夏津县金光中学2023-2024学年第一学期八年级期中质量检测数学试题

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14.23∘
15.6
16.72
17.AB=CD (答案不唯一)
18.4
三、解答题：19.解：(1)∵∠BED=∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE=60°−40°=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=40°．
∵AF为高，
∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°−∠ABF=90°−40°=50°．
(2)∵AD为中线，
∴BD=CD=5．
∴BC=2BD=10．
∵S▵ABC=12AF⋅BC=40．
∴AF=2×4010=8．

20.解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=80°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=40°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=80°，
∵DE是△ADC的高线，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADE=90°−∠DAC=50°.
21.解：(1)如图，CD即为所作，
(2)如图，延长CD，交BE于F，
因为△ABC是等腰直角三角形，
所以AB=AC，∠EAB=∠BAC=90∘，
又因为AE=AD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠EAB=∠DAC=90°AE=AD,
所以△BAE≌△CAD(SAS)，
所以CD=BE，∠ABE=∠ACD，
因为∠ABE+∠E=90∘，
所以∠ECF+∠E=90∘，
所以∠EFC=90∘，即CD⊥BE．

22.(1)证明：如图1中，
∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF=∠BCF=90∘，
∵∠AFE=∠CFB，
∴∠DAC=∠CBF，
∵BC=AC，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF=AD．
(2)结论： BD=2CF .理由：如图2中，作 EH⊥AC 于H．
∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90∘，
∴∠DAC+∠ADC=90∘，∠DAC+∠EAH=90∘，
∴∠ADC=∠EAH，
∵AD=AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD=AH，EH=AC，
∵CB=CA，
∴BD=CH，EH=BC
∵∠EHF=∠BCF=90∘，∠EFH=∠BFC，EH=BC，
∴△EFH≌△BFC，
∴FH=FC，
∴BD=CH=2CF．

23.解：(1)△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴BC=AC，OC=CD，∠ACB=∠DCO=∠ODC=60∘．
∴∠BCO=∠ACD．
在△BOC和△ADC中，
OC=DC,∠BCO=∠ACD,BC=AC,
∴△BOC≌△ADC(SAS)．
∴∠BOC=∠ADC．
∵∠BOC=α=150∘，
∴∠ADC=150∘．
又∵∠ODC=60∘，
∴∠ADO=150∘−60∘=90∘．
∴△AOD是直角三角形．
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60∘，b+c=180∘−110∘=70∘，c+d=60∘，
∴a+d=50∘，即∠OAD=50∘．
分三种情况讨论：
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO=(180∘−50∘)÷2=65∘，
∴α=360∘−110∘−65∘−60∘=125∘;
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO=50∘，
∴∠AOD=180∘−50∘−50∘=80∘．
∴α=360∘−110∘−80∘−60∘=110∘;
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD=50∘，
∴α=360∘−110∘−50∘−60∘=140∘．
综上所述，当α为110∘或125∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．

24.证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC．
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DF=BD,DC=DE,
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，
∴CF=EB．
(2)由(1)得CD=DE，
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
AD=AD,CD=DE,
∴Rt△ADC≌△Rt△ADE(HL)，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
25.证明：(1)如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠ADF=90∘BG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD．
(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM=DF，
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，在△ABM与△ADF中，
AB=AD∠1=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF(SAS).∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，
AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE，
∴△AME≌△AFE(SAS)．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．
(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE−FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF，
∵EG=BE−BG，
∴EF=BE−FD．