2024六安一中高一上学期期中考试数学试题含解析

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满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 命题“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合与集合，再由补集和交集知识进行求解即可.
【详解】由，得，∵在上单调递增，∴解得，
∴，
又∵，解得或，
∴或，
∴，
又∵，
∴.
故选：D.
3. 已知：，：指数函数是增函数，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出命题中a的范围，判断两个命题间的充分性与必要性即可.
【详解】因为指数函数是增函数，
所以，
又：，
所以是的必要不充分条件，
故选：C
4. 若，，，则它们的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数和的单调性即可比较.
【详解】因为在上单调递增，所以，即
又在R上单调递减，所以，即，
综上，.
故选：A
5. 若满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故选：D.
6. 已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数的图象可求得的范围，再根据二次函数的图象即可得解.
【详解】函数图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的，
由函数的图象可得函数为单调递减函数，则，
令得，则，
则函数的大致图象为A选项.
故选：A.
7. 设定义在上的函数，则使得成立的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】，且定义域是，
所以为偶函数，
且在均为增函数，
所以在为增函数，
且为偶函数，所以，即
，解得.
故选：C
8. 已知函数满足（），当时，且，若当时，有解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明函数单调递增，变换得到，根据单调性得到，计算函数最值得到答案.
【详解】设，故，
则，函数单调递增，
，即，即，
即在有解，即，
，故.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可得是方程两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可.
【详解】关于x的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为－3、4，由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10. 以下从到的对应关系表示函数的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】判断从到的对应关系是否表示函数，主要是判断集合中的每一个元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应即可.
【详解】对于A选项，因而0没有倒数，故A项错误；
对于B选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合中的每一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，故B项正确；
对于C选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M中的每个元素在集合中都有两个元素与之对应，故C项错误；
对于D选项，因当时，即有
且每个对应唯一的值，故必有成立,故D项正确.
故选：BD.
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 定义域为B. 在上单调递增
C. 为奇函数D. 值城为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的性质逐个判定即可.
【详解】对于A：函数定义域需满足，解得，A正确；
对于B：当时，
因为在单调递减，所以在内单调递增，B正确；
对于C：由A知函数定义域为，所以，
所以，所以为奇函数，C正确；
对于D：由B知在内单调递增，所以时，
又由C知为奇函数，所以时，
所以得值域为，D错误，
故选：ABC
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存在跟随区间
B. 若为的跟随区间，则
C. 二次函数存在“3倍跟随区间”
D. 若函数存在跟随区间，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，
若存在跟随区间则有，即为的两根．
即的根，故，故A错误．
对于B选项，若为的跟随区间，
因为在区间为增函数，故其值域为，
根据题意有，解得或，因为故，故B正确．
对于C选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递增，
此时易得为方程的两根，
求解得或.故定义域，则值域为．故C正确．
对于D选项，若函数存在跟随区间，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，
即，
因，所以．
易得．
所以，
令代入化简可得，
同理也满足，
即在区间上有两不相等的实数根．
故，解得，故D错误．
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ________.
【答案】13
【解析】
【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.
【详解】原式.
故答案为：
14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以满足，
又函数有意义，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
15. 已知，则的解析式为________.
【答案】，
【解析】
【分析】换元法求解表达式，第一步令括号内的表达式为t,第二步将表达式中的x换成t即可.
【详解】的定义域为.
令，则，
所以，由得，即.
于是.
故答案为：.
16. 已知函数，当时的最大值为3，则实数的值为________.
【答案】或4
【解析】
【分析】化简解析式为分段函数形式，讨论时，结合最大值求得a的值；时，数形结合，讨论和以及，确定函数在何处取得最值，求得a的值，综合可得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为R，，
当时，由得，
所以当时，，
当时，的图象如图所示，
当，即时，在上单调递增,
所以函数在上的最大值为，
当，即时，在上的图象在处达到最高点，所以在上的最大值为，不符合题意；
当，即时，在上的图象在处达到最高点，
所以在上的最大值为，不符合题意，
故a的值为或4，
故答案为：或4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设集合，，.
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合并集运算求解即可.
（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.
【小问1详解】
当时，，
因为，
所以
【小问2详解】
由题意“”是“”的充分不必要条件
得
①若，则，解得；
②若，则，解得；
，或，
综合①②得：的取值范围是.
18. 已知幂函数为偶函数，.
（1）求的解析式；
（2）若函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由幂函数的定义，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数的奇偶性求解函数解析式，即可得到结果.
【小问1详解】
为幂函数，，解得或，
又为偶函数，，.
【小问2详解】
由（1）得，当时，
①当时，；
②当时，；
，
综上得
19. 已知二次函数是上的偶函数，且，.
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求的，应用定义法证明函数的单调性；
（2）分类讨论两根的大小关系即可求解.
【小问1详解】
设，（）
为偶函数，.
，，
又，，，.
证明：，且，
，且，，，
，
在上单调递增.
【小问2详解】
整理得：，因式分解得
当，方程的两根为和2，且.
①当时，，原不等式的解集为
②当时，，原不等式的解集为
③时，，原不等式的解集为
综上：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为.
20. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元（）满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为6万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
（1）求出的值，并将表示为的函数；
（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】（1）,，
（2）当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元
【解析】
【分析】（1）由题意求得，再利用利润公式即可求得关于的函数；
（2）利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
依题意，当时，，，，
所以，
，.
【小问2详解】
因为
，
当且仅当，即时，等号成立.
当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元.
21. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，，求得，的值，再检验即可；
（2）先证明为上单调递增，再结合奇偶性可得恒成立，利用二次函数的性质求得，的最小值，进而可解.
【小问1详解】
由是上的奇函数得，，，
又，解得，，
则
为上的奇函数，，.
【小问2详解】
任取，且，
则，
因为在上单调递增，所以当时，，即，
又，所以，即，
在上单调递增.
，
由为奇函数，上式可变形为
由为上增函数得
即恒成立，
令，
而，所以在单调递增，
所以，
.
22. 已知定义在上的函数（）.
（1）当时，求的值域；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是的局部对称点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由换元法，结合二次函数值域，即可得到结果；
（2）根据题意，分讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，
令，，的值域为.
【小问2详解】
令，
在上单调递增，要使在上单调递增，
只需在上单调递增
①当时，在上单减不符合题意；
②当时，开口向下不符合题意；
③当时，，解得，实数的取值范围是.
【小问3详解】
由是的局部对称点得，
代入整理得 ①
令，则
代入①式得，
当时，函数和均为增函数
在上单调递增，，，
实数的取值范围为.