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    2023年山东省威海市乳山市中考数学一模试卷(含解析)
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    2023年山东省威海市乳山市中考数学一模试卷(含解析)

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    这是一份2023年山东省威海市乳山市中考数学一模试卷(含解析),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. −2023的相反数是( )
    A. 2023B. −12023C. 12023D. −2023
    2. 据研究,我国渤海、黄海、东海、南海的海水中含有许多化学元素.其中铝、锰元素总量均约为8×106吨,用科学记数法表示铝、锰元素总量的和为( )
    A. 8×1012吨B. 6.4×107吨C. 1.6×1013吨D. 1.6×107吨
    3. 在如图所示的电路中,随机闭合开关S1、S2、S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是( )
    A. 12
    B. 13
    C. 23
    D. 14
    4. 如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,连接AC,若∠D=40°,则∠CAD=( )
    A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
    5. 下列计算结果为a6的是( )
    A. (−a3)2B. C. a3+a3D. a2⋅a3
    6. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC的长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点O;③连接AP,交BC于点E.若CE=3,BE=5,则AC的长为( )
    A. 4B. 5C. 6D. 7
    7. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2022−a−b的值为( )
    A. −2022B. 2021C. 2022D. 2023
    8. 如图,正方形OABC的顶点A,C在坐标轴上,将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1,依此方式,连续旋转至第2023次得到正方形若点A的坐标为(1,0),则点B2023的坐标为( )
    A. (1,−1)
    B. (0, 2)
    C. ( 2,0)
    D. (−1,1)
    9. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=6,延长BC到点D,CD=4,点E是AD的中点,BE交AC于点F,则△AEF的面积为( )
    A. 154B. 152C. 134D. 132
    10. 如图①,在四边形ABCD中,AB/​/CD,∠A=90°,点P从点A出发,以1cm/s的速度向点B运动;点Q从点C同时出发,以2cm/s的速度向点D运动,规定当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为x(s),PQ的长度为y(cm),y与x的对应关系如图②所示,最低点为(2,3).对于下列说法:①AB=4cm,②CD=6cm,③BC=3 5cm,④当x=43时,PQ/​/BC.正确的说法有( )
    A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
    二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
    11. 分解因式:x2−9y2=______.
    12. 将一块含30°角的直角三角板如图放置,若a/​/b,∠2=30°,则∠1= ______ °.
    13. 分式|x|−5x+5的值为0.则x的值为______.
    14. 已知x=1y=−2是二元一次方程组3x+3y=m−1nx−y=4的解,则nm= ______ .
    15. 如图,矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上,且OC=2OA,M,N分别为OA,OC的中点,AN与BM交于点E,且四边形EMON的面积为1,则经过点B的反比例函数的解析式为______ .
    16. 如图①,将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF,再折出矩形BCFE的对角线BF.如图②,将AB折到BF上,点A落在BF上的点A′处,折痕为BG.若AB=2,则A′G= ______ .
    三、解答题(本大题共8小题,共64.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题8.0分)
    解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
    18. (本小题8.0分)
    数据网络引领时代发展.已知在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒.若5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍,求5G网络的峰值速率.
    19. (本小题8.0分)
    为了解学生阳光体育大课间活动情况,某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题,随机调查了某班同学,并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图:

    依据统计图信息,解决下列问题:
    (1)随机调查的某班同学有______ 人;
    (2)在扇形统计图中,喜欢“足球”的百分比为______ %;
    (3)如果学校有800名学生,估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目?
    (4)已知在被调查的某班同学中,喜欢篮球的有2名女同学,其余为男同学.现要从中随机抽取2名选手代表班级参加校篮球队,请用画树状图或列表的方法,求出所抽取的选手恰好是1名女同学和1名男同学的概率.
    20. (本小题8.0分)
    如图1是一只拉杆式旅行箱,其侧面示意图如图2所示,已知箱体长AB=50cm,拉杆BC最大可伸长30cm,点A,B,C在同一条直线上,在箱体的底端装有圆形的滚轮⊙A,⊙A与水平地面MN相切于点D,在拉杆伸长至最大的情况下,且点B距离地面36cm时,点C到地面的距离CE=54cm.

    (1)求滚轮的半径;
    (2)调整拉杆BC的长度,当某人的手自然下垂在拉杆顶端C处拉动旅行箱时,C到地面的距离为66cm,拉杆与水平地面的夹角为53°,求此时拉杆BC伸长的长度.(参考数据:sin53°≈0.80,cs53°≈0.60,tan53°≈1.33,结果精确到1cm)
    21. (本小题8.0分)
    如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D在边AB上(AD>BD),点B关于CD的对称点为E,BE交CD于点G.AE与CD的延长线交于点F,连接CE,BF.
    (1)求∠AFC的度数;
    (2)若AD=BC,求证:EF=DF.
    22. (本小题8.0分)
    如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,AB=BE,PD切⊙O于点D,交EB于点C,连接AE,点D在AE上.
    (1)求证:BE⊥PC;
    (2)连接OC,如果PD=2 3,∠ABC=60°,求OC的长.
    23. (本小题8.0分)
    已知:在平面直角坐标系中,二次函数y=−12(x−m)2+4的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.

    (1)若m=5,则n的值为______ ;
    (2)若n=2,且点A在第一象限内,求当y>2时,x的取值范围;
    (3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
    24. (本小题8.0分)
    【问题再现】:
    (1)如图1,平行四边形ABCD的对角线交于点O,点E,F在对角线BD上,连接AE,CF.若再增加一个条件,便可证明出AE=CF.
    针对上述问题,小明添加的条件是“DE=BF”;小强添加的条件是“AE/​/CF”.请你替小明或小强完成证明过程;(即任选其中一种方法证明)
    【问题探究】:
    (2)如图2,平行四边形ABCD的对角线交于点O,过点B的直线与对角线AC交于点P,分别过点A,C作直线BP的垂线,垂足分别为点E,F,连接OE,OF.
    ①求证:OE=OF;
    ②若∠OEF=30°,探究AE,CF,OE间的等量关系,并证明;
    【问题拓广】:
    (3)如图3,平行四边形ABCD的对角线交于点O,过点B的直线与对角线CA的延长线交于点P,分别过点A,C作直线BP的垂线,垂足分别为点E,F,连接OE,OF.若∠OEF的度数记为α,请写出AE,CF,OE间的等量关系,并证明.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:−2023的相反数是2023.
    故选:A.
    利用相反数的定义判断.
    本题考查了相反数,掌握相反数的定义是关键.
    2.【答案】D
    【解析】解:∵铝、锰元素总量均约为8×106吨,
    ∴铝、锰元素总量的和约为:,
    故选:D.
    直接将铝、锰元素总量相加,再将其用科学记数法表示即可得到答案.
    本题主要考查了科学记数法,科学记数法的表达方法:a×10n其中1≤|a|<10,确定n的值是解题的关键.
    3.【答案】B
    【解析】解:画树状图得:
    ∵共有6种等可能的结果,能让灯泡L1发光的有2种情况,
    ∴能让灯泡L1发光的概率为26=13.
    故选:B.
    首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
    本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
    4.【答案】B
    【解析】解:连接OC,

    ∵CD是⊙O的切线,
    ∴∠OCD=90°,
    ∵∠D=40°,
    ∴∠COD=50°,

    故选:B.
    连接OC,根据切线的性质可得∠OCD=90°,即可求出∠COD的度数,根据圆周角定理即可得答案.
    本题考查切线的性质及圆周角定理,圆的切线垂直于过切点的半径;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;熟练掌握相关定理及性质是解题关键.
    5.【答案】A
    【解析】解:A、(−a3)2=a6,符合题意;
    B、,不符合题意;
    C、a3+a3=2a3,不符合题意;
    D、a2⋅a3=a5,不符合题意;
    故选:A.
    根据同底数幂的乘除法则,积的乘方法则,合并同类项.逐一计算,判断即可.
    本题考查同底数幂的乘除,积的乘方,合并同类项.熟练掌握相关运算法则,是解题的关键.
    6.【答案】C
    【解析】解:过点E作ED⊥AB于点D,

    由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线,
    ∵EC⊥AC,ED⊥AB,
    ∴EC=ED=3,
    在Rt△ACE和Rt△ADE中,
    AE=AEEC=ED,
    ∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),
    ∴AC=AD,
    在Rt△EDB中,DE=3,BE=5,
    ∴BD=4,
    设AC=x,则AB=4+x,
    故在Rt△ACB中,
    AC2+BC2=AB2,
    即x2+82=(x+4)2,
    解得:x=6,
    即AC的长为:6.
    故选:C.
    直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线,进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD,再利用勾股定理得出AC的长.
    此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确得出BD的长是解题关键.
    7.【答案】D
    【解析】解:把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0,
    所以a+b=−1,
    所以2022−a−b=2022−(a+b)=2022+1=2023.
    故选:D.
    利用一元二次方程解的定义得到a+b=−1,然后把2022−a−b变形为2022−(a+b),再利用整体代入的方法计算.
    本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
    8.【答案】C
    【解析】解:∵点A的坐标为(1,0),
    ∴OA=1,
    ∵四边形OABC是正方形,
    ∴∠OAB=90°,AB=OA=1,
    ∴B(1,1),
    连接OB,如图:

    由勾股定理得:,
    由旋转的性质得:,
    ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,
    ,B2(−1,1),,B4(−1,−1),,B6(1,−1),,发现是8次一循环,
    则,
    ∴点B2023的坐标为( 2,0);
    故选:C.
    根据图形可知:点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,再由旋转可知:将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,可得对应点B的坐标,然后发现规律是8次一循环,进而得出答案.
    本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型:点的坐标等知识,学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键.
    9.【答案】A
    【解析】解:∵∠ABC=90°,AB=BC=6,CD=4,
    ∴BD=BC+CD=10,

    ∵点E是AD的中点,

    取AC的中点G,连接EG,则:,

    ∴△BFC∽△EFG,




    故选:A.
    取AC的中点G,连接EG,得到,推出△BFC∽△EFG,求出EF:BE的值,利用同高三角形的面积比等于底边比进行求解即可.
    本题考查三角形的中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是添加辅助线构造三角形的中位线和相似三角形.
    10.【答案】A
    【解析】解:由图象经过(0,3 5)可知当x=0时,y=PQ=3 5,
    ∴AC=3 5,
    由图象最低点是(2,3)可知当x=2时,y=PQ=3,
    此时PQ⊥CD,
    ∵AB/​/CD,∠A=90°,
    ∴此时四边形ADQP为矩形,
    ∴AD=3,
    ∴根据勾股定理得:

    故②正确,
    ∴Q点最多运动3s,
    由最后一个点(3,3 2)可知运动3s时PQ=3 2,
    此时Q与D重合,,
    ∴AB的长是求不出来的,
    ∴①③④不能判断对错,
    故选:A.
    由图象上三个点的坐标,结合勾股定理可判断出各条线段的长,即可判断①②③④,进而得出结论.
    本题考查了动点问题函数图象,主要利用了勾股定理,关键是对图象上三个点的坐标的理解.
    11.【答案】(x−3y)(x+3y)
    【解析】解:原式=(x−3y)(x+3y).
    故答案为:(x−3y)(x+3y).
    直接利用平方差公式分解因式得出答案.
    此题主要考查了公式法分解因式,正确运用平方差公式分解因式是解题关键.
    12.【答案】150
    【解析】解:∵∠A=30°,∠H=90°,

    如图,过C作CM//a,而a/​/b,

    ∴CM//a//b,





    故答案为:150.
    先求解,如图,过C作CM//a,而a/​/b,可得,再利用平行线的性质可得答案.
    本题考查了平行线的性质,平行公理的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键.
    13.【答案】5
    【解析】解:由题意可得|x|−5=0且x+5≠0,
    解得x=5.
    故答案是:5.
    分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
    考查了分式的值为零的条件,由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题.
    14.【答案】14
    【解析】解:由题意得:,
    解得:m=−2n=2,

    故答案为:14.
    将x=1y=−2代入方程组,求出m,n的值,即可得出结果.
    本题考查了二元一次方程组的解,理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键.
    15.【答案】y=5x
    【解析】解:∵矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上,且OC=2OA,M,N分别为OA,OC的中点,AN与BM交于点E,
    ,即:,
    ,即:△ABE的面积等于四边形EMON的面积,
    ∴S△ABE=1,
    取AN的中点F,连接MF,则:,


    ∴△AEB∽△FEM,
    ∴ME:BE=MF:AB=1:4,
    ∴S△AME::BE=1:4,

    ,即:,
    ,即:矩形OABC的面积为5;
    ∵反比例函数的图象经过点B,

    ∴反比例函数的解析式为:y=5x;
    故答案为:y=5x.
    利用等积法,得到△ABE的面积等于四边形EMON的面积,取AN的中点F,连接MF,得到,进而得到,得到△AEB∽△FEM,得到ME:BE=1:4,得到△AME的面积,进而得到△ABM的面积,从而得到矩形OABC的面积,即可得解.
    本题考查已知图形面积求k值,同时考查了矩形的性质,三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质.熟练掌握k值的几何意义,添加辅助线构造三角形的中位线,证明三角形相似,是解题的关键.
    16.【答案】 5−1
    【解析】解:如图,连接GF,

    ∵AB=2,则DF=1.
    在Rt△BCF中,,
    则.
    设AG=A′G=x,则GD=2−x,
    在Rt△A′GF和Rt△DGF中,A′F2+A′G2=DF2+DG2,
    即,
    解得:x= 5−1,

    故答案为: 5−1.
    连接GF,由折纸第一步,可知DF=1,在Rt△BCF中,根据勾股定理得出BF= 5,则设AG=A′G=x,则GD=2−x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2,列出关于x的方程,解方程求出x= 5−1.
    此题考查了正方形的性质,折叠问题和勾股定理,熟练掌握以上知识点是解题的关键.
    17.【答案】解:,
    由不等式①得x≥2.
    由不等式②得x<3.
    所以不等式组的解集为2≤x<3.
    数轴表示如图:

    【解析】分别解出每一个不等式的解集,进而求出不等式组的解集,再在数轴上表示出解集即可.
    本题考查求不等式组的解集,并在数轴上进行表示.正确的求出每一个不等式的解集,是解题的关键.
    18.【答案】解:设4G网络的峰值速率为x兆,由题意得:
    100x−10010x=9.
    解得x=10.
    经检验,x=10是分式方程的解.
    所以,10x=100.
    答:5G网络的峰值速率为100兆.
    【解析】设4G网络的峰值速率为x兆,根据在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒列出方程,解方程即可.
    本题主要考查了分式方程的应用,解题的关键是根据等量关系列出方程,准确解方程.
    19.【答案】50 20
    【解析】解:(1)20÷40%=50(人);
    故答案为:50;

    故答案为:20;
    人).
    答:估计全校学生中有80人喜欢篮球项目.
    (4)喜欢篮球项目的有5人,其中两名女生,则有三名男生,用A,B表示女生,C,D,E表示男生,列表如下:
    共有20种等可能的结果,其中1名女同学和1名男同学共有12种结果.
    所以,P(1名女同学和1名男同学)=1220=35.
    (1)用跳绳的人数除以所占百分比进行求解即可;
    (2)用足球的人数除以总人数,即可得解;
    (3)用全校学生人数乘以样本中篮球所占的百分比进行求解即可;
    (4)列出表格,利于概率公式进行求解即可.
    本题考查条形图和扇形图的综合应用,同时考查了利用样本估计总体,以及列表法求概率.从统计图中正确的获取信息,是解题的关键.
    20.【答案】解:(1)连接AD,作AF⊥CE于点F,BH⊥MN于点H,交AF于点K.则BH/​/CE,

    设⊙A的半径为r cm,则BK=(36−r)cm,.
    ∵BH//CE,
    ∴△ABK∽△ACF.

    即.
    解得r=6.
    ∴滚轮的半径为6cm.
    (2)在Rt△ACF中,.


    ∴拉杆BC的伸长的长度约为25cm.
    【解析】(1)连接AD,作AF⊥CE于点F,BH⊥MN于点H,交AF于点K.则BH/​/CE,设⊙A的半径为rcm,则BK=(36−r)cm,证明△ABK∽△ACF,得到,则,解得r=6即可.
    (2)在Rt△ACF中,再求得到由BC=AC−AB即可得到答案.
    此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,数形结合和准确计算是解题的关键.
    21.【答案】(1)解:∵点B,E关于CD对称,
    ∴CE=CB,∠BCD=∠ECD.
    ∵AC=BC,
    ∴AC=CE.
    ∴AC=CE.
    设∠BCD=x,则:∠ECD=x,.


    (2)证明:∵点B,E关于CD对称,点F在直线CD上,
    ∴FE=FB,CF⊥BE.
    由(1)知:∠AFC=45°

    ∵∠ACB=90°,AC=BC,


    ∵∠ADF=∠CDB,
    ∴∠FAD=∠FCB.
    ∵AD=BC,
    ∴△ADF≌△CBF(AAS).
    ∴AF=CF,DF=BF.
    ∵EF=BF,
    ∴EF=DF.
    【解析】(1)根据对称得到CE=CB,∠BCD=∠ECD,进而得到AC=CE,AC=CE,设∠BCD=x,推出,利用三角形的外角的性质,即可求解;
    (2)证明△ADF≌△CBF,推出AF=CF,DF=BF,根据EF=BF,即可得出结论.
    本题考查轴对称的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质.熟练掌握轴对称的性质,证明三角形全等,是解题的关键.
    22.【答案】证明:连接OD,
    ∵AB=BE,
    ∴∠E=∠BAE,
    ∵OA=OD,
    ∴∠OAD=∠ODA,
    ∴∠ODA=∠E,
    ∴OD/​/BE,
    ∵PD切⊙O于点D,
    ∴OD⊥PD,
    ∴BE⊥PC;
    (2)解:∵OD/​/BE,∠ABC=60°,
    ∴∠DOP=∠ABC=60°,
    ∵PD⊥OD,
    ∴tan∠DOP=DPOD,
    ∴2 3OD= 3,
    ∴OD=2,
    ∴OP=4,
    ∴PB=6,
    ∴sin∠ABC=PCPB,
    ∴ 32=PC6,
    ∴PC=3 3,
    ∴DC= 3,
    ∴DC2+OD2=OC2,
    ∴( 3)2+22=OC2,
    ∴OC= 7.
    【解析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠ODA=∠E,证得OD//BE,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,则可得出结论;
    (2)由(1)知,OD//BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得DC,OD的长,再由勾股定理可求出OC的长.
    本题考查了圆的切线的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,解直角三角形的知识,熟练掌握切线的性质是解题的关键.
    23.【答案】−4
    【解析】解:(1)当m=5时,,
    ∵点C在函数图象上,

    故答案为:−4;
    (2)当n=2时,则:2=−12(1−m)2+4,
    解得:m1=−1(不合题意,舍去),m2=3;

    ∴抛物线的对称轴为直线x=3,
    ∵x=1与x=5关于对称轴对称,
    ∴点C(1,2)关于对称轴的对称点为:(5,2),如图,

    由图可知:当y>2时,x的取值范围为1(3)∵点A与点C不重合,
    ∴m≠1.
    当x=0,则y=−12m2+4.


    如图,抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前,m的值在逐渐减小,且点B沿y轴向上移动.
    当点B与O重合时,−12m2+4=0.
    解得m1=2 2,m2=−2 2(舍).
    如图2,当点A,B,D重合时,
    点B到达最高点.
    此时点B的坐标为(0,4).
    ∴−12m2+4=4.
    解得m=0.
    ∴m的取值范围是:0≤m<1或1(1)将m=5代入解析式,再将点C代入解析式进行计算即可得解;
    (2)根据n=2,且点A在第一象限内,求出函数解析式,再利用图象法,求出x的取值范围即可;
    (3)根据题意,可知当B与O点重合时,m值最大,当A,B,D三点重合时,m的值最小,进行求解即可.
    本题考查二次函数的综合应用.熟练掌握二次函数的图象和性质,利用数形结合的思想进行求解是解题的关键.
    24.【答案】(1)解:【小明】∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
    ∴OD=OB,OA=OC,
    ∵DE=BF,
    ∴OD−DE=OB−BF,即:OE=OF,
    又∠AOE=∠COF,
    ∴△AOE≌△COF(SAS),
    ∴AE=CF;
    【小强】∵AE/​/CF,
    ∴∠AEO=∠CFO.
    ∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
    ∴OA=OC,
    又∠AOE=∠COF,
    ∴△AOE≌△COF(AAS).
    ∴AE=CF.
    (2)①证明:如图,延长EO交CF于点M.

    ∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
    ∴OA=OC,
    ∵AE⊥BP,CF⊥BP,
    ∴AE//CM,


    ∴△AOE≌△COM(AAS).
    ∴AE=CM,OE=OM.
    即.
    在Rt△MEF中,.
    ∴OE=OF.
    ②解:CF=OE+AE.
    ∵∠OEF=30°,

    ∴MF=OE.

    ∴CF=OE+AE.
    (3)解:.
    如图,延长EO交FC的延长线于点M.

    同法(2)可得:△AOE≌△COM.

    在Rt△MEF中,.
    ∴OE=OF.
    在Rt△MEF中,.
    即.


    【解析】(1)小明:证明△AOE≌△COF(SAS),即可得出结论;小强:证明△AOE≌△COF(AAS),即可得出结论;
    (2)①如图,延长EO交CF于点M,证明△AOE≌△COM(AAS),得到,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到,即可得到OE=OF;
    ②利用含30度角的直角三角形的性质,得到,利用,进行转化即可得出结论;
    (3)同法(2)可得:,利用三角函数得到,,利用,进行转化即可得出结论.
    本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线,和解直角三角形.熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等,是解题的关键.
    A
    B
    C
    D
    E
    A
    A,B
    A,C
    A,D
    A,E
    B
    B,A
    B,C
    B,D
    B,E
    C
    C,A
    C,B
    C,D
    C,E
    D
    D,A
    D,B
    D,C
    D,E
    E
    E,A
    E,B
    E,C
    E,D

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