八年级上学期期中考试数学试题 (81)

这是一份八年级上学期期中考试数学试题 (81)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列式子是分式的是（ ）
A．x2yB．C．D．﹣5ab
3．计算2a2b÷ab的值为（ ）
A．2aB．aC．abD．2b
4．在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（ ）
A．1cmB．2cmC．5cmD．6cm
5．代数式有意义的条件是（ ）
A．x≠1B．x≥0C．x≥0 且 x≠1D．0≤x≤1
6．下列说法不正确的是（ ）
A．四边形的内角和为360°
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．等腰三角形是轴对称图形
D．三角形的一个外角一定大于任何一个内角
7．如图，已知BE＝CF，∠ACB＝∠FED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠B＝∠FB．AB＝DFC．AC＝DED．AB∥DF
8．估计÷+2×的运算结果应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
9．如图1，将边长为x的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣3x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝8，则AD＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
11．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程+＝﹣2的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．0D．1
12．关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确 （ ）
①当A+B的结果为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②若二次三项式B＝x2+ex+f能分解成（x﹣3）（x+5），则ef＝﹣30；
③当多项式A与B的乘积中不含x4项时，则e＝6；
④a﹣b+c＝﹣1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答．题．卡．中对应的横线上．
13．计算：+（π﹣3.14）0＝ ．
14．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 ．
15．已知，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E．若∠BAC＝50°，则∠DCO＝ °．
16．已知3m＝2，3n＝5，则32m+n的值是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值 ．
18．“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 万元．
三、解答题：（本大题6个小题，每小题8分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）x（x﹣2）+（2x+1）（x﹣3）；
（2）3×（﹣2）．
20．（8分）计算：
（1）（）3•（﹣）2；
（2）（﹣x）÷．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A的平分线交BC于点 D．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线，分别交AB、AC、AD于点 E、F、G，连接DE、DF；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AF＝DE．补全下列证明过程：
证明：∵EF垂直平分AD
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，AE＝①
∵AD平分∠BAC
∴②
在△AEG和△AFG中，
∴△AGE≌△AGF（ASA），
∴④
∴AF＝DE
22．（8分）如图，有一张图纸被破坏，上面两个标志点A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣2）清晰，而主要建筑标志点C（﹣1，0）被破损．
（1）请在图中标出C点的位置；
（2）连接AB、AC、BC，作△ABC关于y轴对称的图形△DEF；
（3）求△DEF的面积．
23．（8分）已知实数a，b，请利用数与代数相关知识解决下列问题：
（1）若a+b＝9，ab＝12，求（a﹣b）2的值；
（2）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值；
（3）若+b2+4＝﹣4b，求ab的值．
24．（8分）在全民健身运动中，跑步运动颇受市民青睐，甲、乙两跑步爱好者约定从A地沿相同路线跑步去距A地8千米的B地，已知甲跑步的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先跑步1千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲跑步的速度；
（2）若乙先跑步10分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲跑步的速度．
四、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
25．（10分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于点G．
（1）求证：△GEF为等腰三角形；
（2）求证：AF+BD＝AB．
26．（10分）一个四位自然数M，若各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数M为“倍三数”．
例如：M＝1843，∵8+4＝3×（1+3）∴1843是“倍三数”；
M＝6312，∵3+1≠3×（6+2）∴6312不是“倍三数”．
（1）判断2693和3261是否为“倍三数”？并说明理由．
（2）如果一个“倍三数”M的各数位上的数字之和为16，并且规定：将这个“倍三数”M的十位与百位交换得到M'，记；记M的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为Q（M）．若为正整数，求出所有符合条件的M的值．
27．（10分）如图，等边△ABC中，点D是AB延长线上一点，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF的中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F'，连接AF'，CF'，交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F'D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝28，S△BCD＝49，求整个运动过程中GF的最小值．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．下列式子是分式的是（ ）
A．x2yB．C．D．﹣5ab
【分析】根据分式的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、x2y是整式，不符合题意；
B、是整式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、﹣5ab是整式，不符合题意．
故选：C．
3．计算2a2b÷ab的值为（ ）
A．2aB．aC．abD．2b
【分析】原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2a2b÷（ab）＝2a．
故选：A．
4．在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（ ）
A．1cmB．2cmC．5cmD．6cm
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，结合选项解答即可．
【解答】解：设第三边长为acm，
由三角形的三边关系，得3﹣2＜a＜3+2，
即1＜a＜5，
只有2cm适合，
故选：B．
5．代数式有意义的条件是（ ）
A．x≠1B．x≥0C．x≥0 且 x≠1D．0≤x≤1
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣1≠0，
即x≥0且x≠1．
故选：C．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．四边形的内角和为360°
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．等腰三角形是轴对称图形
D．三角形的一个外角一定大于任何一个内角
【分析】由等腰三角形，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，多边形的内角和定理，即可判断．
【解答】解：A、四边形的内角和为360°，正确，故A不符合题意；
B、等边三角形是特殊的等腰三角形，正确，故B不符合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，正确，故C不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内的内角，故D符合题意．
故选：D．
7．如图，已知BE＝CF，∠ACB＝∠FED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠B＝∠FB．AB＝DFC．AC＝DED．AB∥DF
【分析】根据BE＝CF求出BC＝FE，根据平行线的性质求出∠B＝∠F，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝FE，
A．∠B＝∠F，BC＝FE，∠ACB＝∠FED，符合全等三角形的判定定理ASA，能证明△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
B．AB＝DF，BC＝FE，∠ACB＝∠FED，不符合全等三角形的判定定理，不能证明△ABC≌△DFE，故本选项符合题意；
C．BC＝FE，∠ACB＝∠FED，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能证明△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∠B＝∠F，BC＝FE，∠ACB＝∠FED，符合全等三角形的判定定理ASA，能证明△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．估计÷+2×的运算结果应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【分析】先对算式进行计算，再通过化简进行估算．
【解答】解：÷+2×
＝+2
＝3
＝，
且7＜8，
故选：C．
9．如图1，将边长为x的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣3x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝8，则AD＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．
【解答】解：过C点作CE⊥AD于E，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE，
∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，
∴AD＝4．
故选：C．
11．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程+＝﹣2的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．0D．1
【分析】解不等式组，根据关于x的不等式组有解，得出a＜3，解出分式方程的解y＝a+3，根据解为非负数，y≠2，列出不等式组，求公共的解，进而确定a的值，从而得出满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：，
解不等式②，得x≥2a+2，
∵关于x的不等式组有解，
∴2a+2＜8，
∴a＜3，
整理关于y的分式方程，
1﹣2y﹣（a﹣y）＝﹣2（y﹣2），
解得y＝a+3，
∵解为非负数，y≠2，
∴，
∴a≥﹣3且a≠﹣1，
∴a为﹣3或﹣2或0或1或2，
∴满足条件的整数a的值之和是﹣2，
故选：A．
12．关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确 （ ）
①当A+B的结果为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②若二次三项式B＝x2+ex+f能分解成（x﹣3）（x+5），则ef＝﹣30；
③当多项式A与B的乘积中不含x4项时，则e＝6；
④a﹣b+c＝﹣1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①计算A+B的值，再根据题意列方程求解；
②计算（x﹣3）（x+5）的值，根据题意列方程求e，f的值，再计算ef；
③先求AB的值，再根据题意列方程求解；
④先求A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，再列方程求解．
【解答】解：①A+B＝5x3﹣5x2+ex+（10+f），
∵e，f均为非零常数，
∴10+f＝0，
∴f＝﹣10，
故①正确；
②∵B＝x2+ex+f＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，
∴e＝2，f＝﹣15，
∴ef＝﹣30，
故②是正确的；
③∵AB＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f，
∵5e﹣6＝0，
∴e＝1.2，
故③是错误的；
④∵A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d
＝ax3+（b﹣3a）x2+（2a﹣2b+c）x+（a+b﹣c+d），
∴，
解得：，
∴a﹣b+c＝4，
故④是错误的；
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答．题．卡．中对应的横线上．
13．计算：+（π﹣3.14）0＝ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2+1
＝3．
故答案为：3．
14．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 8.23×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000823用科学记数法表示为8.23×10﹣7．
故答案为：8.23×10﹣7．
15．已知，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E．若∠BAC＝50°，则∠DCO＝ 40 °．
【分析】先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝＝65°，再由BD⊥AC于点D可得出∠ABD的度数，进而得出∠OBE的度数，由线段垂直平分线的性质可得出∠OBE＝∠OCE，据此可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝65°．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠OBE＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣40°＝25°．
∵AB＝AD，AB⊥BC，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∴∠OBE＝∠OCE＝25°，
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠OCD＝65°﹣25°＝40°．
故答案为：40．
16．已知3m＝2，3n＝5，则32m+n的值是 20 ．
【分析】首先根据3m＝2，求出32m的值是多少；然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出32m+n的值是多少即可．
【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴32m＝（3m）2＝22＝4，
∴32m+n＝32m•3n＝4×5＝20．
故答案为：20．
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值 ．
【分析】作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，易证∠BAD＝∠CAD，即可证明△AQG≌△AQF，可得AF＝AG，即可证明△AEF≌△AEG，可得EG＝EF，即可求得BE+EF＝BG，根据BG最短为BH即可解题．
【解答】解：作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△AQG和△AQF中，
，
∴△AQG≌△AQF（ASA），
∴AF＝AG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EG＝EF，
∴BE+EF＝BE+EG＝BG，
∵BG最短为BH，
∴BE+EF最短为BH，
∵AB＝，∠BAC＝30°，
∴BH＝AB＝，
故答案为 ．
18．“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 7.5 万元．
【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，由每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，可得2x＝y+z，所以2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x；由每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，可得每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），由每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，可得每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，由两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，可得总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，所以总销售额为：10xm+12xn＝600000①，5xm+8xn＝375000②，联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，进而可得结论．
【解答】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，
∴3x+y+z＝5x，
∴2x＝y+z，
∴2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，
设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为：10xm+12xn＝600000①，
∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），
∴5xm+8xn＝375000②，
联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，
∴“森林精灵”盲盒的总利润是（10x﹣5x）m＝75000＝7.5（万元），
故答案为：7.5．
三、解答题：（本大题6个小题，每小题8分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）x（x﹣2）+（2x+1）（x﹣3）；
（2）3×（﹣2）．
【分析】（1）用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可；
（2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2x+2x2﹣6x+x﹣3
＝3x2﹣7x﹣3；
（2）原式＝﹣（3×2）×
＝﹣6
＝﹣30．
20．（8分）计算：
（1）（）3•（﹣）2；
（2）（﹣x）÷．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）（）3•（﹣）2
＝•
＝；
（2）（﹣x）÷
＝•
＝•
＝•
＝x+1．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A的平分线交BC于点 D．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线，分别交AB、AC、AD于点 E、F、G，连接DE、DF；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AF＝DE．补全下列证明过程：
证明：∵EF垂直平分AD
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，AE＝① ED
∵AD平分∠BAC
∴② ∠EAG＝∠FAG
在△AEG和△AFG中，
∴△AGE≌△AGF（ASA），
∴④ AE＝AF
∴AF＝DE
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据ASA证明△AGE≌△AGF（ASA），推出AE＝AF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵EF垂直平分AD，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，AE＝ED①，
∵AD平分∠BAC，
∴∠GAE＝∠GADF②，
在△AEG和△AFG中，
，
∴△AGE≌△AGF（ASA），
∴AE＝AF④，
∴AF＝DE．
故答案为：ED，∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，AE＝AF．
22．（8分）如图，有一张图纸被破坏，上面两个标志点A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣2）清晰，而主要建筑标志点C（﹣1，0）被破损．
（1）请在图中标出C点的位置；
（2）连接AB、AC、BC，作△ABC关于y轴对称的图形△DEF；
（3）求△DEF的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的特征可得点C的位置；
（2）根据轴对称的性质即可画出图形；
（3）利用△DEF所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积，可得答案．
【解答】解：（1）如图，点C即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）△DEF的面积为3×4﹣＝5．
23．（8分）已知实数a，b，请利用数与代数相关知识解决下列问题：
（1）若a+b＝9，ab＝12，求（a﹣b）2的值；
（2）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值；
（3）若+b2+4＝﹣4b，求ab的值．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据等式的性质把原式化为a+＝3，再根据完全平方公式计算；
（3）根据非负数的性质分别求出a、b，根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝9，ab＝12，
∴（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝（a+b）2﹣4ab
＝92﹣4×12
＝81﹣48
＝33；
（2）∵a2﹣3a+1＝0，a≠0，
∴a﹣3+＝0，
∴a+＝3，
∴（a+）2＝9，
∴a2+2+＝9，
∴a2+＝7；
（3）∵+b2+4＝﹣4b，
∴+b2+4b+4＝0，
∴+（b+2）2＝0，
∴a＝，b＝﹣2，
则ab＝（）﹣2＝．
24．（8分）在全民健身运动中，跑步运动颇受市民青睐，甲、乙两跑步爱好者约定从A地沿相同路线跑步去距A地8千米的B地，已知甲跑步的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先跑步1千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲跑步的速度；
（2）若乙先跑步10分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲跑步的速度．
【分析】（1）设乙跑步的速度为x千米/时，则甲跑步的速度为1.2x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙跑步的速度，再将其代入1.2x中即可求出甲跑步的速度；
（2）设乙跑步的速度为y千米/时，则甲跑步的速度为1.2y千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用10分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙跑步的速度，再将其代入1.2y中即可求出甲跑步的速度．
【解答】解：（1）设乙跑步的速度为x千米/时，则甲跑步的速度为1.2x千米/时，
依题意得：×1.2x＝1+x，
解得：x＝10，
∴1.2x＝1.2×10＝12．
答：甲跑步的速度为12千米/时．
（2）设乙跑步的速度为y千米/时，则甲跑步的速度为1.2y千米/时，
依题意得：，
解得：y＝8，
经检验，y＝8是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×8＝9.6．
答：甲跑步的速度为9.6千米/时．
四、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
25．（10分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于点G．
（1）求证：△GEF为等腰三角形；
（2）求证：AF+BD＝AB．
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质可得∠AEG＝∠BAD，可得∠AEG＝∠CAD，根据等角的余角相等可得∠AFE＝∠GEF，即可得出答案；
（2）在AB上取BM＝BD，连接EM，首先利用SAS证明△MBE≌△DBE，得∠BME＝∠BDE，再说明∠AFE＝∠AME，利用AAS证明△AFE≌△AME，得AF＝AM，进而证明结论．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG∥AB，
∴∠AEG＝∠BAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AEG+∠GEF＝∠CAD+∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠GEF，
∴GF＝GE，
∴△GEF为等腰三角形；
（2）在AB上取BM＝BD，连接EM，
∵BE平分∠ABD，
∴∠MBE＝∠DBE，
在△MBE和△DBE中，
，
∴△MBE≌△DBE（SAS），
∴∠BME＝∠BDE，
∵∠FED＝∠ACB＝90°，
∴∠EFC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EFC＝∠BDE，
∴∠EFC＝∠BME，
∴∠AFE＝∠AME，
在△AFE和△AME中，
，
∴△AFE≌△AME（AAS），
∴AF＝AM，
∴AF+BD＝AM+BM＝AB．
26．（10分）一个四位自然数M，若各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数M为“倍三数”．
例如：M＝1843，∵8+4＝3×（1+3）∴1843是“倍三数”；
M＝6312，∵3+1≠3×（6+2）∴6312不是“倍三数”．
（1）判断2693和3261是否为“倍三数”？并说明理由．
（2）如果一个“倍三数”M的各数位上的数字之和为16，并且规定：将这个“倍三数”M的十位与百位交换得到M'，记；记M的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为Q（M）．若为正整数，求出所有符合条件的M的值．
【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）设M＝，则M′＝，根据“三三数”M的各数位上的数字之和为16，得a+d＝4，b+c＝12，再根据1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，得a＝1，d＝3或a＝2，d＝2或a＝3，d＝1，b＝3，c＝9或b＝4，c＝8或b＝5，c＝7或b＝6，c＝6或b＝7．c＝5或b＝8，c＝4或b＝9，c＝3，再根据将这个“三三数”M的十位与百位交换得到M'，记，记M的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为Q（M），得为正整数，进而得a＝1，b＝3，c＝9，d＝3或a＝1，b＝9，c＝3，d＝3或a＝3，b＝3，c＝9，d＝1或a＝3，b＝9，c＝3，d＝1．便可求得M的所有值．
【解答】解：（1）2693是“三三数”，3261不是“三三数”．理由如下：
∵6+9＝3×（2+3），
∴2693是“三三数”；
∵2+6≠3×（3+1），
∴3261不是“三三数”；
（2）设M＝，则M′＝，
∵“三三数”M的各数位上的数字之和为16，
∴a+b+c+d＝16且b+c＝3（a+d），
∴a+d＝4，b+c＝12，
∵1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，
∴a＝1，d＝3或a＝2，d＝2或a＝3，d＝1，b＝3，c＝9或b＝4，c＝8或b＝5，c＝7或b＝6，c＝6或b＝7．c＝5或b＝8，c＝4或b＝9，c＝3，
∵将这个“三三数”M的十位与百位交换得到M'，记，
∴G（M）＝，
∵记M的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为Q（M），
∴Q（M）＝|a﹣d|，
∵为正整数，
∴为正整数，
∴a＝1，b＝3，c＝9，d＝3或a＝1，b＝9，c＝3，d＝3或a＝3，b＝3，c＝9，d＝1或a＝3，b＝9，c＝3，d＝1．
∴M＝1393或1933或3391或3931．
27．（10分）如图，等边△ABC中，点D是AB延长线上一点，点E在CD上，连接AE，∠AEC＝60°．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AED；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G，若点G为BF的中点，求证：AF＝BD；
（3）如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F'，连接AF'，CF'，交AD于点K，点D在AB的延长线上运动，始终满足AF＝BD，连接F'D，BF交AE于点G，当F'D取得最大值时，此时AD＝28，S△BCD＝49，求整个运动过程中GF的最小值．
【分析】（1）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，证明△ABE≌△CBP（ASA），则BE＝BP，可得△BEP是等边三角形，求出∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝∠AEB＝60°，即可得BE平分∠AED；
（2）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FQ∥BE交AE于Q，证明△GFQ≌△GBE（ASA），可得FQ＝BE，由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，可得FQ＝BP，根据线段的和差以及三角形外交的性质得∠D＝∠CBE＝∠CAE，再证△AFQ≌△DBP（AAS），即可得出结论；
（3）在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，证明△AFN≌△DBP（AAS），则FG＝BG，当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，CH＝AH＝AB，根据S△BCD＝BD•CH＝（AD﹣AB）×AB＝48，可得AB＝8，即可得出整个运动过程中GF的最小值为6．
【解答】（1）证明：在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠EBP＝∠AEC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBP，∠BCP＝∠BAE，
∴△ABE≌△CBP（ASA），
∴BE＝BP，
∴△BEP是等边三角形，
∴∠AEB＝∠CPB＝∠BEP＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∴BE平分∠AED；
（2）证明：过点F作FQ∥BE交AE于Q，
∵FQ∥BE，
∴∠GFQ＝∠GBE，∠FQG＝∠BEG，
∵点G为BF中点，
∴GF＝GB，
∴△GFQ≌△GBE（ASA），
∴FQ＝BE，
由（1）知，BE＝BP，∠BEG＝60°，
∴∠FQG＝∠BEG＝60°，FQ＝BP，
∴∠AQF＝∠DPB＝120°，
∵∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠CAE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠D+∠BED＝∠ABC＝∠CBE，∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CBE＝∠CAE，
∴△AFQ≌△DBP（AAS），
∴AF＝BD；
（3）解：如图3，∵点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F′，AF＝BD，
∴当AF＝AC最大时，DF'有最大值，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，
∴BC＝AB＝BD，
∴∠ACD＝90°时，DF'有最大值，
在CD上取一点P，使∠EBP＝60°，过点F作FN∥BE交AE于N，
∴∠FNG＝∠GEB＝60°，
∴∠ANF＝∠DPB＝120°，
由（2）知，∠FAN＝∠BDP，
∵AF＝BD，
∴△AFN≌△DBP（AAS），
∴FN＝BP＝BE，
∵FN∥BE，
∴∠FNG＝∠BEG，∠NFG＝∠EBG，
∴△FGN≌△BGE（ASA），
∴FG＝BG，
当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小，
过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AH＝AB，∠ACH＝30°，
在Rt△ACH中，CH＝AH＝AB，
∴S△BCD＝BD•CH＝（AD﹣AB）×AB＝（28﹣AB）•AB＝49，
∴AB＝14，
∵S△ABC＝AB•CH＝AC•BF，AB＝AC，
∴BF＝CH＝AB＝×14＝7，
∴GF＝BF＝，即整个运动过程中GF的最小值为．