重庆2024届 高三第二学期高考数学模拟试题(二模)有答案

这是一份重庆2024届 高三第二学期高考数学模拟试题(二模)有答案，共20页。试卷主要包含了已知角θ满足，则，设，，，则，已知z为复数，，则，已知定义在R上的奇函数满足等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等差数列满足，，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．2023年10月4日，在杭州亚运会跳水男子10米台决赛中，中国选手杨昊夺得金牌．中国跳水队包揽杭州亚运会跳水项目全部10枚金牌．跳水比赛的评分规则如下，7位裁判同时给分，去掉两个最高分，去掉两个最低分，剩下的3个分数求和再乘以难度系数，就是该选手本轮的得分，下表就是杨昊比赛中的第一轮得分表，则（ ）
A．这7个数据的众数只能是10.0
B．这7个数据的中位数只能是9.0
C．a可能是10.0
D．a可能是9.5
4．已知双曲线的方程为，则不因m的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程C．焦距D．离心率
5．已知角θ满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知球O的半径为2cm，平面α截球O产生半径为1cm的圆面，A，B，C，D均在圆面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知z为复数，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知定义在R上的奇函数满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
11．记数列的前n项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立
B．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立
C．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立
D．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若，且，则 ．
13．重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．
14．已知函数，且函数的相邻最高点与最低点之间的直线距离为，若，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求AP的最小值．
16．已知函数有两个极值点，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
17．在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面．
(1)证明：；
(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
18．如图，已知椭圆C：的离心率为，直线l：恒过右焦点F，交椭圆于，两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的最小值．
19．在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．
(1)若，，求；
(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
1号
裁判
2号
裁判
3号
裁判
4号
裁判
5号
裁判
6号
裁判
7号
裁判
难度
系数
本轮
得分
a
9.5
9.0
10.0
9.5
10.0
10.0
3.2
92.80
1．B
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，因为，，
可得，解得，所以.
故选：B.
2．A
【分析】根据不等式的解法，求得或，分类讨论求得集合，结合，利用集合的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，所以或，
又由不等式，
当时，不等式解集为空集，不满足，不符合题意，舍去；
当时，解得，即，
此时不满足，不符合题意，舍去；
当时，解得，即，
要使得，则满足，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：A.
3．D
【分析】根据评分规则，结合众数、中位数的定义进行求解即可.
【详解】当时，由题意可知：，符合题意，此时众数为10或（此时），中位数为9.5，因此选项AB不正确，D正确；
当时，由题意可知：，舍去，因此选项C不正确，
故选：D
4．B
【分析】根据题意，分与讨论，结合双曲线的标准方程代入计算，即可判断.
【详解】将双曲线方程化为标准式可得，
当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，
且，
此时顶点坐标为，渐近线方程为，
焦距，离心率；
当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，
且，
此时顶点坐标为，渐近线方程为，
焦距，离心率；
综上可得，不因m的变化而变化的是渐近线方程.
故选：B
5．B
【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.
【详解】，
故，
则.
故选：B
6．B
【分析】画出图形根据球的半径和截面圆的半径即可求出，根据四棱锥的体积公式求出体积。
【详解】解：如图，连接，，，则平面α，
,
，
所以正四棱柱的底面边长为，高为，
所以棱锥的体积为。
故选：B
7．D
【分析】求得，令，求得在上单调递增，根据的大小不确定，可判定A、B不正确；由是锐角的两个内角，得到，可得判定C错误；再由，可判定D正确.
【详解】由函数，所以，
令，则当时，，
所以单调递增，可得，即，
所以在上单调递增；
因为的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，
所以与，与的大小关系也均不确定，
所以A、B不能判断．
因为是锐角的两个内角，所以，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，所以C错误；
因为是锐角的两个内角，所以，则，
因为在上单调递减，所以，
故，所以D正确.
故选：D.
8．C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
结论点睛：对数比大小常用结论.
9．BC
【分析】利用复数的运算法则计算即可.
【详解】设，则，
所以，解之得或，
则或.
故选：BC
10．AB
【分析】对A：令，结合函数是奇函数，即可求得结果；对B：令，结合函数是奇函数，即可判断；对C：根据B中所求，即可判断；对D：取满足题意的特殊函数，即可判断.
【详解】对A：对，令，可得，
又在R上是奇函数，故，解得，故A正确；
对B：对，令，可得，
又在R上是奇函数，故，即，
由A可知，，故，故B正确；
对C：因为，则即，
则，即，故C错误；
对D：由C可知，为周期为的奇函数，
不妨画出满足题意的一个的图象如下所示：
显然，故D错误.
故选：AB.
11．BCD
【分析】由两个数的差的绝对值小于等于两个数的绝对值之和结合已知可得A正确；举反例令，可判断BD错误；举反例令可得C错误（注意题目中让选错误的）.
【详解】对A：若恒成立，则，，故A正确；
对B、D：反例为，，故B、D错误；
对C：反例为，故C错误．
故选：BCD.
方法点睛：对于抽象数列题，可用排除法快速选择，较为简便快捷.
12．2
【分析】根据向量垂直的坐标计算，以及模长范围，即可求得.
【详解】因为，故，故，；
又，则，解得（舍）或.
故答案为.
13．
【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解.
【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，
则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，
共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况，
所以不同的涂色共有种.
故答案为.
14．2
【分析】由题意知，即求出，然后求出，进而求出的最大值，最后求出.
【详解】解：由可知，，
函数相邻最高点与最低点之间的直线距离为，即有，解得．
所以，．
对，，则在处取最大值，即有，
即，，．
故2
15．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理，可得
又由知，
即，得，得，
得，所以；
又因为，所以．
（2）由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故AP的最小值为．
16．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得方程有两个根，则问题转化为的图象与直线有两个交点，利用导数求出的单调性，即可得到的极值与函数图象，数形结合即可得解；
（2）由（1）可得，即可得到，结合及二次函数的性质即可证明.
【详解】（1）函数的定义域为，又，
函数有两个极值点相当于方程有两个根，
显然当时，
当时，
所以问题转化为的图象与直线有两个交点，
由，，得，
当或时，当时，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，且，作出的大致图像如图所示：
则由图可知，当时，图像与直线有两个交点，即有两个极值点，
所以实数的取值范围.
（2）因为，所以，
又由（1）知，，
所以函数在上单调递增，当时，
所以.
17．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得，由线面平行的性质得，根据三角形相似可得，即
（2）设AB的中点O，首先由已知得底面ABCD，在中过点M作交AB于点F，得底面ABCD，则为CM与底面ABCD所成角，在底面ABCD上过点O作于点G，则是二面角的平面角，根据条件求解即可
【详解】（1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM，
在与中，∵，∴，
由，得，又∵平面AMC，
而平面平面 ，平面PBD，
∴，
∴在中，，∴；
（2）设AB的中点O，在正中，，
而侧面底面，侧面底面，且平面，
∴底面ABCD，
在中过点M作交AB于点F，
∴底面ABCD，
∴为CM与底面ABCD所成角，
∴，设，
则，∴，，则在直角梯形ABCD中，，
而，则，
在底面ABCD上过点O作于点G，
则是二面角的平面角，易得，，
在梯形ABCD中，由，得，
在中，，∴．
18．(1)；
(2).
【详解】解：（1）因为直线l：恒过即为右焦点F
∴c1，又因为离心率为，所以
所以椭圆C的方程为
因为，
当，显然，
当时有，整理
（2）法一：设直线l的倾斜角为θ，M，N到右准线的距离分别为，．
因为，，
当或，显然，
当时有
，整理得
当时，
，整理得
两式相除，均有，即
当且仅当，时，即，根据
得，此时取得最小值
法二：联立有，
则有，
又，所以，
将带入有，令，
则有，
所以在是增函数，是减函数，则有，
所以，当时，取最小值
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题，得到，结合裂项法求和，即可求解；
（2）根据新定义得到，，构造有2个元素，由为整数，得到存在为“的优集”，设，，推得，，显然矛盾，即可得证.
【详解】（1）解：因为，，，则，
所以.
（2）证明：定义：对任意，规定，
对任意，，
由于，，，容易得，
所以，得结论：，，
构造有2个元素，由为整数，
当时，则满足M为“的优集”的定义，
当时，则，满足M为“的优集”的定义，
所以存在为“的优集”，
若M中的两个点，有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设，，
则取，则有，，显然矛盾，
所以M中的两个点每一个位置均不同，即，显然，
即“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是.
方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.