
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2023年山东省威海市乳山市中考数学一模试卷(含解析)
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这是一份2023年山东省威海市乳山市中考数学一模试卷(含解析),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. −2023的相反数是( )
A. 2023B. −12023C. 12023D. −2023
2. 据研究,我国渤海、黄海、东海、南海的海水中含有许多化学元素.其中铝、锰元素总量均约为8×106吨,用科学记数法表示铝、锰元素总量的和为( )
A. 8×1012吨B. 6.4×107吨C. 1.6×1013吨D. 1.6×107吨
3. 在如图所示的电路中,随机闭合开关S1、S2、S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 14
4. 如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,连接AC,若∠D=40°,则∠CAD=( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
5. 下列计算结果为a6的是( )
A. (−a3)2B. C. a3+a3D. a2⋅a3
6. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC的长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点O;③连接AP,交BC于点E.若CE=3,BE=5,则AC的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2022−a−b的值为( )
A. −2022B. 2021C. 2022D. 2023
8. 如图,正方形OABC的顶点A,C在坐标轴上,将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1,依此方式,连续旋转至第2023次得到正方形若点A的坐标为(1,0),则点B2023的坐标为( )
A. (1,−1)
B. (0, 2)
C. ( 2,0)
D. (−1,1)
9. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=6,延长BC到点D,CD=4,点E是AD的中点,BE交AC于点F,则△AEF的面积为( )
A. 154B. 152C. 134D. 132
10. 如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,∠A=90°,点P从点A出发,以1cm/s的速度向点B运动;点Q从点C同时出发,以2cm/s的速度向点D运动,规定当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为x(s),PQ的长度为y(cm),y与x的对应关系如图②所示,最低点为(2,3).对于下列说法:①AB=4cm,②CD=6cm,③BC=3 5cm,④当x=43时,PQ//BC.正确的说法有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11. 分解因式:x2−9y2=______.
12. 将一块含30°角的直角三角板如图放置,若a//b,∠2=30°,则∠1= ______ °.
13. 分式|x|−5x+5的值为0.则x的值为______.
14. 已知x=1y=−2是二元一次方程组3x+3y=m−1nx−y=4的解,则nm= ______ .
15. 如图,矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上,且OC=2OA,M,N分别为OA,OC的中点,AN与BM交于点E,且四边形EMON的面积为1,则经过点B的反比例函数的解析式为______ .
16. 如图①,将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF,再折出矩形BCFE的对角线BF.如图②,将AB折到BF上,点A落在BF上的点A′处,折痕为BG.若AB=2,则A′G= ______ .
三、解答题(本大题共8小题,共64.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题8.0分)
解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
18. (本小题8.0分)
数据网络引领时代发展.已知在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒.若5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍,求5G网络的峰值速率.
19. (本小题8.0分)
为了解学生阳光体育大课间活动情况,某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题,随机调查了某班同学,并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图:
依据统计图信息,解决下列问题:
(1)随机调查的某班同学有______ 人;
(2)在扇形统计图中,喜欢“足球”的百分比为______ %;
(3)如果学校有800名学生,估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目?
(4)已知在被调查的某班同学中,喜欢篮球的有2名女同学,其余为男同学.现要从中随机抽取2名选手代表班级参加校篮球队,请用画树状图或列表的方法,求出所抽取的选手恰好是1名女同学和1名男同学的概率.
20. (本小题8.0分)
如图1是一只拉杆式旅行箱,其侧面示意图如图2所示,已知箱体长AB=50cm,拉杆BC最大可伸长30cm,点A,B,C在同一条直线上,在箱体的底端装有圆形的滚轮⊙A,⊙A与水平地面MN相切于点D,在拉杆伸长至最大的情况下,且点B距离地面36cm时,点C到地面的距离CE=54cm.
(1)求滚轮的半径;
(2)调整拉杆BC的长度,当某人的手自然下垂在拉杆顶端C处拉动旅行箱时,C到地面的距离为66cm,拉杆与水平地面的夹角为53°,求此时拉杆BC伸长的长度.(参考数据:sin53°≈0.80,cs53°≈0.60,tan53°≈1.33,结果精确到1cm)
21. (本小题8.0分)
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D在边AB上(AD>BD),点B关于CD的对称点为E,BE交CD于点G.AE与CD的延长线交于点F,连接CE,BF.
(1)求∠AFC的度数;
(2)若AD=BC,求证:EF=DF.
22. (本小题8.0分)
如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,AB=BE,PD切⊙O于点D,交EB于点C,连接AE,点D在AE上.
(1)求证:BE⊥PC;
(2)连接OC,如果PD=2 3,∠ABC=60°,求OC的长.
23. (本小题8.0分)
已知:在平面直角坐标系中,二次函数y=−12(x−m)2+4的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)若m=5,则n的值为______ ;
(2)若n=2,且点A在第一象限内,求当y>2时,x的取值范围;
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
24. (本小题8.0分)
【问题再现】:
(1)如图1,平行四边形ABCD的对角线交于点O,点E,F在对角线BD上,连接AE,CF.若再增加一个条件,便可证明出AE=CF.
针对上述问题,小明添加的条件是“DE=BF”;小强添加的条件是“AE//CF”.请你替小明或小强完成证明过程;(即任选其中一种方法证明)
【问题探究】:
(2)如图2,平行四边形ABCD的对角线交于点O,过点B的直线与对角线AC交于点P,分别过点A,C作直线BP的垂线,垂足分别为点E,F,连接OE,OF.
①求证:OE=OF;
②若∠OEF=30°,探究AE,CF,OE间的等量关系,并证明;
【问题拓广】:
(3)如图3,平行四边形ABCD的对角线交于点O,过点B的直线与对角线CA的延长线交于点P,分别过点A,C作直线BP的垂线,垂足分别为点E,F,连接OE,OF.若∠OEF的度数记为α,请写出AE,CF,OE间的等量关系,并证明.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:−2023的相反数是2023.
故选:A.
利用相反数的定义判断.
本题考查了相反数,掌握相反数的定义是关键.
2.【答案】D
【解析】解:∵铝、锰元素总量均约为8×106吨,
∴铝、锰元素总量的和约为:,
故选:D.
直接将铝、锰元素总量相加,再将其用科学记数法表示即可得到答案.
本题主要考查了科学记数法,科学记数法的表达方法:a×10n其中1≤|a|<10,确定n的值是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,能让灯泡L1发光的有2种情况,
∴能让灯泡L1发光的概率为26=13.
故选:B.
首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
4.【答案】B
【解析】解:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∵∠D=40°,
∴∠COD=50°,
,
故选:B.
连接OC,根据切线的性质可得∠OCD=90°,即可求出∠COD的度数,根据圆周角定理即可得答案.
本题考查切线的性质及圆周角定理,圆的切线垂直于过切点的半径;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;熟练掌握相关定理及性质是解题关键.
5.【答案】A
【解析】解:A、(−a3)2=a6,符合题意;
B、,不符合题意;
C、a3+a3=2a3,不符合题意;
D、a2⋅a3=a5,不符合题意;
故选:A.
根据同底数幂的乘除法则,积的乘方法则,合并同类项.逐一计算,判断即可.
本题考查同底数幂的乘除,积的乘方,合并同类项.熟练掌握相关运算法则,是解题的关键.
6.【答案】C
【解析】解:过点E作ED⊥AB于点D,
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线,
∵EC⊥AC,ED⊥AB,
∴EC=ED=3,
在Rt△ACE和Rt△ADE中,
AE=AEEC=ED,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AD,
在Rt△EDB中,DE=3,BE=5,
∴BD=4,
设AC=x,则AB=4+x,
故在Rt△ACB中,
AC2+BC2=AB2,
即x2+82=(x+4)2,
解得:x=6,
即AC的长为:6.
故选:C.
直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线,进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD,再利用勾股定理得出AC的长.
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确得出BD的长是解题关键.
7.【答案】D
【解析】解:把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0,
所以a+b=−1,
所以2022−a−b=2022−(a+b)=2022+1=2023.
故选:D.
利用一元二次方程解的定义得到a+b=−1,然后把2022−a−b变形为2022−(a+b),再利用整体代入的方法计算.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
8.【答案】C
【解析】解:∵点A的坐标为(1,0),
∴OA=1,
∵四边形OABC是正方形,
∴∠OAB=90°,AB=OA=1,
∴B(1,1),
连接OB,如图:
由勾股定理得:,
由旋转的性质得:,
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,
,B2(−1,1),,B4(−1,−1),,B6(1,−1),,发现是8次一循环,
则,
∴点B2023的坐标为( 2,0);
故选:C.
根据图形可知:点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,再由旋转可知:将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,可得对应点B的坐标,然后发现规律是8次一循环,进而得出答案.
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型:点的坐标等知识,学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键.
9.【答案】A
【解析】解:∵∠ABC=90°,AB=BC=6,CD=4,
∴BD=BC+CD=10,
,
∵点E是AD的中点,
,
取AC的中点G,连接EG,则:,
∴△BFC∽△EFG,
,
,
,
.
故选:A.
取AC的中点G,连接EG,得到,推出△BFC∽△EFG,求出EF:BE的值,利用同高三角形的面积比等于底边比进行求解即可.
本题考查三角形的中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是添加辅助线构造三角形的中位线和相似三角形.
10.【答案】A
【解析】解:由图象经过(0,3 5)可知当x=0时,y=PQ=3 5,
∴AC=3 5,
由图象最低点是(2,3)可知当x=2时,y=PQ=3,
此时PQ⊥CD,
∵AB//CD,∠A=90°,
∴此时四边形ADQP为矩形,
∴AD=3,
∴根据勾股定理得:
,
故②正确,
∴Q点最多运动3s,
由最后一个点(3,3 2)可知运动3s时PQ=3 2,
此时Q与D重合,,
∴AB的长是求不出来的,
∴①③④不能判断对错,
故选:A.
由图象上三个点的坐标,结合勾股定理可判断出各条线段的长,即可判断①②③④,进而得出结论.
本题考查了动点问题函数图象,主要利用了勾股定理,关键是对图象上三个点的坐标的理解.
11.【答案】(x−3y)(x+3y)
【解析】解:原式=(x−3y)(x+3y).
故答案为:(x−3y)(x+3y).
直接利用平方差公式分解因式得出答案.
此题主要考查了公式法分解因式,正确运用平方差公式分解因式是解题关键.
12.【答案】150
【解析】解:∵∠A=30°,∠H=90°,
,
如图,过C作CM//a,而a//b,
∴CM//a//b,
,
,
,
,
,
故答案为:150.
先求解,如图,过C作CM//a,而a//b,可得,再利用平行线的性质可得答案.
本题考查了平行线的性质,平行公理的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键.
13.【答案】5
【解析】解:由题意可得|x|−5=0且x+5≠0,
解得x=5.
故答案是:5.
分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
考查了分式的值为零的条件,由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题.
14.【答案】14
【解析】解:由题意得:,
解得:m=−2n=2,
;
故答案为:14.
将x=1y=−2代入方程组,求出m,n的值,即可得出结果.
本题考查了二元一次方程组的解,理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键.
15.【答案】y=5x
【解析】解:∵矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上,且OC=2OA,M,N分别为OA,OC的中点,AN与BM交于点E,
,即:,
,即:△ABE的面积等于四边形EMON的面积,
∴S△ABE=1,
取AN的中点F,连接MF,则:,
,
∴△AEB∽△FEM,
∴ME:BE=MF:AB=1:4,
∴S△AME::BE=1:4,
,
,即:,
,即:矩形OABC的面积为5;
∵反比例函数的图象经过点B,
,
∴反比例函数的解析式为:y=5x;
故答案为:y=5x.
利用等积法,得到△ABE的面积等于四边形EMON的面积,取AN的中点F,连接MF,得到,进而得到,得到△AEB∽△FEM,得到ME:BE=1:4,得到△AME的面积,进而得到△ABM的面积,从而得到矩形OABC的面积,即可得解.
本题考查已知图形面积求k值,同时考查了矩形的性质,三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质.熟练掌握k值的几何意义,添加辅助线构造三角形的中位线,证明三角形相似,是解题的关键.
16.【答案】 5−1
【解析】解:如图,连接GF,
∵AB=2,则DF=1.
在Rt△BCF中,,
则.
设AG=A′G=x,则GD=2−x,
在Rt△A′GF和Rt△DGF中,A′F2+A′G2=DF2+DG2,
即,
解得:x= 5−1,
.
故答案为: 5−1.
连接GF,由折纸第一步,可知DF=1,在Rt△BCF中,根据勾股定理得出BF= 5,则设AG=A′G=x,则GD=2−x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2,列出关于x的方程,解方程求出x= 5−1.
此题考查了正方形的性质,折叠问题和勾股定理,熟练掌握以上知识点是解题的关键.
17.【答案】解:,
由不等式①得x≥2.
由不等式②得x<3.
所以不等式组的解集为2≤x<3.
数轴表示如图:
【解析】分别解出每一个不等式的解集,进而求出不等式组的解集,再在数轴上表示出解集即可.
本题考查求不等式组的解集,并在数轴上进行表示.正确的求出每一个不等式的解集,是解题的关键.
18.【答案】解:设4G网络的峰值速率为x兆,由题意得:
100x−10010x=9.
解得x=10.
经检验,x=10是分式方程的解.
所以,10x=100.
答:5G网络的峰值速率为100兆.
【解析】设4G网络的峰值速率为x兆,根据在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒列出方程,解方程即可.
本题主要考查了分式方程的应用,解题的关键是根据等量关系列出方程,准确解方程.
19.【答案】50 20
【解析】解:(1)20÷40%=50(人);
故答案为:50;
;
故答案为:20;
人).
答:估计全校学生中有80人喜欢篮球项目.
(4)喜欢篮球项目的有5人,其中两名女生,则有三名男生,用A,B表示女生,C,D,E表示男生,列表如下:
共有20种等可能的结果,其中1名女同学和1名男同学共有12种结果.
所以,P(1名女同学和1名男同学)=1220=35.
(1)用跳绳的人数除以所占百分比进行求解即可;
(2)用足球的人数除以总人数,即可得解;
(3)用全校学生人数乘以样本中篮球所占的百分比进行求解即可;
(4)列出表格,利于概率公式进行求解即可.
本题考查条形图和扇形图的综合应用,同时考查了利用样本估计总体,以及列表法求概率.从统计图中正确的获取信息,是解题的关键.
20.【答案】解:(1)连接AD,作AF⊥CE于点F,BH⊥MN于点H,交AF于点K.则BH//CE,
设⊙A的半径为r cm,则BK=(36−r)cm,.
∵BH//CE,
∴△ABK∽△ACF.
.
即.
解得r=6.
∴滚轮的半径为6cm.
(2)在Rt△ACF中,.
.
.
∴拉杆BC的伸长的长度约为25cm.
【解析】(1)连接AD,作AF⊥CE于点F,BH⊥MN于点H,交AF于点K.则BH//CE,设⊙A的半径为rcm,则BK=(36−r)cm,证明△ABK∽△ACF,得到,则,解得r=6即可.
(2)在Rt△ACF中,再求得到由BC=AC−AB即可得到答案.
此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,数形结合和准确计算是解题的关键.
21.【答案】(1)解:∵点B,E关于CD对称,
∴CE=CB,∠BCD=∠ECD.
∵AC=BC,
∴AC=CE.
∴AC=CE.
设∠BCD=x,则:∠ECD=x,.
.
.
(2)证明:∵点B,E关于CD对称,点F在直线CD上,
∴FE=FB,CF⊥BE.
由(1)知:∠AFC=45°
.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
.
.
∵∠ADF=∠CDB,
∴∠FAD=∠FCB.
∵AD=BC,
∴△ADF≌△CBF(AAS).
∴AF=CF,DF=BF.
∵EF=BF,
∴EF=DF.
【解析】(1)根据对称得到CE=CB,∠BCD=∠ECD,进而得到AC=CE,AC=CE,设∠BCD=x,推出,利用三角形的外角的性质,即可求解;
(2)证明△ADF≌△CBF,推出AF=CF,DF=BF,根据EF=BF,即可得出结论.
本题考查轴对称的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质.熟练掌握轴对称的性质,证明三角形全等,是解题的关键.
22.【答案】证明:连接OD,
∵AB=BE,
∴∠E=∠BAE,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠E,
∴OD//BE,
∵PD切⊙O于点D,
∴OD⊥PD,
∴BE⊥PC;
(2)解:∵OD//BE,∠ABC=60°,
∴∠DOP=∠ABC=60°,
∵PD⊥OD,
∴tan∠DOP=DPOD,
∴2 3OD= 3,
∴OD=2,
∴OP=4,
∴PB=6,
∴sin∠ABC=PCPB,
∴ 32=PC6,
∴PC=3 3,
∴DC= 3,
∴DC2+OD2=OC2,
∴( 3)2+22=OC2,
∴OC= 7.
【解析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠ODA=∠E,证得OD//BE,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,则可得出结论;
(2)由(1)知,OD//BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得DC,OD的长,再由勾股定理可求出OC的长.
本题考查了圆的切线的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,解直角三角形的知识,熟练掌握切线的性质是解题的关键.
23.【答案】−4
【解析】解:(1)当m=5时,,
∵点C在函数图象上,
;
故答案为:−4;
(2)当n=2时,则:2=−12(1−m)2+4,
解得:m1=−1(不合题意,舍去),m2=3;
,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
∵x=1与x=5关于对称轴对称,
∴点C(1,2)关于对称轴的对称点为:(5,2),如图,
由图可知:当y>2时,x的取值范围为1(3)∵点A与点C不重合,
∴m≠1.
当x=0,则y=−12m2+4.
,
如图,抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前,m的值在逐渐减小,且点B沿y轴向上移动.
当点B与O重合时,−12m2+4=0.
解得m1=2 2,m2=−2 2(舍).
如图2,当点A,B,D重合时,
点B到达最高点.
此时点B的坐标为(0,4).
∴−12m2+4=4.
解得m=0.
∴m的取值范围是:0≤m<1或1(1)将m=5代入解析式,再将点C代入解析式进行计算即可得解;
(2)根据n=2,且点A在第一象限内,求出函数解析式,再利用图象法,求出x的取值范围即可;
(3)根据题意,可知当B与O点重合时,m值最大,当A,B,D三点重合时,m的值最小,进行求解即可.
本题考查二次函数的综合应用.熟练掌握二次函数的图象和性质,利用数形结合的思想进行求解是解题的关键.
24.【答案】(1)解:【小明】∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴OD=OB,OA=OC,
∵DE=BF,
∴OD−DE=OB−BF,即:OE=OF,
又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF;
【小强】∵AE//CF,
∴∠AEO=∠CFO.
∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴OA=OC,
又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE=CF.
(2)①证明:如图,延长EO交CF于点M.
∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴OA=OC,
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE//CM,
,
又
∴△AOE≌△COM(AAS).
∴AE=CM,OE=OM.
即.
在Rt△MEF中,.
∴OE=OF.
②解:CF=OE+AE.
∵∠OEF=30°,
.
∴MF=OE.
,
∴CF=OE+AE.
(3)解:.
如图,延长EO交FC的延长线于点M.
同法(2)可得:△AOE≌△COM.
.
在Rt△MEF中,.
∴OE=OF.
在Rt△MEF中,.
即.
,
.
【解析】(1)小明:证明△AOE≌△COF(SAS),即可得出结论;小强:证明△AOE≌△COF(AAS),即可得出结论;
(2)①如图,延长EO交CF于点M,证明△AOE≌△COM(AAS),得到,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到,即可得到OE=OF;
②利用含30度角的直角三角形的性质,得到,利用,进行转化即可得出结论;
(3)同法(2)可得:,利用三角函数得到,,利用,进行转化即可得出结论.
本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线,和解直角三角形.熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等,是解题的关键.
A
B
C
D
E
A
A,B
A,C
A,D
A,E
B
B,A
B,C
B,D
B,E
C
C,A
C,B
C,D
C,E
D
D,A
D,B
D,C
D,E
E
E,A
E,B
E,C
E,D
1. −2023的相反数是( )
A. 2023B. −12023C. 12023D. −2023
2. 据研究,我国渤海、黄海、东海、南海的海水中含有许多化学元素.其中铝、锰元素总量均约为8×106吨,用科学记数法表示铝、锰元素总量的和为( )
A. 8×1012吨B. 6.4×107吨C. 1.6×1013吨D. 1.6×107吨
3. 在如图所示的电路中,随机闭合开关S1、S2、S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 14
4. 如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,连接AC,若∠D=40°,则∠CAD=( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
5. 下列计算结果为a6的是( )
A. (−a3)2B. C. a3+a3D. a2⋅a3
6. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC的长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点O;③连接AP,交BC于点E.若CE=3,BE=5,则AC的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2022−a−b的值为( )
A. −2022B. 2021C. 2022D. 2023
8. 如图,正方形OABC的顶点A,C在坐标轴上,将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1,依此方式,连续旋转至第2023次得到正方形若点A的坐标为(1,0),则点B2023的坐标为( )
A. (1,−1)
B. (0, 2)
C. ( 2,0)
D. (−1,1)
9. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=6,延长BC到点D,CD=4,点E是AD的中点,BE交AC于点F,则△AEF的面积为( )
A. 154B. 152C. 134D. 132
10. 如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,∠A=90°,点P从点A出发,以1cm/s的速度向点B运动;点Q从点C同时出发,以2cm/s的速度向点D运动,规定当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为x(s),PQ的长度为y(cm),y与x的对应关系如图②所示,最低点为(2,3).对于下列说法:①AB=4cm,②CD=6cm,③BC=3 5cm,④当x=43时,PQ//BC.正确的说法有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11. 分解因式:x2−9y2=______.
12. 将一块含30°角的直角三角板如图放置,若a//b,∠2=30°,则∠1= ______ °.
13. 分式|x|−5x+5的值为0.则x的值为______.
14. 已知x=1y=−2是二元一次方程组3x+3y=m−1nx−y=4的解,则nm= ______ .
15. 如图,矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上,且OC=2OA,M,N分别为OA,OC的中点,AN与BM交于点E,且四边形EMON的面积为1,则经过点B的反比例函数的解析式为______ .
16. 如图①,将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF,再折出矩形BCFE的对角线BF.如图②,将AB折到BF上,点A落在BF上的点A′处,折痕为BG.若AB=2,则A′G= ______ .
三、解答题(本大题共8小题,共64.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题8.0分)
解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
18. (本小题8.0分)
数据网络引领时代发展.已知在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒.若5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍,求5G网络的峰值速率.
19. (本小题8.0分)
为了解学生阳光体育大课间活动情况,某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题,随机调查了某班同学,并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图:
依据统计图信息,解决下列问题:
(1)随机调查的某班同学有______ 人;
(2)在扇形统计图中,喜欢“足球”的百分比为______ %;
(3)如果学校有800名学生,估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目?
(4)已知在被调查的某班同学中,喜欢篮球的有2名女同学,其余为男同学.现要从中随机抽取2名选手代表班级参加校篮球队,请用画树状图或列表的方法,求出所抽取的选手恰好是1名女同学和1名男同学的概率.
20. (本小题8.0分)
如图1是一只拉杆式旅行箱,其侧面示意图如图2所示,已知箱体长AB=50cm,拉杆BC最大可伸长30cm,点A,B,C在同一条直线上,在箱体的底端装有圆形的滚轮⊙A,⊙A与水平地面MN相切于点D,在拉杆伸长至最大的情况下,且点B距离地面36cm时,点C到地面的距离CE=54cm.
(1)求滚轮的半径;
(2)调整拉杆BC的长度,当某人的手自然下垂在拉杆顶端C处拉动旅行箱时,C到地面的距离为66cm,拉杆与水平地面的夹角为53°,求此时拉杆BC伸长的长度.(参考数据:sin53°≈0.80,cs53°≈0.60,tan53°≈1.33,结果精确到1cm)
21. (本小题8.0分)
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D在边AB上(AD>BD),点B关于CD的对称点为E,BE交CD于点G.AE与CD的延长线交于点F,连接CE,BF.
(1)求∠AFC的度数;
(2)若AD=BC,求证:EF=DF.
22. (本小题8.0分)
如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,AB=BE,PD切⊙O于点D,交EB于点C,连接AE,点D在AE上.
(1)求证:BE⊥PC;
(2)连接OC,如果PD=2 3,∠ABC=60°,求OC的长.
23. (本小题8.0分)
已知:在平面直角坐标系中,二次函数y=−12(x−m)2+4的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)若m=5,则n的值为______ ;
(2)若n=2,且点A在第一象限内,求当y>2时,x的取值范围;
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
24. (本小题8.0分)
【问题再现】:
(1)如图1,平行四边形ABCD的对角线交于点O,点E,F在对角线BD上,连接AE,CF.若再增加一个条件,便可证明出AE=CF.
针对上述问题,小明添加的条件是“DE=BF”;小强添加的条件是“AE//CF”.请你替小明或小强完成证明过程;(即任选其中一种方法证明)
【问题探究】:
(2)如图2,平行四边形ABCD的对角线交于点O,过点B的直线与对角线AC交于点P,分别过点A,C作直线BP的垂线,垂足分别为点E,F,连接OE,OF.
①求证:OE=OF;
②若∠OEF=30°,探究AE,CF,OE间的等量关系,并证明;
【问题拓广】:
(3)如图3,平行四边形ABCD的对角线交于点O,过点B的直线与对角线CA的延长线交于点P,分别过点A,C作直线BP的垂线,垂足分别为点E,F,连接OE,OF.若∠OEF的度数记为α,请写出AE,CF,OE间的等量关系,并证明.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:−2023的相反数是2023.
故选:A.
利用相反数的定义判断.
本题考查了相反数,掌握相反数的定义是关键.
2.【答案】D
【解析】解:∵铝、锰元素总量均约为8×106吨,
∴铝、锰元素总量的和约为:,
故选:D.
直接将铝、锰元素总量相加,再将其用科学记数法表示即可得到答案.
本题主要考查了科学记数法,科学记数法的表达方法:a×10n其中1≤|a|<10,确定n的值是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,能让灯泡L1发光的有2种情况,
∴能让灯泡L1发光的概率为26=13.
故选:B.
首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
4.【答案】B
【解析】解:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∵∠D=40°,
∴∠COD=50°,
,
故选:B.
连接OC,根据切线的性质可得∠OCD=90°,即可求出∠COD的度数,根据圆周角定理即可得答案.
本题考查切线的性质及圆周角定理,圆的切线垂直于过切点的半径;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;熟练掌握相关定理及性质是解题关键.
5.【答案】A
【解析】解:A、(−a3)2=a6,符合题意;
B、,不符合题意;
C、a3+a3=2a3,不符合题意;
D、a2⋅a3=a5,不符合题意;
故选:A.
根据同底数幂的乘除法则,积的乘方法则,合并同类项.逐一计算,判断即可.
本题考查同底数幂的乘除,积的乘方,合并同类项.熟练掌握相关运算法则,是解题的关键.
6.【答案】C
【解析】解:过点E作ED⊥AB于点D,
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线,
∵EC⊥AC,ED⊥AB,
∴EC=ED=3,
在Rt△ACE和Rt△ADE中,
AE=AEEC=ED,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AD,
在Rt△EDB中,DE=3,BE=5,
∴BD=4,
设AC=x,则AB=4+x,
故在Rt△ACB中,
AC2+BC2=AB2,
即x2+82=(x+4)2,
解得:x=6,
即AC的长为:6.
故选:C.
直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线,进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD,再利用勾股定理得出AC的长.
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确得出BD的长是解题关键.
7.【答案】D
【解析】解:把x=1代入方程ax2+bx+1=0得a+b+1=0,
所以a+b=−1,
所以2022−a−b=2022−(a+b)=2022+1=2023.
故选:D.
利用一元二次方程解的定义得到a+b=−1,然后把2022−a−b变形为2022−(a+b),再利用整体代入的方法计算.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
8.【答案】C
【解析】解:∵点A的坐标为(1,0),
∴OA=1,
∵四边形OABC是正方形,
∴∠OAB=90°,AB=OA=1,
∴B(1,1),
连接OB,如图:
由勾股定理得:,
由旋转的性质得:,
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,
,B2(−1,1),,B4(−1,−1),,B6(1,−1),,发现是8次一循环,
则,
∴点B2023的坐标为( 2,0);
故选:C.
根据图形可知:点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,再由旋转可知:将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,可得对应点B的坐标,然后发现规律是8次一循环,进而得出答案.
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型:点的坐标等知识,学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键.
9.【答案】A
【解析】解:∵∠ABC=90°,AB=BC=6,CD=4,
∴BD=BC+CD=10,
,
∵点E是AD的中点,
,
取AC的中点G,连接EG,则:,
∴△BFC∽△EFG,
,
,
,
.
故选:A.
取AC的中点G,连接EG,得到,推出△BFC∽△EFG,求出EF:BE的值,利用同高三角形的面积比等于底边比进行求解即可.
本题考查三角形的中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是添加辅助线构造三角形的中位线和相似三角形.
10.【答案】A
【解析】解:由图象经过(0,3 5)可知当x=0时,y=PQ=3 5,
∴AC=3 5,
由图象最低点是(2,3)可知当x=2时,y=PQ=3,
此时PQ⊥CD,
∵AB//CD,∠A=90°,
∴此时四边形ADQP为矩形,
∴AD=3,
∴根据勾股定理得:
,
故②正确,
∴Q点最多运动3s,
由最后一个点(3,3 2)可知运动3s时PQ=3 2,
此时Q与D重合,,
∴AB的长是求不出来的,
∴①③④不能判断对错,
故选:A.
由图象上三个点的坐标,结合勾股定理可判断出各条线段的长,即可判断①②③④,进而得出结论.
本题考查了动点问题函数图象,主要利用了勾股定理,关键是对图象上三个点的坐标的理解.
11.【答案】(x−3y)(x+3y)
【解析】解:原式=(x−3y)(x+3y).
故答案为:(x−3y)(x+3y).
直接利用平方差公式分解因式得出答案.
此题主要考查了公式法分解因式,正确运用平方差公式分解因式是解题关键.
12.【答案】150
【解析】解:∵∠A=30°,∠H=90°,
,
如图,过C作CM//a,而a//b,
∴CM//a//b,
,
,
,
,
,
故答案为:150.
先求解,如图,过C作CM//a,而a//b,可得,再利用平行线的性质可得答案.
本题考查了平行线的性质,平行公理的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键.
13.【答案】5
【解析】解:由题意可得|x|−5=0且x+5≠0,
解得x=5.
故答案是:5.
分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
考查了分式的值为零的条件,由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题.
14.【答案】14
【解析】解:由题意得:,
解得:m=−2n=2,
;
故答案为:14.
将x=1y=−2代入方程组,求出m,n的值,即可得出结果.
本题考查了二元一次方程组的解,理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键.
15.【答案】y=5x
【解析】解:∵矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上,且OC=2OA,M,N分别为OA,OC的中点,AN与BM交于点E,
,即:,
,即:△ABE的面积等于四边形EMON的面积,
∴S△ABE=1,
取AN的中点F,连接MF,则:,
,
∴△AEB∽△FEM,
∴ME:BE=MF:AB=1:4,
∴S△AME::BE=1:4,
,
,即:,
,即:矩形OABC的面积为5;
∵反比例函数的图象经过点B,
,
∴反比例函数的解析式为:y=5x;
故答案为:y=5x.
利用等积法,得到△ABE的面积等于四边形EMON的面积,取AN的中点F,连接MF,得到,进而得到,得到△AEB∽△FEM,得到ME:BE=1:4,得到△AME的面积,进而得到△ABM的面积,从而得到矩形OABC的面积,即可得解.
本题考查已知图形面积求k值,同时考查了矩形的性质,三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质.熟练掌握k值的几何意义,添加辅助线构造三角形的中位线,证明三角形相似,是解题的关键.
16.【答案】 5−1
【解析】解:如图,连接GF,
∵AB=2,则DF=1.
在Rt△BCF中,,
则.
设AG=A′G=x,则GD=2−x,
在Rt△A′GF和Rt△DGF中,A′F2+A′G2=DF2+DG2,
即,
解得:x= 5−1,
.
故答案为: 5−1.
连接GF,由折纸第一步,可知DF=1,在Rt△BCF中,根据勾股定理得出BF= 5,则设AG=A′G=x,则GD=2−x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2,列出关于x的方程,解方程求出x= 5−1.
此题考查了正方形的性质,折叠问题和勾股定理,熟练掌握以上知识点是解题的关键.
17.【答案】解:,
由不等式①得x≥2.
由不等式②得x<3.
所以不等式组的解集为2≤x<3.
数轴表示如图:
【解析】分别解出每一个不等式的解集,进而求出不等式组的解集,再在数轴上表示出解集即可.
本题考查求不等式组的解集,并在数轴上进行表示.正确的求出每一个不等式的解集,是解题的关键.
18.【答案】解:设4G网络的峰值速率为x兆,由题意得:
100x−10010x=9.
解得x=10.
经检验,x=10是分式方程的解.
所以,10x=100.
答:5G网络的峰值速率为100兆.
【解析】设4G网络的峰值速率为x兆,根据在峰值速率下传输100兆数据,5G网络比4G网络快9秒列出方程,解方程即可.
本题主要考查了分式方程的应用,解题的关键是根据等量关系列出方程,准确解方程.
19.【答案】50 20
【解析】解:(1)20÷40%=50(人);
故答案为:50;
;
故答案为:20;
人).
答:估计全校学生中有80人喜欢篮球项目.
(4)喜欢篮球项目的有5人,其中两名女生,则有三名男生,用A,B表示女生,C,D,E表示男生,列表如下:
共有20种等可能的结果,其中1名女同学和1名男同学共有12种结果.
所以,P(1名女同学和1名男同学)=1220=35.
(1)用跳绳的人数除以所占百分比进行求解即可;
(2)用足球的人数除以总人数,即可得解;
(3)用全校学生人数乘以样本中篮球所占的百分比进行求解即可;
(4)列出表格,利于概率公式进行求解即可.
本题考查条形图和扇形图的综合应用,同时考查了利用样本估计总体,以及列表法求概率.从统计图中正确的获取信息,是解题的关键.
20.【答案】解:(1)连接AD,作AF⊥CE于点F,BH⊥MN于点H,交AF于点K.则BH//CE,
设⊙A的半径为r cm,则BK=(36−r)cm,.
∵BH//CE,
∴△ABK∽△ACF.
.
即.
解得r=6.
∴滚轮的半径为6cm.
(2)在Rt△ACF中,.
.
.
∴拉杆BC的伸长的长度约为25cm.
【解析】(1)连接AD,作AF⊥CE于点F,BH⊥MN于点H,交AF于点K.则BH//CE,设⊙A的半径为rcm,则BK=(36−r)cm,证明△ABK∽△ACF,得到,则,解得r=6即可.
(2)在Rt△ACF中,再求得到由BC=AC−AB即可得到答案.
此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,数形结合和准确计算是解题的关键.
21.【答案】(1)解:∵点B,E关于CD对称,
∴CE=CB,∠BCD=∠ECD.
∵AC=BC,
∴AC=CE.
∴AC=CE.
设∠BCD=x,则:∠ECD=x,.
.
.
(2)证明:∵点B,E关于CD对称,点F在直线CD上,
∴FE=FB,CF⊥BE.
由(1)知:∠AFC=45°
.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
.
.
∵∠ADF=∠CDB,
∴∠FAD=∠FCB.
∵AD=BC,
∴△ADF≌△CBF(AAS).
∴AF=CF,DF=BF.
∵EF=BF,
∴EF=DF.
【解析】(1)根据对称得到CE=CB,∠BCD=∠ECD,进而得到AC=CE,AC=CE,设∠BCD=x,推出,利用三角形的外角的性质,即可求解;
(2)证明△ADF≌△CBF,推出AF=CF,DF=BF,根据EF=BF,即可得出结论.
本题考查轴对称的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质.熟练掌握轴对称的性质,证明三角形全等,是解题的关键.
22.【答案】证明:连接OD,
∵AB=BE,
∴∠E=∠BAE,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠E,
∴OD//BE,
∵PD切⊙O于点D,
∴OD⊥PD,
∴BE⊥PC;
(2)解:∵OD//BE,∠ABC=60°,
∴∠DOP=∠ABC=60°,
∵PD⊥OD,
∴tan∠DOP=DPOD,
∴2 3OD= 3,
∴OD=2,
∴OP=4,
∴PB=6,
∴sin∠ABC=PCPB,
∴ 32=PC6,
∴PC=3 3,
∴DC= 3,
∴DC2+OD2=OC2,
∴( 3)2+22=OC2,
∴OC= 7.
【解析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠ODA=∠E,证得OD//BE,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,则可得出结论;
(2)由(1)知,OD//BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得DC,OD的长,再由勾股定理可求出OC的长.
本题考查了圆的切线的性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,解直角三角形的知识,熟练掌握切线的性质是解题的关键.
23.【答案】−4
【解析】解:(1)当m=5时,,
∵点C在函数图象上,
;
故答案为:−4;
(2)当n=2时,则:2=−12(1−m)2+4,
解得:m1=−1(不合题意,舍去),m2=3;
,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
∵x=1与x=5关于对称轴对称,
∴点C(1,2)关于对称轴的对称点为:(5,2),如图,
由图可知:当y>2时,x的取值范围为1
∴m≠1.
当x=0,则y=−12m2+4.
,
如图,抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前,m的值在逐渐减小,且点B沿y轴向上移动.
当点B与O重合时,−12m2+4=0.
解得m1=2 2,m2=−2 2(舍).
如图2,当点A,B,D重合时,
点B到达最高点.
此时点B的坐标为(0,4).
∴−12m2+4=4.
解得m=0.
∴m的取值范围是:0≤m<1或1
(2)根据n=2,且点A在第一象限内,求出函数解析式,再利用图象法,求出x的取值范围即可;
(3)根据题意,可知当B与O点重合时,m值最大,当A,B,D三点重合时,m的值最小,进行求解即可.
本题考查二次函数的综合应用.熟练掌握二次函数的图象和性质,利用数形结合的思想进行求解是解题的关键.
24.【答案】(1)解:【小明】∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴OD=OB,OA=OC,
∵DE=BF,
∴OD−DE=OB−BF,即:OE=OF,
又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF;
【小强】∵AE//CF,
∴∠AEO=∠CFO.
∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴OA=OC,
又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE=CF.
(2)①证明:如图,延长EO交CF于点M.
∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴OA=OC,
∵AE⊥BP,CF⊥BP,
∴AE//CM,
,
又
∴△AOE≌△COM(AAS).
∴AE=CM,OE=OM.
即.
在Rt△MEF中,.
∴OE=OF.
②解:CF=OE+AE.
∵∠OEF=30°,
.
∴MF=OE.
,
∴CF=OE+AE.
(3)解:.
如图,延长EO交FC的延长线于点M.
同法(2)可得:△AOE≌△COM.
.
在Rt△MEF中,.
∴OE=OF.
在Rt△MEF中,.
即.
,
.
【解析】(1)小明:证明△AOE≌△COF(SAS),即可得出结论;小强:证明△AOE≌△COF(AAS),即可得出结论;
(2)①如图,延长EO交CF于点M,证明△AOE≌△COM(AAS),得到,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到,即可得到OE=OF;
②利用含30度角的直角三角形的性质,得到,利用,进行转化即可得出结论;
(3)同法(2)可得:,利用三角函数得到,,利用,进行转化即可得出结论.
本题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线,和解直角三角形.熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等,是解题的关键.
A
B
C
D
E
A
A,B
A,C
A,D
A,E
B
B,A
B,C
B,D
B,E
C
C,A
C,B
C,D
C,E
D
D,A
D,B
D,C
D,E
E
E,A
E,B
E,C
E,D