2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2+2x−3=0}，B={−1,0,1,3}，则A∩B=( )
A. {−1,3}B. {0,1}C. {1}D. {−1,0,3}
2.复数z=1+3i2+i的实部和虚部分别是( )
A. 1，1B. 1，iC. −13,53D. −13,53i
3.下列结论正确的是( )
A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
4.在△ABC中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.一艘轮船从A地出发，先沿东北方向航行15海里后到达B地，然后从B地出发，沿北偏西75°方向航行10海里后到达C地，则A地与C地之间的距离是( )
A. 5 7海里B. 10 3海里C. 15 2海里D. 15海里
6.已知向量a=(1,m)，b=(2,−1)，若向量a，b的夹角θ∈(π4,π2)，则m的取值范围是( )
A. (−∞,−3)∪(13,1)B. (−∞,−3)∪(13,2)
C. (−∞,−13)∪(2,+∞)D. (−∞,−13)∪(13,2)
7.已知函数f(x)=12x2−x+5在[m,n]上的值域为[4m,4n]，则m+n=( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
8.已知φ为第一象限角，若函数f(x)=cs(x+φ)+2sinx的最大值是2，则f(2π3)=( )
A. 7 3− 158B. 9 3− 158C. 7−3 58D. 9−3 58
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=(1+2i)i5，则( )
A. z−=2−iB. |z|= 5C. z+z−=4D. z−z−=2i
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+1)=f(3−x)，当0≤x≤2时，f(x)=2x+x−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=−2对称
B. f(x)=f(x+4)
C. 当x∈[−2,0]时，f(x)的值域是[−5,0]
D. 当x∈[10,12]时，f(x)=212−x−x+11
11.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2；a⊙b=a⋅b|b|2.若平面向量a,b满足|a|>|b|>0，且a⊕b和a⊙b都在集合{n4|n∈Z,0A. 1B. 32C. 54D. 74
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个棱台至少有______个面．
13.已知x>0，y>0，且x+2y−z=0，则z2xy的最小值是______；当z2xy取得最小值时，1z2−2x−1y的最小值是______．
14.如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a2−2a−3+(a−3)i，a∈R．
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z+i在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2|b|=4．
(1)求向量a在向量b上的投影向量；
(2)若|a+tb|=2 7，求t的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B≠π2，sin2A−sin2B=sin2C(csB−1)．
(1)求ca的值；
(2)若a=3，csC= 53，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且EC=2AE，BC=2BD，F是AD，BE的交点.设AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示AD，BE；
(2)求|BF||EF|的值．
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，AD=4．
(1)若A为锐角，且sinA= 158，求△BCD的面积；
(2)求四边形ABCD面积的最大值；
(3)当A=60°时，P在四边形ABCD所在平面内，求PA+PB+PD的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|x2+2x−3=0}={−3,1}，
则A∩B={1}．
故选：C．
解出一元二次方程，再利用交集含义即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=1+i，则实部和虚部分别是1，1．
故选：A．
化简复数z，可得z的实部和虚部．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，各侧面都是全等的等腰三角形，且底面为正多边形的棱锥是正棱锥，A错误；
对于B，绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，B错误；
对于C，若几何体中，有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形，不能保证侧棱的延长线交于一点，该几何体不一定为棱台，C错误；
对于D，由棱台的定义，棱台的所有侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：D．
根据题意，由棱锥的定义分析A，由圆锥的定义分析B，由棱台的定义分析C和D，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱台、棱锥的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A=B时，sin2A=sin2B，充分性满足，
当A+B=π2时，sin2A=sin2(π2−B)=sin(π−2B)=sin2B，必要性不满足，
所以“A=B”是“sin2A=sin2B”的充分不必要条件．
故选：B．
根据充分必要条件的定义判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意知，AB=15海里，BC=10海里，∠ABC=45°+(90°−75°)=60°，
由余弦定理得，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=152+102−2×15×10×12=175，
所以AC=5 7海里．
故选：A．
先将实际问题转化为数学模型，再利用余弦定理，求解即可．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由 θ∈(π4,π2)，得 csθ∈(0, 22)，
因为csθ=a⋅b|a||b|=2−m m2+1× 5，
所以0<2−m m2+1× 5< 22，等价于2−m 5(m2+1)>0(2−m)25(m2+1)<12，
解得m<−3或13所以m的取值范围是(−∞,−3)∪(13,2)．
故选：B．
根据平面向量夹角的余弦公式得到不等式组，求解即可．
本题考查了向量夹角的余弦公式应用问题，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=12x2−x+5的对称轴为x=1，
则f(1)=12×12−1+5=92≤4m，解得m≥98，
则f(x)在[m,n]上单调递增，
所以f(m)=4mf(n)=4n，即12m2−m+5=4m12n2−n+5=4n，
所以m，n为方程12x2−x+5=4x的两个根，
即m，n为方程x2−10x+10=0的两个根，所以m+n=10．
故选：D．
首先利用二次函数最值求出m≥98，则得到其单调性，则f(m)=4mf(n)=4n，代入计算即可．
本题主要考查函数的值域，考查转化能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得，f(x)=csxcsφ−sinxsinφ+2sinx
=(2−sinφ)sinx+csφcsx= (2−sinφ)2+cs2φsin(x+θ)，
则 (2−sinφ)2+cs2φ=2，解得sinφ=14，
又φ为第一象限角，所以csφ= 1−sin2φ= 154，
所以f(2π3)=cs(2π3+φ)+2sin2π3=−12csφ− 32sinφ+ 3
=−12× 154− 32×14+ 3=7 3− 158．
故选：A．
利用三角恒等变换整理得f(x)= (2−sinφ)2+cs2φsin(x+θ)，结合最大值 (2−sinφ)2+cs2φ=2，解得sinφ=14，csφ= 154代入运算求得结果．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：z=(1+2i)i5=(1+2i)i=−2+i，
z−=−2−i，故A错误；
|z|= 4+1= 5，故B正确；
z+z−=−2+i+(−2−i)=−4，故C错误；
z−z−=−2+i−(−2−i)=2i，故D正确．
故选：BD．
由题意先计算出z，再结合z对各选项一一判断即可．
本题考查了复数的运算，共轭复数的概念．是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x+1)=f(3−x)，则f(x)关于直线x=2对称，
则f(−x)=f(x+4)，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
则f(−x)=f(x)，则f(x)=f(x+4)，则B正确，
则f(−x)=f(x)=f(x−4)
则f(x)的图象关于直线x=−2对称，故A正确；
对C，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，则当x∈[−2,0]时，f(x)的值域与x∈[−2,0]时值域相同，
当0≤x≤2时，f(x)=2x+x−1，显然其为增函数，则f(x)的值域为[f(0),f(2)]，即[0,5]，故C错误；
对D，当x∈[−2,0]时，−x∈[0,2]，则f(x)=f(−x)=2−x−x−1，
当x∈[10,12]时，x−12∈[−2,0]，根据f(x)的周期为4，
则f(x)=f(x−12)=212−x−x+11，故D正确．
故选：ABD．
根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其0≤x≤2的解析式即可判断CD．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：{n4|n∈Z,0因为|a|>|b|>0，所以a|b|+|b||a|∈(2,+∞)，所以a⊕b=csθ|a||b|+|b||a|故csθ=14(|a||b|+|b||a|)∈(12,1],a⊙b=|a||b|csθ>12,
当|a||b|csθ=34时，|a|csθ=34|b|，又|a||b|csθ|a|2+|b|2=14，所以|a|= 2|b|，符合题意；
当|a||b|csθ=1时，|a|csθ=|b|，又|a||b|csθ|a|2+|b|2=14，所以|a|= 3|b|，符合题意，
所以a⊕b+a⊙b=1或54．
故选：AC．
根据条件得出a⊕b=14，a⊙b>12，并且a⊙b=|a||b|csθ，a⊕b=|a||b|csθ|a|2+|b|2，然后即可验证a⊙b是否等于34和1，从而得解．
本题考查了向量数量积的计算公式，基本不等式，是中档题．
12.【答案】5
【解析】解：易知面数最少的棱台是三棱台，
而三棱台有5个面，
则一个棱台至少有5个面．
故答案为：5．
由题意，根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解．
本题考查棱台的结构特征，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
13.【答案】8 −16
【解析】解：由x>0，y>0，x+2y−z=0，得z=x+2y≥2 x⋅2y，
则z2xy≥8，当且仅当x=2y时取等号，
所以当x=2y>0时，z2xy取得最小值8；
当x=2y>0时，z=4y，1z2−2x−1y=116y2−2y=116(1y−16)2−16≥−16，当且仅当y=116时取等号，
所以x=18,y=116,z=14时，1z2−2x−1y取得最小值−16．
故答案为：8；−16．
根据给定条件，利用基本不等式、二次函数分别求出最小值即得．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
14.【答案】(8,12]
【解析】解：连接OE、AB，设∠AOE=2θ，则∠BOE=π2−2θ，∠ABE=θ，所以∠OBE=θ+π4；
在△OBE中，由正弦定理得，BEsin(π2−2θ)=OEsin(θ+π4)，则BE=OEsin(π2−2θ)sin(θ+π4)=OEsin(2θ+π2)sin(θ+π4)=8cs(θ+π4)；
在Rt△ODE中，由正弦定理得，DEsin2θ=OEsin90∘，则DE=OEsin2θ=4sin2θ，
所以平行四边形BCDE的周长为：
2(BE+DE)=16cs(θ+π4)+8sin2θ
=16cs(θ+π4)−8cs(2θ+π2)
=−16cs2(θ+π4)+16cs(θ+π4)+8
=−16[cs(θ+π4)−12]2+12，
因为0<2θ<π2，所以0<θ<π4，所以π4<θ+π4<π2，所以0所以8<−16[cs(θ+π4)−12]2+12≤12，即平行四边形BCDE的周长取值范围是(8,12]．
故答案为：(8,12]．
连接OE、AB，设∠AOE=2θ，求出∠BOE和∠ABE=θ，∠OBE，利用正弦定理求出BE和DE，再计算平行四边形BCDE的周长取值范围．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题．
15.【答案】解：(1)由题意可得a2−2a−3=0a−3≠0，
解得a=−1；
(2)由题意可得z+i=a2−2a−3+(a−2)i，
因为z+i在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a2−2a−3<0a−2>0，
解得2故a的取值范围为(2,3)．
【解析】(1)结合纯虚数的定义，即可求解；
(2)结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2|b|=4，得a⋅b=|a||b|cs2π3=4×2×(−12)=−4，
所以向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|2b=−b．
(2)由(1)知，a⋅b=−4，由|a+tb|=2 7，得(a+tb)2=28，即a2+2ta⋅b+t2b2=28，
整理得t2−2t−3=0，解得t=−1或t=3，
所以t的值是−1或3．
【解析】(1)求出a⋅b，再利用投影向量的意义求解即可．
(2)利用向量数量积的运算律建立方程求解即得．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，由sin2A−sin2B=sin2C(csB−1)及正弦定理，得a2−b2=c2(csB−1)，
整理得a2+c2−b2=c2csB，由余弦定理得a2+c2−b2=2accsB，
于是c2csB=2accsB，而B≠π2，即csB≠0，又c>0，
所以ca=2．
(2)由(1)知，c=2a=6，由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，得62=32+b2−2×3b× 53，
整理得(b− 5)2=32，而b>0，解得b=4 2+ 5，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×3×(4 2+ 5)× 1−( 53)2=4 2+ 5．
【解析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得．
(2)由(1)的结论求出c，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为BC=2BD，所以D是BC的中点，
则AD=12AB+12AC=12a+12b，
因为EC=2AE，所以AE=13AC=13b，
则BE=AE−AB=−a+13b；
(2)因为BC=2BD，所以BD=12BC=12(AC−AB)=−12a+12b，
因为A，F，D三点共线，
所以BF=λBA+(1−λ)BD=−λa+(1−λ)(−12a+12b)=−λ+12a+1−λ2b，
因为B，F，E三点共线，所以BF=kBE=−ka+k3b，
则−λ+12=−k1−λ2=k3解得k=34，
故|BF||EF|=3．
【解析】(1)利用向量的线性运算求解即可；
(2)利用A，F，D三点共线，可得BF=λBA+(1−λ)BD，B，F，E三点共线，所以BF=kBE=−ka+k3b，进而可得−λ+12=−k1−λ2=k3，求解即可求得结论．
本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)连接BD，
因为A为锐角，且sinA= 158，所以csA=78，
在△ABD中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=1+16−8csA，即BD2=17−8csA，
在△BCD中，由余弦定理得，BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅csC=9+4−12csC，即BD2=13−12csC，
所以17−8csA=13−12csC，即2csA−3csC=1，
所以2×78−3csC=1，解得csC=14，
因为C∈(0,π)，所以sinC= 154，
故△BCD的面积为12BC⋅CDsinC=12×3×2× 154=3 154．
(2)四边形ABCD的面积S=12AB⋅ADsinA+12BC⋅CDsinC=2sinA+3sinC，
所以S2=4sin2A+12sinAsinC+9sin2C①，
由(1)知2csA−3csC=1，
所以4cs2A−12csAcsC+9cs2C=1②，
联立①②得，S2=12−12cs(A+C)≤24，
所以S≤2 6，
当且仅当A+C=π时，四边形ABCD的面积取得最大值2 6．
(3)将△APD绕点A旋转60°，使得P，D分别与P1，D1重合，连接BD1，PP1，
则PA=P1A，PD=P1D1，∠P1AD1=∠PAD，∠PAP1=60°，即△PAP1是等边三角形，
所以∠P1AD1+∠PAB=∠PAD+∠PAB=∠BAD=60°，且∠DAD1=∠P1AD1+∠DAP1=∠PAD+∠DAP1=60°，
所以∠BAD1=∠DAD1+∠BAD=60°+60°=120°，
在△ABD1中，由余弦定理知，BD12=AB2+AD12−2AB⋅AD1cs∠BAD1=1+16−2×1×4×(−12)=21，
所以BD1= 21，
由图可知PA+PB+PD=PP1+PB+P1D1≥BD1= 21，当且仅当B，P，P1，D1四点共线时，等号成立，
故PA+PB+PD的最小值是 21．
【解析】(1)连接BD，分别在△ABD和△BCD中，运用余弦定理，可得2csA−3csC=1，从而求出csC和sinC的值，再利用三角形的面积公式，求解即可；
(2)结合(1)中所得与三角形的面积公式，推出S2=12−12cs(A+C)，再由余弦函数的性质，即可得解；
(3)将△APD绕点A旋转60°，使得P，D分别与P1，D1重合，连接BD1，PP1，结合旋转的性质，推出△PAP1是等边三角形，且∠BAD1=120°，再在△ABD1中，利用余弦定理求得BD1= 21，然后由PA+PB+PD≥BD1，当且仅当B，P，P1，D1四点共线时，等号成立，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式，两角和的余弦公式，旋转的性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．