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2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一上学期期末考试数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一上学期期末考试数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x2−3x−4<0,x∈Z}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {x|−1≤x<1}C. {0,1,2}D. {x|−12.函数y= lg0.5(4x−5)的定义域为( )
A. (54,+∞)B. (54,32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]
3.下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是( )
A. B.
C. D.
4.设a=ln0.99，b=e0.99，c=0.99e，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.已知角α的终边过点P(−3,2csα)，则csα=( )
A. 32B. − 32C. ± 32D. −12
6.设函数f(x)=2tan(ωx−π4)(ω>0)的图象的一个对称中心为(π3,0)，则f(x)的一个最小正周期可以是( )
A. 8π9B. 4π9C. 4π7D. 8π15
7.若函数f(x)=lg12(−x2+6x−5)在区间(3m−2,m+2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )
A. [53,+∞)B. [53,3]C. [53,2]D. [53,2)
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0A. 12024B. −2024C. 253256D. 253128
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0
B. 函数f(x)=x4−1x2+1与g(x)=x2−1为同一个函数
C. 命题“∀x∈(−∞,0)，2x<3x”的否定是“∃x∈(−∞,0)，2x≥3x”
D. 若α是第二象限角，则α2是第一象限角
10.设x∈R，不等式ax2−2ax−3<0恒成立的充分不必要条件可以是( )
A. −411.已知函数f(x)=2sin(2x−π3)+1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)在[−π12,5π12]上单调递增
B. f(x)图象关于点(−π3,0)对称
C. 若f(x1)=3，f(x2)=−1，则|x1−x2|的最小值为π
D. 若f(x1)=f(x2)=1且x1≠x2，则|x1−x2|=kπ2(k∈Z)
12.某数学兴趣小组对函数f(x)=2−x|x|+1进行研究，得出如下结论，其中正确的有
( )
A. f(−x)+f(x)=4
B. ∀x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0
C. f(x)的值域为(0,4)
D. ∀x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：2723+(14)−2+lg910−2lg3= ．
14.已知tanθ=3，则3cs2θ+2sinθcsθ的值为 ．
15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形。如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
16.已知函数f(x)=−x2−2x+1,x<0|lg2x|,x>0，若方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合U=R，A={x|x−3≤2}，B={x|m−1≤x≤2m}．
(1)若m=3，求A∩(∁UB);
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(α)=sin(α+π2)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(α+π)．
(1)化简f(α);
(2)若f(α)⋅f(α+π2)=−16，且π2≤α≤π，求f(α)−f(α+π2)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(2x+θ)(0<θ<π)关于直线x=−π12对称．
(1)求函数f(x)的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合．
(2)求函数g(x)=f(π12−x)，x∈[−π2,π2]的单调递减区间。
20.(本小题12分)
湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感。它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点。由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为W(x)千元W(x)=2x2+20x,0(1)求函数f(x)的解析式;
(2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物?最大利润为多少?
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2cs2x+asinx−1．
(1)当a=5时，解不等式f(x)≥0;
(2)设g(x)=−3x−1，若∀x1∈[1,2]，∀x2∈[0,π2]，都有g(x1)≤f(x2)，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”．
(1)试判断f(x)=|csx|，(x≠0)是否为“G函数”，简要说明理由;
(2)若f(x)=lg2(tanx+m)+1是定义在区间[−π3,0)∪(0,π3]上的“G函数”，求实数m的取值范围;
(3)试讨论f(x)=4x−m⋅2x+2+2m2−3在(−∞,0)∪(0,+∞)上是否为“G函数”?并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由B={0,1,2,3}∴A∩B={0,1}．
2.【答案】B
【解析】解：由lg0.5(4x−5)≥0∴0<4x−5≤1∴543.【答案】C
【解析】解：由图象可知仅有C选项的零点两侧同号．
4.【答案】C
【解析】解：由a∈(−∞,0)，b∈(1,+∞)，c∈(0,1)，∴a5.【答案】B
【解析】解：由csα=−3 9+4cs2α，解的csα=± 32，又csα=−3 9+4cs2α<0，∴csα=− 32
6.【答案】B
【解析】解：由ω×π3−π4=kπ2(k∈Z)，∴ω=3k2+34，当k=1时，ω=94，T=πω=4π9．
7.【答案】D
【解析】解：由已知得f(x)的定义域为(1,5)，且在区间(3m−2,m+2)内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：╔╔ \ begin{cases}3m-2 \ geqslant 3\\3m-2
∴53≤m<2.或排除法：取m=2．
8.【答案】D
【解析】解：由f(x)是奇函数，∴f(2−x)=−f(x−2)又f(2−x)=f(x)，∴f(x)=−f(x−2)，所以f(x)周期为4．
f(2+lg22024)=f(2+lg22024−4×3)=f(lg22024−10)=f(lg220241024)=20241024=253128．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，函数f(x)是奇函数，如果0在定义域内，则f(0)=0，故正确;
对于B，因为f(x)=x4−1x2+1=(x2+1)(x2−1)x2+1=x2−1(x∈R)，g(x)=x2−1(x∈R)，所以f(x)与g(x)是同一函数，故正确;
对于C:原命题为全称量词命题，则其否定为存在量词命题，正确;
对于D:由题知π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，∴π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，即α2是第一或第三象限角，不正确．
10.【答案】BC
【解析】解：当a=0时，不等式为−3< 0，满足题意;a≠0时，则必有a<0且△=(−2a)2+4a×3<0解得−3故a的取值范围为−311.【答案】AD
【解析】解：选项 A:令即−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得
−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，故f(x)的增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，取
k=0，则f(x)在[−π12,5π12]上单调递增，故选项A正确．
选项B:令2x−π3=kπ，k∈Z，则x=kπ2+π6，k∈Z，取k=−1，则有x=−π3，因此f(x)图象关于点(−π3,1)对称，因此选项B不正确．
选项C:若f(x1)=3，f(x2)=−1，则f(x)在x=x1和x=x2处分别取最大值和最小值，因此|x1−x2|=(2k+1)⋅T2=(2k+1)π2，k∈Z，
故|x1−x2|min=π2，选项C不正确．
选项D:若f(x1)=f(x2)=1，则x1和x2是函数y=2sin(2x−π3)的零点，
故|x1−x2|=k⋅T2=kπ2，k∈Z，选项D正确．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A:f(x)+f(−x)=2−x|x|+1+2+x|x|+1=4，A正确;
对于B:f(x)=1+1x+1,x≥01x−1+3,x<0则f(x)在R上单调递减，故B正确;
对于C:当x≥0时，1当x<0时，2对于D:当x1，x2∈(0,+∞)时，f(x1+x22)−f(x1)+f(x2)2=
2(x1+1)+(x2+1)−(x1+1)+(x2+1)2(x1+1)(x2+1)≤2(x1+1)+(x2+1)−(x1+1)+(x2+1)2⋅[(x1+1)+(x2+1)]24=0，
故∀x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，故D正确．
13.【答案】24
【解析】解：2723+(14)−2+lg910−2lg3=(33)23+42+lg9−lg10−lg9=16+9−1=24．
14.【答案】910
【解析】解：3cs2θ+2sinθcsθ=3cs2θ+2sinθcsθsin2θ+cs2θ=3+2tanθtan2θ+1=910
15.【答案】1− 3π
【解析】解：以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为12×π3×22=2π3，中间等边三角形ABC的面积为12×2× 3= 3，
所以莱洛三角形的面积是2π3×3−2 3=2π−2 3，周长为2π，故面积与周长之比为1− 3π．
16.【答案】(1,2)，[8 2,12)
【解析】解：作函数f(x)的图象如下图所示：
由图象可知，要使方程f(x)=a有四个不同的解，则需1由二次函数的对称性可知，x1+x2=−2，由对数函数的图象及性质可知，14则−lg2x3=lg2x4，x3x4=1，∴x4|x1+x2|+16x3x42=2x4+16x4，
而函数y=2x+16x在(2,2 2]递减，[2 2,4)上递增，故其取值范围为[8 2,12)
17.【答案】解：(1)由题意知A={x|1≤x≤5}，当m=3时，B={x|2≤x≤6}，故∁UB={x|x<2或x>6}，
∴A∩(∁UB)={x|1≤x<2};
(2)∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B真含于A，
∴当B=⌀时，m−1>2m，解得m<−1，成立;
当B≠⌀时，m−1≤2mm−1≥12m≤5，且m−1≥1，2m≤5中等号不能同时取得，解得2≤m≤52，
综上，m的取值范围是m<−1或2≤m≤52．
【解析】略
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(α+π2)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(α+π)
=csα(−sinα)(−tanα)(−sinα)
=csα⋅(−sinαcsα)=−sinα
(2)由f(α)⋅f(α+π2)=−16，可得sinαsin(α+π2)=−16，
所以sinαcsα=−16，
又f(α)−f(α+π2)=−sinα+csα，
所以(csα−sinα)2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=1+13=43
因为π2≤α≤π，sinα≥0，csα≤0，所以csα−sinα=−2 33，
所以f(α)−f(α+π2)的值为−2 33．
【解析】略
19.【答案】解：(1)依题意有2×(−π12)+θ=2kπ，k∈Z，∵0<θ<π，∴θ=π6
即f(x)=2cs(2x+π6).
当2x+π6=2kπ即x=kπ−π12(k∈Z)时f(x)取最大值2;
当2x+π6=2kπ+π即x=kπ+5π12(k∈Z)时f(x)取最小值−2．
(2)依题意g(x)=2cs(2x−π3)，
2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，k∈Z.
∴kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z.又x∈[−π2,π2]，
令k=0，k=−1得其减区间为[π6,π2]与[−π2,−π3].
【解析】略
20.【答案】解：(1)依题意，总成本为2x+4．
f(x)=W(x)−(2x+4)，又╔╔W(x)= \ begin{cases}2x^{2}+20x,0
则╔╔f(x)= \ begin{cases}2x^{2}+20x-(2x+4),0
(2)当0则函数f(x)在(0,5]为增函数，所以当x=5时，函数f(x)取最大值136，当5f(x)=194−[2(x−1)+200x−1]≤194−2× 2(x−1)×200(x−1)=154，
当且仅当2(x−1)=200x−1，即x=11时取等号，因为154>136，所以当x=11时，f(x)取得最大值154．
所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元．
【解析】略
21.【答案】解：(1)由sin2x+cs2x=1得，f(x)=−2cs2x+asinx−1=2sin2x+asinx−3，
当a=5时，f(x)=2sin2x+5sinx−3=(2sinx−1)(sinx+3)，
由f(x)≥0且sinx+3>0得2sinx−1≥0，故2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6
所以f(x)≥0的解集为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k∈Z.
(2)因为g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上的值域为[−10,−4]．
由题意得f(x)=2sin2x+asinx−3≥−4在x∈[0,π2]上恒成立，令t=sinx∈[0,1]，
于是ℎ(t)=2t2+at+1≥0在t∈[0,1]恒成立．
当t=0时，1≥0恒成立，所以a∈R.当t∈(0,1]时，由2t2+at+1≥0，得a≥−2t2+1t恒成立．
又−2t2+1t=−(2t+1t)≤−2 2t×1t=−2 2，当2t=1t即t= 22等号成立．
所以a≥−2 2．
综上所述，实数a的取值范围为[−2 2,+∞).
【解析】略
22.【答案】解：(1)∵f(−π2)=0=f(π2)，∴f(−π2)+f(π2)=0．∴f(x)=|csx|是“G函数”．
(2)∵f(x)为“G函数”，故存在x∈[−π3,0)∪(0,π3]，使f(x)+f(−x)=0，
∴lg2(tanx+m)+1+lg2(−tanx+m)+1=0，
即m2−tan2x=14在x∈[−π3,0)∪(0,π3]有解．
∵tanx∈[− 3,0)∪(0, 3]，∴m2=tan2x+14∈(14,134].
又∵m+tanx>0在x∈[−π3,0)∪(0,π3]恒成立，∴m>(−tanx)max= 3．
∴ 3(3)当f(x)=4x−m⋅2x+2+2m2−3为定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的“G函数”时，
则f(x)+f(−x)=0在定义域上有解，可化为4x+4x−4m(2x+2−x)+4m2−6=0在定义域上有解，
令t=2x+2−x，则t>2，4x+4−x=t2−2，
从而t2−4mt+4m2−8=0在(2,+∞)有解，即可保证f(x)为“G函数”，
令F(t)=t2−4mt+4m2−8，则F(t)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=2m．
则 ①当2m≤2即m≤1时，F(2)=4m2−8m−4<0
解得1− 2 ②当2m>2即m>1时，△=16m2−16(m2−2)≥0解得m∈R，所以m>1
综上，当m>1− 2时，f(x)=4x−m⋅2x+2+2m2−3为定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的“G函数”，否则不是．
【解析】略
1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x2−3x−4<0,x∈Z}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {x|−1≤x<1}C. {0,1,2}D. {x|−1
A. (54,+∞)B. (54,32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]
3.下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是( )
A. B.
C. D.
4.设a=ln0.99，b=e0.99，c=0.99e，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. 32B. − 32C. ± 32D. −12
6.设函数f(x)=2tan(ωx−π4)(ω>0)的图象的一个对称中心为(π3,0)，则f(x)的一个最小正周期可以是( )
A. 8π9B. 4π9C. 4π7D. 8π15
7.若函数f(x)=lg12(−x2+6x−5)在区间(3m−2,m+2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )
A. [53,+∞)B. [53,3]C. [53,2]D. [53,2)
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0
B. 函数f(x)=x4−1x2+1与g(x)=x2−1为同一个函数
C. 命题“∀x∈(−∞,0)，2x<3x”的否定是“∃x∈(−∞,0)，2x≥3x”
D. 若α是第二象限角，则α2是第一象限角
10.设x∈R，不等式ax2−2ax−3<0恒成立的充分不必要条件可以是( )
A. −4
A. f(x)在[−π12,5π12]上单调递增
B. f(x)图象关于点(−π3,0)对称
C. 若f(x1)=3，f(x2)=−1，则|x1−x2|的最小值为π
D. 若f(x1)=f(x2)=1且x1≠x2，则|x1−x2|=kπ2(k∈Z)
12.某数学兴趣小组对函数f(x)=2−x|x|+1进行研究，得出如下结论，其中正确的有
( )
A. f(−x)+f(x)=4
B. ∀x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0
C. f(x)的值域为(0,4)
D. ∀x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：2723+(14)−2+lg910−2lg3= ．
14.已知tanθ=3，则3cs2θ+2sinθcsθ的值为 ．
15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形。如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
16.已知函数f(x)=−x2−2x+1,x<0|lg2x|,x>0，若方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1
17.(本小题10分)
设集合U=R，A={x|x−3≤2}，B={x|m−1≤x≤2m}．
(1)若m=3，求A∩(∁UB);
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(α)=sin(α+π2)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(α+π)．
(1)化简f(α);
(2)若f(α)⋅f(α+π2)=−16，且π2≤α≤π，求f(α)−f(α+π2)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(2x+θ)(0<θ<π)关于直线x=−π12对称．
(1)求函数f(x)的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合．
(2)求函数g(x)=f(π12−x)，x∈[−π2,π2]的单调递减区间。
20.(本小题12分)
湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感。它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点。由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为W(x)千元W(x)=2x2+20x,0
(2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物?最大利润为多少?
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2cs2x+asinx−1．
(1)当a=5时，解不等式f(x)≥0;
(2)设g(x)=−3x−1，若∀x1∈[1,2]，∀x2∈[0,π2]，都有g(x1)≤f(x2)，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”．
(1)试判断f(x)=|csx|，(x≠0)是否为“G函数”，简要说明理由;
(2)若f(x)=lg2(tanx+m)+1是定义在区间[−π3,0)∪(0,π3]上的“G函数”，求实数m的取值范围;
(3)试讨论f(x)=4x−m⋅2x+2+2m2−3在(−∞,0)∪(0,+∞)上是否为“G函数”?并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由B={0,1,2,3}∴A∩B={0,1}．
2.【答案】B
【解析】解：由lg0.5(4x−5)≥0∴0<4x−5≤1∴54
【解析】解：由图象可知仅有C选项的零点两侧同号．
4.【答案】C
【解析】解：由a∈(−∞,0)，b∈(1,+∞)，c∈(0,1)，∴a
【解析】解：由csα=−3 9+4cs2α，解的csα=± 32，又csα=−3 9+4cs2α<0，∴csα=− 32
6.【答案】B
【解析】解：由ω×π3−π4=kπ2(k∈Z)，∴ω=3k2+34，当k=1时，ω=94，T=πω=4π9．
7.【答案】D
【解析】解：由已知得f(x)的定义域为(1,5)，且在区间(3m−2,m+2)内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：╔╔ \ begin{cases}3m-2 \ geqslant 3\\3m-2
∴53≤m<2.或排除法：取m=2．
8.【答案】D
【解析】解：由f(x)是奇函数，∴f(2−x)=−f(x−2)又f(2−x)=f(x)，∴f(x)=−f(x−2)，所以f(x)周期为4．
f(2+lg22024)=f(2+lg22024−4×3)=f(lg22024−10)=f(lg220241024)=20241024=253128．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，函数f(x)是奇函数，如果0在定义域内，则f(0)=0，故正确;
对于B，因为f(x)=x4−1x2+1=(x2+1)(x2−1)x2+1=x2−1(x∈R)，g(x)=x2−1(x∈R)，所以f(x)与g(x)是同一函数，故正确;
对于C:原命题为全称量词命题，则其否定为存在量词命题，正确;
对于D:由题知π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，∴π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，即α2是第一或第三象限角，不正确．
10.【答案】BC
【解析】解：当a=0时，不等式为−3< 0，满足题意;a≠0时，则必有a<0且△=(−2a)2+4a×3<0解得−3
【解析】解：选项 A:令即−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得
−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，故f(x)的增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，取
k=0，则f(x)在[−π12,5π12]上单调递增，故选项A正确．
选项B:令2x−π3=kπ，k∈Z，则x=kπ2+π6，k∈Z，取k=−1，则有x=−π3，因此f(x)图象关于点(−π3,1)对称，因此选项B不正确．
选项C:若f(x1)=3，f(x2)=−1，则f(x)在x=x1和x=x2处分别取最大值和最小值，因此|x1−x2|=(2k+1)⋅T2=(2k+1)π2，k∈Z，
故|x1−x2|min=π2，选项C不正确．
选项D:若f(x1)=f(x2)=1，则x1和x2是函数y=2sin(2x−π3)的零点，
故|x1−x2|=k⋅T2=kπ2，k∈Z，选项D正确．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A:f(x)+f(−x)=2−x|x|+1+2+x|x|+1=4，A正确;
对于B:f(x)=1+1x+1,x≥01x−1+3,x<0则f(x)在R上单调递减，故B正确;
对于C:当x≥0时，1
2(x1+1)+(x2+1)−(x1+1)+(x2+1)2(x1+1)(x2+1)≤2(x1+1)+(x2+1)−(x1+1)+(x2+1)2⋅[(x1+1)+(x2+1)]24=0，
故∀x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，故D正确．
13.【答案】24
【解析】解：2723+(14)−2+lg910−2lg3=(33)23+42+lg9−lg10−lg9=16+9−1=24．
14.【答案】910
【解析】解：3cs2θ+2sinθcsθ=3cs2θ+2sinθcsθsin2θ+cs2θ=3+2tanθtan2θ+1=910
15.【答案】1− 3π
【解析】解：以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为12×π3×22=2π3，中间等边三角形ABC的面积为12×2× 3= 3，
所以莱洛三角形的面积是2π3×3−2 3=2π−2 3，周长为2π，故面积与周长之比为1− 3π．
16.【答案】(1,2)，[8 2,12)
【解析】解：作函数f(x)的图象如下图所示：
由图象可知，要使方程f(x)=a有四个不同的解，则需1
而函数y=2x+16x在(2,2 2]递减，[2 2,4)上递增，故其取值范围为[8 2,12)
17.【答案】解：(1)由题意知A={x|1≤x≤5}，当m=3时，B={x|2≤x≤6}，故∁UB={x|x<2或x>6}，
∴A∩(∁UB)={x|1≤x<2};
(2)∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B真含于A，
∴当B=⌀时，m−1>2m，解得m<−1，成立;
当B≠⌀时，m−1≤2mm−1≥12m≤5，且m−1≥1，2m≤5中等号不能同时取得，解得2≤m≤52，
综上，m的取值范围是m<−1或2≤m≤52．
【解析】略
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(α+π2)cs(3π2−α)tan(π−α)sin(α+π)
=csα(−sinα)(−tanα)(−sinα)
=csα⋅(−sinαcsα)=−sinα
(2)由f(α)⋅f(α+π2)=−16，可得sinαsin(α+π2)=−16，
所以sinαcsα=−16，
又f(α)−f(α+π2)=−sinα+csα，
所以(csα−sinα)2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=1+13=43
因为π2≤α≤π，sinα≥0，csα≤0，所以csα−sinα=−2 33，
所以f(α)−f(α+π2)的值为−2 33．
【解析】略
19.【答案】解：(1)依题意有2×(−π12)+θ=2kπ，k∈Z，∵0<θ<π，∴θ=π6
即f(x)=2cs(2x+π6).
当2x+π6=2kπ即x=kπ−π12(k∈Z)时f(x)取最大值2;
当2x+π6=2kπ+π即x=kπ+5π12(k∈Z)时f(x)取最小值−2．
(2)依题意g(x)=2cs(2x−π3)，
2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，k∈Z.
∴kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z.又x∈[−π2,π2]，
令k=0，k=−1得其减区间为[π6,π2]与[−π2,−π3].
【解析】略
20.【答案】解：(1)依题意，总成本为2x+4．
f(x)=W(x)−(2x+4)，又╔╔W(x)= \ begin{cases}2x^{2}+20x,0
则╔╔f(x)= \ begin{cases}2x^{2}+20x-(2x+4),0
(2)当0
当且仅当2(x−1)=200x−1，即x=11时取等号，因为154>136，所以当x=11时，f(x)取得最大值154．
所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元．
【解析】略
21.【答案】解：(1)由sin2x+cs2x=1得，f(x)=−2cs2x+asinx−1=2sin2x+asinx−3，
当a=5时，f(x)=2sin2x+5sinx−3=(2sinx−1)(sinx+3)，
由f(x)≥0且sinx+3>0得2sinx−1≥0，故2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6
所以f(x)≥0的解集为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k∈Z.
(2)因为g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上的值域为[−10,−4]．
由题意得f(x)=2sin2x+asinx−3≥−4在x∈[0,π2]上恒成立，令t=sinx∈[0,1]，
于是ℎ(t)=2t2+at+1≥0在t∈[0,1]恒成立．
当t=0时，1≥0恒成立，所以a∈R.当t∈(0,1]时，由2t2+at+1≥0，得a≥−2t2+1t恒成立．
又−2t2+1t=−(2t+1t)≤−2 2t×1t=−2 2，当2t=1t即t= 22等号成立．
所以a≥−2 2．
综上所述，实数a的取值范围为[−2 2,+∞).
【解析】略
22.【答案】解：(1)∵f(−π2)=0=f(π2)，∴f(−π2)+f(π2)=0．∴f(x)=|csx|是“G函数”．
(2)∵f(x)为“G函数”，故存在x∈[−π3,0)∪(0,π3]，使f(x)+f(−x)=0，
∴lg2(tanx+m)+1+lg2(−tanx+m)+1=0，
即m2−tan2x=14在x∈[−π3,0)∪(0,π3]有解．
∵tanx∈[− 3,0)∪(0, 3]，∴m2=tan2x+14∈(14,134].
又∵m+tanx>0在x∈[−π3,0)∪(0,π3]恒成立，∴m>(−tanx)max= 3．
∴ 3
则f(x)+f(−x)=0在定义域上有解，可化为4x+4x−4m(2x+2−x)+4m2−6=0在定义域上有解，
令t=2x+2−x，则t>2，4x+4−x=t2−2，
从而t2−4mt+4m2−8=0在(2,+∞)有解，即可保证f(x)为“G函数”，
令F(t)=t2−4mt+4m2−8，则F(t)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=2m．
则 ①当2m≤2即m≤1时，F(2)=4m2−8m−4<0
解得1− 2
综上，当m>1− 2时，f(x)=4x−m⋅2x+2+2m2−3为定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的“G函数”，否则不是．
【解析】略
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