2023-2024学年河北省张家口市高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市高一上学期期中考试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则∁U(A∪B)=
A. {3}B. {4}C. {3,4}D. {1,3,4}
2.已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|x<1}，则下图中阴影部分所表示的集合为
A. {1}B. {2}C. {-1,0}D. {1,2}
3.若实数α，β满足-13<α<β<-12，则α-β的取值范围是
A. -13<α-β<-12B. -25<α-β<0
C. -1<α-β<0D. -1<α-β<1
4.在R上定义运算“⊙”：a⊙b=ab+b，则满足x⊙(x-1)<0的x的取值范围为
A. (0,1)B. (-1,1)
C. (-∞,-1)∪(1,+∞)D. (-1,0)
5.设x∈R，则“x2>x”是“|x|>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x，则当x>0时，函数f(x)的解析式是
A. f(x)=-x2+2xB. f(x)=-x2-2xC. f(x)=x2+2xD. f(x)=x2-2x
7.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则不等式f(2x-1)A. (-∞,1)B. (-1,1)
C. (0,1)D. (-∞,0)∪(1,+∞)
8.已知函数f(x)=(a-2)x+52,x≤2,ax,x>2是R上的减函数，则实数a的取值范围是
A. (0,2)B. (0,1]C. (1,2)D. [1,2)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列集合中，可以表示为{2,3}的是
( )
A. {x∈Z|2≤x≤3}B. {x|x2-5x+6=0}
C. (x,y)x+y=5x-y=-1D. 不等式组x>22x-6<0的解集
10.下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是
A. y=|x|B. y=2xC. y=x2+1D. y=1x-x
11.下列结论正确的是
( )
A. “x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件
B. “∃x∈R，使得x2-3x+40≤0”是假命题
C. 命题“∀x>0，x2-3>0”的否定是“∃x>0，x2-3≤0”
D. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“a2+b2=c2”是“△ABC是直角三角形”的充要条件
12.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若a>b>0，则baC. 若a>1，则a2-4a+7a-1的最小值是2
D. 若a>0，b>0，3a+1b=1，则3a+b的最小值是16
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数f(x)= x+2+|x+1|x的定义域为_________．
14.若不等式x2+mx+2>0对于x∈R都成立，则实数m的取值范围为_________．
15.知a>0，b>0，且满足ab=a+b+3，则a+b的最小值是[空1]x．
16.若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有fx1-fx2x1-x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数：①f(x)=1x；②f(x)=-x|x|；③f(x)=-x2+2x,x≤0,x2+2x,x>0;④f(x)=-x2.其中能被称为“理想函数”的是[空1]x.(填函数相应的序号)
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|x2-4x-5≥0，集合B=x|2a≤x≤a+2．
(1)若a=-1，求A∩B和A∪B；
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+m1+nx2是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(2)=25．
(1)求实数m，n的值；
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
19.(本小题12分)
已知一次函数f(x)是R上的增函数，且f(f(x))=9x+4，g(x)=f(x)(x+m)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)在(2,+∞)上单调递增，解答以下两个问题：
①求实数m的取值范围；
②当x∈[-1,5]时，g(x)有最大值16，求实数m的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2a．
(1)若a=1，求f(x)在区间[-2,2]上的值域；
(2)解关于x的不等式f(x)>0．
21.(本小题12分)
2023年杭州亚运会已经圆满结束．杭州凭借其先进的体育基础设施和丰富的办赛经验，成为举办体育赛事的理想城市．为了助力杭州的绿色发展，进一步做好垃圾分类处理，当地某企业引进一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目．已知该企业日加工处理厨余垃圾量x(单位：吨)最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y(单位：元)与日加工处理厨余垃圾量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．
(1)该企业日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理厨余垃圾处于亏损状态还是盈利状态？
(2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，要求企业从以下两种方案中选择其中的一种．
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
方案二：根据日加工处理厨余垃圾量x进行财政补贴，金额为30x元．
如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选择哪种补贴方案？为什么？
22.(本小题12分)
若二次函数f(x)满足f(0)=3，f(4+x)=f(-x)，且f(2)=-1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数y=|f(x)|在区间[1,t]上的最大值φ(t)；
(3)当-4≤x≤4时，f(x)≥2mx-6恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，先得出A∪B，再取补集即可．
【解答】解：A∪B={1,2,3}，
因为U={1,2,3,4}，
所以∁U(A∪B)={4}．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键，是基础题．
由Venn图得阴影部分表示为集合A∩(∁RB)，根据集合运算关系进行计算即可．
【解答】
解：阴影部分表示为集合A∩(∁RB)，
因为∁RB={x|x⩾1}，
所以A∩(∁RB)={1,2}，
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
利用不等式的基本性质和已知可同时得到-13<α<-12，12<-β<13，α-β<0，从而得到答案．
【解答】解：∵-13<α<β<-12，
∴-13<α<-12，12<-β<13，α-β<0，
∴-1<α-β<0
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．
按照新定义的运算规则列出一元二次不等式解出即可．
【解答】
解：由题意得x⊙(x-1)=x(x-1)+x-1<0，解得-1故实数x的取值范围为(-1,1)．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。
由x2>x及|x|>1可得出x的取值范围，根据充分必要条件的关系即可得出结果．
【解答】
解：由x2>x得x>1或x<0，
由|x|>1得x>1或x<-1，
因为{x|x<-1或x>1}⫋{x|x<0或x>1}，
故“x2>x”是“|x|>1”的必要不充分条件；
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式．
由x>0时，-x<0，得出f-x=-x2+2-x=x2-2x，
再利用奇函数的性质fx=-f-x，即可求出结果．
【解答】解：当x>0时，-x<0，
∵当x⩽0时，f(x)=x2+2x，
∴f-x=-x2+2-x=x2-2x，
∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴fx=-f-x=-x2+2x，
∴当x>0时，fx=-x2+2x．
故选A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，属于基础题．
利用f(x)是偶函数将不等式转化为f(|2x-1|)【解答】
解：∵f(x)是偶函数有f(|x|)=f(x)，
∴不等式f(2x-1)又当x∈[0,+∞)时，f(x)是增函数，
∴|2x-1|<1，解得0则解集为(0,1)．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于基础题．
每一段上都要是减函数，同时(a-2)×2+52⩾a2，即可得解．
【解答】解：∵f(x)为R上的减函数，
∴x⩽2时，f(x)递减，即a-2<0，①
x>2时，f(x)递减，即a>0，②，
且(a-2)×2+52⩾a2，③
联立①②③解得，1⩽a<2，
故选D．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查集合的表示方法，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、{x∈Z|2≤x≤3}={2，3}，故A正确；
对于B、{x|x2-5x+6=0}={2,3}，故B正确；
对于C、(x,y)x+y=5x-y=-1 ={(2,3)}，故C错误；
对于D、不等式组x>22x-6<0的解集为(2,3)，故D错误．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系．
【解答】
解：A：y=|x|是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，符合题意；
B：y=2x是奇函数，故不符合题意；
C：y=x2+1是偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；
D：y=1x-x是偶函数，x>0时，y=1x-x在区间(0,+∞)上单调递减，不合题意．
故选AC．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判定，考查充分条件和必要条件，考查含量词命题的否定，属于基础题．
根据充分条件和必要条件可判断AD；根据二次函数性质结合一元二次方程判断B，根据全称量词命题的否定判断C．
【解答】
解：对于A，显然自然数为有理数的真子集，
故“ x∈N”是“ x∈Q”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，方程x2-3x+40=0，Δ=9-160<0，所以∀x∈R，使得x2-3x+40>0，
所以“∃x∈R，使得x2-3x+40≤0”是假命题，故B正确；
对于C，命题“ ∀x>0， x2-3>0”的否定是“ ∃x>0， x2-3≤0”，故C正确．
对于D，由勾股定理 a2+b2=c2，得 △ABC是直角三角形，且∠C=90°，
当 ▵ABC是直角三角形，但∠C≠90°时，不满足 a2+b2=c2，故D错误；
故选ABC．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质和基本不等式求最值．
取特殊值判断A，利用作差法比较大小判断B，利用基本不等式求最值判断CD．
【解答】
解：对于A、当c=0时，显然错误；
对于B、若a>b>0，则b+2a+2-ba=ab+2-ba+2aa+2=2a-baa+2>0，故ba对于C、若a>1，则a2-4a+7a-1=a-12-2a-1+4a-1=a-1+4a-1-2⩾2 a-1·4a-1-2=2，
当且仅当a=3时，取等号，故C正确；
对于D、若a>0，b>0，3a+1b=1，则3a+b=(3a+b)(3a+1b)=10+3ba+3ab⩾10+2 3ba·3ab=16，
当且仅当a=b=4时，取等号，故D正确．
13.【答案】[-2,0)∪(0,+∞)
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域，属于基础题。
可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足x+2⩾0x≠0，解出x的范围即可．
【解答】解：∵f(x)= x+2+|x+1|x，
∴x+2⩾0x≠0⇒x⩾-2且x≠0;
∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,+∞)．
故答案为：[-2,0)∪(0,+∞)．
14.【答案】(-2 2,2 2)
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的性质，是基础题，。
由不等式x2+mx+2>0对一切实数x恒成立，得到Δ=(-m)2-4×2×1<0，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】
解：∵不等式x2-mx+2>0对一切实数x恒成立，
∴Δ=(-m)2-4×2×1<0，解得-2 2∴实数m的取值范围是(-2 2,2 2).
故答案为：(-2 2,2 2).
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
运用基本不等式，结合不等式的解法，可得所求最小值．
【解答】解：∵a>0，b>0，ab=a+b+3，
∴a+b+3⩽(a+b)24⇒(a+b+2)(a+b-6)⩾0⇒a+b⩾6，
当且仅当a=b=3时，取得等号，
∴a+b的最小值为6．
故答案为：6．
16.【答案】②
【解析】【分析】
本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义属于中档题。
先理解已知两条性质反映的函数性质， ①f(x)为奇函数， ②f(x)为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可。
【解答】解：由题知，“理想函数”应是奇函数，且在定义域上为减函数．
对于①，函数f(x)=1x为奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确;
对于②，函数f(x)=-x|x|=-x2,x⩾0x2,x<0的大致图象如图所示，

显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”．
对于③，f(x)=-x2+2x,x⩽0x2+2x,x>0的大致图象如图所示，

显然此函数为奇函数，且在定义域上为增函数，所以不正确;
对于④，函数f(x)=-x2为偶函数，所以不正确。
故答案为：②．
17.【答案】解：(1)当a=-1时，集合A={x|x2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，
集合B={x|2a≤x≤a+2}={x|-2≤x≤1}，
∴A∩B={x|-2≤x≤-1}，
A∪B={x|x≤1或x≥5}，
(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，
当B=⌀时，则2a>a+2，解得a>2；
当B≠⌀时，则a≤2a+2≤-1或a≤22a≥5，解得a≤-3，
综上所述，a>2或a≤-3．
即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪(2，+∞)．

【解析】本题主要考查了交集、并集的运算，考查了集合间的包含关系等，属于中档题．
(1)求出集合A={x|x≤-1或x≥5}，B={x|-2≤x≤1}，从而能求出A∩B和A∪B；
(2)由A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=x+m1+nx2是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(2)=25，
∴f(0)=0,f(2)=25⇒m=0,n=1.
∴f(x)=x1+x2，
∴f(-x)= -x1+(-x)2=-x1+x2=-f(x)，
∴函数f(x)=x1+x2是奇函数，故实数m的值为0，n的值为1．
(2)f(x)在(-1,1)上单调递增．
证明如下：由(1)知f(x)=x1+x2，
任取-10，
则f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12= (x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)．
∵x2-x1>0，1+x12>0，1+x22>0，1-x1x2>0，
∴f(x2)-f(x1)>0，则f(x1) ∴f(x)在(-1,1)上单调递增．

【解析】本题考查利用定义判断函数的单调性，以及利用奇偶性求参数，属中档题．
(1)根据定义在(-1,1)上的奇函数可得f(0)=0，再结合已知可列关于m、n的方程组，求解即可；
(2)根据定义判断单调性即可．
19.【答案】解：(1)∵一次函数f(x)是R上的增函数，
∴设f(x)=ax+b(a>0)．
则f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+4，
∴a2=9ab+b=4
解得a=3b=1或a=-3b=-2(不合题意，舍去)．
∴f(x)=3x+1．
(2)g(x)=f(x)(x+m)=(3x+1)(x+m)=3x2+(3m+1)x+m，
①根据题意，可得对称轴x=-3m+16≤2，解得m≥-133，
∴实数m的取值范围为[-133,+∞).
②根据题意，可得g(x)max=g(5)=80+16m=16，解得m=-4，
∴实数m的值为-4．
【解析】本题考查函数的解析式的求法，考查二次函数的单调性和最值的求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查运算求解能力．
(1)设f(x)=ax+b，a>0，代入f(f(x))=9x+4求出a，b，可得f(x)的解析式；
(2)①求得g(x)的解析式和对称轴，再由题意可得-3m+16≤2，解不等式即可得到所求范围；
②根据题意，可得g(x)max=g(5)=80+16m=16，即可得到m的值．
20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2-3x+2，函数f(x)图象的对称轴x=32，
当x=32时，f(x)取最小值f(32)=-14，
因为f(-2)=12，f(2)=0，则当x=-2时，f(x)取最大值f(-2)=12，
所以f(x)在区间[-2,2]上的值域为[-14,12]；
(2)由f(x)>0，得x2-(a+2)x+2a>0，即(x-2)(x-a)>0，
当a>2时，x<2或x>a；
当a<2时，x2；
当a=2时，x≠2，
所以当a>2时，f(x)>0的解集为{x|x<2或x>a}；
当a<2时，f(x)>0的解集为{x|x2}；
当a=2时，f(x)>0的解集为{x|x≠2}．
【解析】本题考查了二次函数的图象性质，涉及到分类讨论思想的应用，属于中档题．(1)把a=1代入，利用二次函数的性质求出f(x)在[-2,2]上的最值即可；
(2)分类讨论解含参数的一元二次不等式即可得解．
21.【答案】解：(1)由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为yx=x2+3200x+40，x∈[70,100]．
又x2+3200x+40≥2 x2⋅3200x+40=120，当且仅当x2=3200x，即x=80时等号成立，
所以该企业日加工处理厨余垃圾量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低．
因为110<120，所以此时该企业日加工处理厨余垃圾处于亏损状态．
(2)若该企业采用方案一，设该企业每日获利为y1元，
由题可得y1=110x+2300-(12x2+40x+3200)=-12(x-70)2+1550，
因为x∈[70,100]，所以当x=70时，企业获利最大，最大利润为1550元，
若该企业采用方案二，设该企业每日获利为y2元，
由题可得y2=110x+30x-(12x2+40x+3200)=-12(x-100)2+1800，
因为x∈[70,100]，所以当x=100时，企业获利最大，最大利润为1800元．
因为1800>1550，所以应选择方案二．
【解析】本题考查函数模型应用及基本不等式的应用，属于中档题．
(1)由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为yx=x2+3200x+40，x∈[70,100]，结合基本不等式即可求得；
(2)根据条件可得两种方案的解析式，由二次函数的性质可求得最值，从而得解．
22.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
因为f(0)=3，所以c=3．
因为f(2) =-1，所以4a+2b+3=-1，即2a+b=-2．
因为f(4+x)=f(-x)，所以a(4+x)2+b(4+x)+3=ax2-bx+3，
得(4a+b) (x+ 2) = 0对任意x∈R恒成立，所以4a+b=0．
由2a+b=-2,4a+b=0,得a=1,b=-4,
所以f(x)=x2-4x+3．
(2)由题知|f(x)|=x2-4x+3,x<1或x>3,-x2+4x-3,1≤x≤3,
由|f(x)|的图象可知，当x>3时，由x2-4x+3=1可解得x=2+ 2．
①当1 ②当2 ③当t>2+ 2时，φ(t)=|f(x)|max=|f(t)|=t2-4t+3．
综上，φ(t)=-t2+4t-3,12+ 2；
(3)由题意得x2- 4x+9≥2mx对任意x∈[-4,4]恒成立，
①当x=0时，9≥0成立，此时m∈R;
②当0∵x+9x-4≥2 x⋅9x-4=2，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，
∴2m≤2，即m≤1;
③当-4≤x<0时，2m≥9x+x-4恒成立，
∴2m≥(9x+x-4)max
又9x+x-4=-[9-x+(-x)]-4≤-6-4=-10，当且仅当9-x=-x，即x=-3时等号成立，
∴2m≥-10，即m≥-5．
综上，实数m的取值范围为-5≤m≤1.
【解析】本题考查函数的解析式，函数的最值，函数的恒成立问题，属于较难题．
(1)设出函数解析式，根据f(0)=3，f(2) =-1，得到c=3，2a+b=-2，再结合f(4+x)=f(-x)，即可得解；
(2)由题得到|f(x)|=x2-4x+3,x<1或x>3,-x2+4x-3,1≤x≤3,，再分当12+ 2时三种情况讨论；
(3)问题转化为x2- 4x+9≥2mx对任意x∈[-4,4]恒成立，再对x分类讨论即可．