重庆市2023届高高三第二次模拟数学试题（适用新高考）(含答案)

这是一份重庆市2023届高高三第二次模拟数学试题（适用新高考）(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2、复平面内复数z满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
3、已知的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为 ( )
A.B.C.D.
4、在张奖券中有一等奖2张,二,三等奖各1张,其余4张无奖,将这8张奖券分配给4个人,每人2张,则不同的获奖情况数为( )
A.120B.96C.148D.216
5、若不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.B.C.D.
6、设两个相关变量x和y分别满足下表:
若相关变量x和y可拟合为非线性回归方程,则当时,y的估计值为 ( )
(参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,;)
A.33B.37C.65D.73
7、,是双曲线的左右焦点,点M为双曲线E右支上一点,点N在x轴上,满足,若,则双曲线E的离心率为 ( )
A.B.C.D.
8、设,,,(其中e是自然对数的底数),则 ( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分,成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本,其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个,再将40个男生成绩样本数据分为6组:,,,,,,绘制得到如图所示的频率分布直方图(同一组的数据用该组的中间值代表)则下列说法中正确的是 ( )
A.男生成绩样本数据的平均数为71
B.估计有90%的男生数学成绩在84分以内
C.在和内的两组男生成绩中,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为
D.若男生成绩样本数据的方差为187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119,则总样本的方差为146
10、已知点,,圆,若在圆C上存在唯一的点Q使得,则m可以为 ( )
A.3B.C.D.
11、若空间中经过定点O的三个平面,,两两垂直,过另一定点A作直线与这三个平面的夹角都为,过定点A作平面和这三个平面所夹的锐二面角都为记所作直线l的条数为m,所作平面的个数为n,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
12、已知函数,的定义域为R,为的导函数,且,,若为偶函数,则下列一定成立的有 ( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、已知向量,的夹角为,且,,则向量在向量上的投影向量为________.(用表示)
14、已知的图象在处的切线与与函数的图象也相切,则该切线的斜率________.
15、如图,函数的图象与坐标轴交于点A,B,C,直线BC交的图象于点D,O(坐标原点)为的重心(三条边中线的交点),其中,则________.
16、已知球O的表面积为,三棱锥的顶点都在该球面上,则三棱锥体积的最大值为________.
四、解答题
17、在平面四边形ABEC中,,,,.
（1）求A;
（2）若,求的面积.
18、已知数列的前n项和为,且满足,且.
（1）求证:数列为常数列,并求的通项公式;
（2）若使不等式成立的最小整数为7,且,求和的最小值.
19、如图,在四棱锥中,侧棱矩形ABCD,且,过棱PC的中点E,作交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE,
（1）证明:;
（2）若,平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为,求的值.
20、某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲,乙,丙三人都参加了该项活动.
（1）若甲第一关通过的概率为,第二关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率;
（2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励,
①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;
②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附:若随机变量,则;;.
21、过抛物线的焦点F作斜率分别为,的两条不同的直线,,且与E相交于点A,B,与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.
（1）若,求;
（2）若,求点M到直线l的距离的最小值.
22、已知函数,且.
（1）求的极值点;
（2）设,若,分别是的零点和极值点,证明:.
参考答案
1、答案：C
解析:由题意可得:,,
则.
故选:C.
2、答案：B
解析:因为,
所以点z是以,为焦点,半实轴长为1的双曲线,则,
所以点的轨迹方程为,
设,
所以,当且仅当时取等号,
所以的最小值为.
故选:B.
3、答案：C
解析:因为,且第3项与第9项的二项式系数相等,
所以,解得,取,所以所有项的系数之和为:.
故选:C
4、答案：A
解析:若中奖人数为四人,则不同的获奖情况有种;
若中奖人数为三人,则必有一人的2张奖券(设为M,N)均中奖,可得:
①若M,N均为一等奖,不同的获奖情况有种;
②若M,N为二,三等奖,不同的获奖情况有种;
③若M,N为一,二或一,三等奖,不同的获奖情况有种;
故中奖人数为三人,则不同的获奖情况有种;
若中奖人数为两人,则有:
①若2张一等奖的奖券为同一人获得,不同的获奖情况有种;
②若2张一等奖的奖券为不同人获得,不同的获奖情况有种;
故中奖人数为两人,则不同的获奖情况有种;
综上所述:不同的获奖情况数为.
故选:A.
5、答案：B
解析:（1）当n为偶数时,恒成立,即转化为恒成立,
而数列是递增数列,故时,,故;
（2）当n为奇数时,恒成立,即,转化为恒成立,
而数列是递增数列,n为奇数时,,故;
综上可得a的范围为.
故选:B.
6、答案：B
解析:因为非线性回归方程为:,则有,
令,即,列出相关变量x,y,v关系如下:
所以,,
,,
所以,
所以,所以,
即,即,因为,所以,
当时,.
故选:B
7、答案：D
解析:设,则,
是以,为邻边的平行四边形的一条对角线,
又,为的角平分线,
以,为邻边的平行四边形为菱形,,
由双曲线定义知:,,,
在中,由余弦定理得:,
双曲线E的离心率.
故选:D.
8、答案：C
解析:记,则,
所以在上单调递减,所以,所以在上,
所以,
又单调递增,所以,
所以,即,
而由二项式定理得:
,
,
对于a,c,由,,
记,,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,所以.
综上所述:.
故选:C.
9、答案：AC
解析:对于选项A,根据频率分布直方图有,男生成绩样本数据的平均数,故A正确;
对于选项B,根据频率分布直方图有,男生数学成绩在84分以内的人数的频率为,所以估计有80%的男生数学成绩在84分以内,故B错误;
对于选项C,根据频率分布直方图有,在和内的男生人数分别为6人,2人,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为,故C正确;
对于选项D,设女生成绩样本数据的平均数为,则总样本的平均数,
所以总样本的方差为,故D错误.
故选:AC.
10、答案：AD
解析:根据可知,点Q的轨迹为以AB为直径的圆T,,
圆的圆心,,圆C的圆心,
若在圆C上存在唯一的点Q使得,故圆T和圆C相切,
即或,,
即或(无解),
即或,
故或
故选:AD.
11、答案：AD
解析:由题意,将三个两两互相垂直的平面,,放入正方体中,
平面,,分别对应平面,平面OBCD,平面,
根据正方体的对称性,体对角线分别与三个平面,,所成角都相等,
因为平面平面,所以体对角线分别与三个平面,,所成角都相等,
同理体对角线,,分别与三个平面,,所成角都相等,
过点A分别作,,,的平行线,
则这四条平行线分别与三个平面,,所成角都相等,所以满足题意的直线l有4条,即,故选项A正确;
因为正方体内正四面体的四个平面与正方体的六个平面所夹的锐二面角都相等,
所以正四面体的四个平面与平面,,所夹的锐二面角都相等,
所以过A分别作与正四面体的四个平面平行的平面即可得到平面,
所以满足题意的平面有4个,即,所以,故选项B错误;
连接BD,因为平面OBCD,所以为在平面OBCD上的射影,
故为直线与平面OBCD所成角,因为,
所以直线l与平面OBCD所成的角为,
设正方体棱长为1,则,,
所以,即,所以选项C错误;
设,连接MC,因为平面,平面,
所以,又,且,平面,平面,所以平面,平面,所以,
则是平面与平面所夹的锐二面角,
也是平面和平面所夹的锐二面角,
因为,,所以,
所以,即,故选项D正确.
故选:AD
12、答案：ABC
解析:因为是偶函数,则,两边求导得,
所以是奇函数,故,
由,,得,
即,所以是周期函数,且周期为4,,
,所以,
对选项A:由,令得,,所以,故A正确;
对选项B:由,令得,,故,所以B正确;
对选项C:由,可得,
又,所以,
又是奇函数,,
所以,又,
所以,即,
所以,,,
所以函数为周期为4的偶函数,
所以,故C正确;
对选项D:,由题得不出,所以不一定成立,故D错误.
故选:ABC.
13、答案：/
解析:,夹角为,,
,
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为:.
14、答案：
解析:函数的图象在处的切线的切点为,
因为,所以切线斜率为,切线方程为,即,
设的图象的切线的切点为,因为,所以切线斜率为,
切线方程为,即,
由题,解得,,斜率为.
故答案为:.
15、答案：
解析:因为O为的重心,且,可得,
解得,所以,
所以,所以,所以,解得,
可得,
由,即,可得,
解得,,又由,所以,
所以,
于是,所以.
.
故答案为:.
16、答案：
解析:根据题意,设球的半径为R,则有,解得,
设底面ABC的外接圆的圆心为,
需要的面积越大,先定住A,B点,
若要的面积最大,则得为等腰三角形,
且在的底边的高线上,如图所示,
设到线段AB的距离为,底面ABC的外接圆半径为r,故,
,,
令,,
故,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,此时的面积最大,
此时,即,
所以是正三角形时,圆的内接三角形面积最大,
设正三角形ABC的底面边长为,,三棱锥的高为,
则,故,
所以三棱锥的体积:,
令,,
由,得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故当时,取最大值,
即三棱锥的体积取得最大值为,
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）由题设及正弦定理边角关系:,
又,
,即,即,
又,则,
,即.
（2）令,四边形内角和为,由（1）的结论知:,
在中,由正弦定理得:,即,
在中,,即,
又,
,
则,即,即,
,,
,
,即,
则,
,
,
.
18、答案：（1）证明见解析,
（2）;的最小值为:
解析:（1）因为,两边同除得,
,
所以
所以数列为常数列;
所以.
（2）由（1）知,数列是等差数列,
所以
因为,化简得;
令,
则成立的n最小值为7,
所以;解得.
因为,所以;
所以,故的最小值为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）证明:因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
由底面ABCD为矩形,有,而,PD,平面PCD,
所以平面PCD,又平面PCD,所以.
又因为,点是PC的中点,所以.
而,PC,平面PBC,所以平面PBC,平面PBC,
所以,
又,,DE,平面DEF,
所以平面DEF,而平面DEF,
所以得证.
（2）如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
因为,设,(),
则,,,,,点E是PC的中点,所以,
由平面ABCD,所以是平面ABCD的一个法向量;
由（1）知,平面平面,所以是平面DEF的一个法向量.
因为平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为,
则,解得(负值舍去).
所以,,
.
20、答案：（1）
（2）①能,理由见解析;
②乙所说为假
解析:（1）设:第次通过第一关,:第次通过第二关,甲可以进入第三关的概率为,
由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为.
①由题意可知,
因为,且,
所以,则;
而,且,
所以前400名参赛者的最低得分高于,
而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励;
②假设乙所说为真,则,
,
而,所以,
从而,
而,
所以为小概率事件,即丙的分数为430分是小概率事件,可认为其不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说为假.
21、答案：（1）24
（2）
解析:（1）依题意,抛物线的焦点为,且其在抛物线内部,设直线的方程为,
由,得,
设A,B两点的坐标分别为,,则,是上述方程的两个实数根,
所以,
所以点M的坐标为,,
同理可得N的坐标为,,
于是,
又,所以.
（2）结合（1）,
由抛物线的定义得,,
所以,
所以圆M的半径,
所以圆M的方程为
化简得,
同理可得圆N的方程为,
于是圆M与圆的公共弦所在直N线l的方程为,
又,,则直线l的方程为,
所以点M到直线l的距离,
故当时,d取最小值.
22、答案：（1）极大值点为1,没有极小值点;
（2）证明见解析.
解析:（1）因为且,当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,没有极小值点.
（2）因为,所以,
若,分别是的零点和极值点,则,即,
,,所以
由于,,则,,即,,
因为,所以当,即时,成立,
下面证明当时,成立,
若,则只需证明
设,则,
设,
则为增函数,且,
所以存在唯一,使得,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
故,所以,单调递增,
所以,,等价于.
设,则
当时,即时,,,单调递减,
所以当,,即当时成立,
再令,则,
当时,,单调递增,所以当时,,
即,成立.
综上,若,分别是的零点和极值点,有.
x
1
2
3
4
5
y
1
2
8
8
16
x
1
2
3
4
5
y
1
2
8
8
16
v
0
1
3
3
4