120]时，l=y⋅120x=1440x-2为减函数，
当x=120，l取得最小值10，
∵10<16，所以当汽车速度为120千米/每小时时，总耗油量最少．
【解析】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，利用基本不等式求最值，属于一般题．
(1)分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论；
(2)分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．
21.【答案】(1)由题意奇函数f(x)满足f(-1)=-f(1)=1
∴-1≤f(x-2)≤1变为f(1)≤f(x-2)≤f(-1)
又f(x1)-f(x2)x1-x2<0
∴f(x)在R上递减
∴-1≤x-2≤1
解得1≤x≤3
故实数x的取值范围为[1,3]
(2)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数∴g(x)=xf(x)为定义在R上的偶函数
又∵x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0∴g(x)=xf(x)在[0,+∞)上递减，
则g(x)在(-∞,0)上递增
mf(m)-(2m-1)f(2m-1)>0即mf(m)>(2m-1)f(2m-1)则|m|<|2m-1|
解得：m∈(-∞,13)∪(1,+∞)
【解析】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，是中档题．
(1)利用函数的奇偶性化简得到f(1)≤f(x-2)≤f(-1)，由题意得到函数f(x)在R上递减，解不等式即可得x的取值范围；
(2)由题意得g(x)=xf(x)为定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，在(-∞,0)上递增，结合奇偶性和单调性解不等式即可．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+(5-a2)
∴f(x)在(-∞,a]上单调递减，又a>1，
∴f(x)在[1,a]上单调递减，
∴f(1)=af(a)=1，
∴1-2a+5=aa2-2a2+5=1，
∴a=2
(2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，
∴(-∞,2]⊆(-∞，a]
∴a≥2
∴|1-a|≥|(a+1)-a|，f(1)≥f(a+1)
∴x∈[1,a+1]时，f(x)max=f(1)，
又∵对任意的x∈[1,a+1]，都有f(x)≤0，
∴f(1)≤0，即 1-2a+5≤0，
∴a≥3
(3)∵g(x)=x2+x-1x+1=x-1x+1在[0,1]上递增，
当x∈[0,1]时，g(x)∈[-1,12]
f(x)在[0,1]上递减，f(x)∈[6-2a,5]
∵对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立
∴[-1,12]⊆[6-2a,5]∴6-2a≤-1∴a≥72
即a∈[72,+∞)
【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的值域，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，属于中档题．
(1)由函数f(x)的解析式，可得函数在(-∞,a]上单调递减，进而得到f(x)在[1,a]上单调递减，则f(1)=af(a)=1，由此构造关于a的方程组，解之可得答案．
(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，则(-∞,2]⊆(-∞，a]，进而结合x∈[1,a+1]时，f(x)max=f(1)，构造关于a的不等式，解不等式，可得答案．
(3)由题得到g(x)在[0,1]上递增，f(x)在[0,1]上递减，则[-1,12]⊆[6-2a,5]，即可得解．
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