2024-2025学年江苏省无锡市新吴区新城集团校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市新吴区新城集团校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列几何图形不一定是轴对称图形的是
A．正方形B．角C．圆D．直角三角形
2．（3分）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是
A．19B．23C．19或23D．14
4．（3分）如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分的依据是
A．B．C．D．
5．（3分）有三位同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
6．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为2、6、3，则正方形的面积为
A．6B．8C．11D．12
7．（3分）如图，若△的三条角平分线，，交于点，则与互余的角是
A．B．C．D．
8．（3分）如图，与中，，，，交于． 给出下列结论：①；②；③；④． 其中正确的结论个数有
A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ． 1 个
9．（3分）如图，中，，，是边上的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为
A．B．10C．12D．13
10．（3分）如图，在和中，，，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是
A．①②④B．①②③C．①②③④D．②③④
二.填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 ．
12．（3分）16的平方根是 ．
13．（3分）已知△△，，，则的度数为 ．
14．（3分）已知直角三角形两直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为 ．
15．（3分）如图，是△的角平分线，于点，△的面积，，则的长是 ．
16．（3分）如图所示，在的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点、，在方格中任意找一点（必须是格点），使成为等腰三角形．这样的格点有 个．
17．（3分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺．
18．（3分）如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠．当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为 ．
三.解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：
（1）．
（2）．
20．（8分）（1）如图①，，是两个以直线为对称轴的三角形的两边，试画出完整的和△（保留作图痕迹）．
（2）如图②，已知，点是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形底边，点在内部，且点到角的两边距离相等．（尺规作图）
21．（6分）如图，点是上一点，交于点，为中点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（8分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点，点为的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
23．（8分）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长为，，求长．
24．（10分）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米．
（2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
（3）当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽．
25．（10分）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．
（1）请利用图①完成勾股定理的证明．
（2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式．
（3）已知，，利用上面的等式求．
26．（10分）等边△的两边、所在直线上分别有两点、，为△外一点，且，，．当点、分别在直线、上移动时，探究、、之间的数量关系以及△的周长与等边△的周长的关系．
（1）如图①，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系式为 ；此时的值是 ；
（2）如图②，当点、在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点、分别在边、的延长线上时，若，试用含、的代数式表示．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列几何图形不一定是轴对称图形的是
A．正方形B．角C．圆D．直角三角形
解：正方形、角、圆都找到这样的一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
直角三角形不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形；
故选：．
2．（3分）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
3．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是
A．19B．23C．19或23D．14
解：当5为底时，其它两边都为9，5、9、9可以构成三角形，周长为23；
当5为腰时，其它两边为5和9，5、5、9可以构成三角形，周长为19，
所以答案19或23．
故选：．
4．（3分）如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分的依据是
A．B．C．D．
解：在和中，
，
，
，
是的平分线．
故选：．
5．（3分）有三位同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：．
6．（3分）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为2、6、3，则正方形的面积为
A．6B．8C．11D．12
解：如图，
解：设正方形、、、的边长分别为、、、，中间阴影正方形的边长为，
由图形知：两个白色的三角形的为直角三角形，
，，
，
、、三个正方形的边长分别为3、4、5，
，
正方形的面积为11．
故选：．
7．（3分）如图，若△的三条角平分线，，交于点，则与互余的角是
A．B．C．D．
解：△的三条角平分线、、交于点，
，
，
，
三角形内角和是，
，
、，不一定互余，故选项错误；
、，不一定互余，故选项错误；
、，故选项正确；
、与不一定互余，故选项错误．
故选：．
8．（3分）如图，与中，，，，交于． 给出下列结论：①；②；③；④． 其中正确的结论个数有
A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ． 1 个
解： 在与中，
，
，
，
；
由，，
可知：；
，
，
由△，可得，
．
综上可知：①③④正确 ．
故选：．
9．（3分）如图，中，，，是边上的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为
A．B．10C．12D．13
解：，是边的中线，
垂直平分，
点与点关于对称，
连接于，交于．则此时，的值最小，且等于的长，
为的中点，，
，
，
，
，
．
的最小值为，
故选：．
10．（3分）如图，在和中，，，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是
A．①②④B．①②③C．①②③④D．②③④
解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，，故②正确；
由三角形的外角性质得：，
，故①正确；
如图，过点作于点，于点，
则，
在和中，
，
，
，
平分，故④正确；
，
当时，才平分，
假设，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
与矛盾，故③不正确；
综上所述，正确的是①②④，
故选：．
二.填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 ．
解：根据镜面对称的性质，因此的真实图象应该是．
故答案为：．
12．（3分）16的平方根是 ．
解：，，
的平方根为，
故答案为：．
13．（3分）已知△△，，，则的度数为 ．
解：△△，，
，
，
．
故答案为：．
14．（3分）已知直角三角形两直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为 5 ．
解：在中，
，，
是边上的中线
．
15．（3分）如图，是△的角平分线，于点，△的面积，，则的长是 9 ．
解：过点作，交于点，如图：
，，是△的角平分线，，
，
△的面积，
，
故答案为：9．
16．（3分）如图所示，在的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点、，在方格中任意找一点（必须是格点），使成为等腰三角形．这样的格点有 8 个．
解：
如图，分别以、为圆心，长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
17．（3分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 24 尺．
解：如图，设水深是尺，
由题意可知，尺，尺，
在△中，由勾股定理得：，
解得：，
即水深度是24尺，
故答案为：24．
18．（3分）如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠．当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为 或10 ．
解：分两种情况：
①如图1，当点在矩形内部时，
点在的垂直平分线上，
；
，
由勾股定理得，
，
设为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
②如图2，当点在矩形外部时，
同①的方法可得，
，
设为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为10．
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10，
故答案为：或10．
三.解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：
（1）．
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（8分）（1）如图①，，是两个以直线为对称轴的三角形的两边，试画出完整的和△（保留作图痕迹）．
（2）如图②，已知，点是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形底边，点在内部，且点到角的两边距离相等．（尺规作图）
解：（1）如图所示，和△即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
21．（6分）如图，点是上一点，交于点，为中点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
为的中点，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：，，
，
△△，
，
即的长为5．
22．（8分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点，点为的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【解答】（1）证明：连接，
是边上的高线，
，
是边上的中线，
，
，
，
点为的中点，
．
（2）解：连接，
则，
点为的中点，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（8分）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长为，，求长．
解：（1）垂直平分，垂直平分，
，
，
，
，
；
（2）周长，，
，
即，
．
24．（10分）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 3.2 米．
（2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
（3）当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽．
解：（1）在△中，，米，米，
，
，
甲房间的宽度米，
故答案为：3.2；
（2），
，
，
．
在△与△中，
，
△△，
米，
（米，
（米；
（3）过点作垂线，垂足点，连接．
设，且．
梯子的倾斜角为，
△为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），．
，
．
，
△为等边三角形，
．
△△，
，
米，
即丙房间的宽是1.6米．
25．（10分）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．
（1）请利用图①完成勾股定理的证明．
（2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式．
（3）已知，，利用上面的等式求．
【解答】（1）证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为，
图中大正方形的面积为或，
，
即；
（2）解：图形的体积为：或，
，
；
（3）解：，，
，
，
解得：．
26．（10分）等边△的两边、所在直线上分别有两点、，为△外一点，且，，．当点、分别在直线、上移动时，探究、、之间的数量关系以及△的周长与等边△的周长的关系．
（1）如图①，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系式为 ；此时的值是 ；
（2）如图②，当点、在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点、分别在边、的延长线上时，若，试用含、的代数式表示．
解：（1），，
△是等边三角形，
△是等边三角形，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，，
，△是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）（1）问的两个结论还成立；
证明：如图②，在的延长线上截取，连接，
，，，
△△，
，，，
，，
，
△△，
，
△的周长为：，
；
（3）；理由如下：
如图③，在上截取，连接，
同（2）可证△△，
，
，，
，
，
又，，
△△，
，
，
．
等边△的周长为，
，
△的周长
．