适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1文（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1文（附解析），共2页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1.(本题满分12分)(2023江西南昌二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,左、右顶点分别为A1,A2,上顶点为B,且tan∠A1BO=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过A2且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q,与直线A1B相交于点P,与y轴相交于点M,且|PA2||MQ|=3|QA2||MP|,求k的值.
2.(本题满分12分)已知f(x)=a2x+ln x+1,g(x)=x(ex+a)(e为自然对数的底数,e≈2.72,a∈R).
(1)对任意a∈R,证明:y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线始终过定点;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
抢分练1
1.解(1)由题意得2c=2,解得c=,
又|A1O|=a,|OB|=b,
故tan∠A1BO==2,即a=2b,
又a2=b2+c2,解得b2=1,a2=4,
故椭圆方程为+y2=1.
(2)直线l的方程为y=k(x-2),k<0,与+y2=1联立得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,设Q(xQ,yQ),则2xQ=,解得xQ=,因为点Q在第一象限,所以>0,解得k2>.
直线A1B方程为y=x+1,与y=k(x-2)联立得x=,故xP=,y=k(x-2)中,令x=0得y=-2k,故M(0,-2k).
因为|PA2||MQ|=3|QA2||MP|,所以(2-xP)·(xQ-0)=3(2-xQ)(xP-0),整理得xPxQ+xQ-3xP=0,即-3=0,化简得2k2+3k+1=0,解得k=-或-1,其中k=-不满足k2>,舍去,k=-1满足要求,故k=-1.
2.(1)证明因为f(x)=a2x+lnx+1,所以f(1)=a2+1,f'(x)=a2+,所以f'(1)=a2+1.所以y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为y=(a2+1)x经过定点(0,0),即y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线始终过定点.
(2)解因为f(x)≤g(x)恒成立,即为a2-a≤对x>0恒成立.
记h(x)=(x>0),只需a2-a≤h(x)min.
h(x)=+1=+1.不妨设t=lnx+x(x>0).
因为t'=+1>0,所以t=lnx+x在(0,+∞)上单调递增,当x=1时,t=1>0;当x=时,t=-1<0,故t=lnx+x在(0,+∞)存在唯一零点x0,记y=elnx+x-(lnx+x)-1=et-t-1.因为y'=et-1.令y'>0,解得t>0;令y'<0,解得t<0.所以y=et-t-1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以ymin=e0-0-1=0.所以y=elnx+x-(lnx+x)-1≥0.而x>0,所以≥0,所以+1≥1.当且仅当lnx+x=0即x=x0时等号成立,即h(x)min=1,所以a2-a≤1.解得≤a≤,即实数a的取值范围为.