适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1理（附解析），共2页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1.(本题满分12分)(2023江西南昌二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,左、右顶点分别为A1,A2,上顶点为B,过点A2的直线l1,l2斜率分别为-,k(k<-),直线A1B与直线l1,l2的交点分别为B,P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l2与椭圆C的另一个交点为Q,直线BQ与x轴的交点为R,记△PQR的面积为S1,△A2QB的面积为S2,求的取值范围.
2.(本题满分12分)已知f(x)=a2x+ln x+1,g(x)=x(ex+a)(e为自然对数的底数,e≈2.72,a∈R).
(1)对任意a∈R,证明:y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线始终过定点;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
抢分练1
1.解(1)因为直线A2B的斜率为-,所以,焦距2c=2,因此a2-b2=3,解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程是+y2=1.
(2)因为A2(2,0),所以直线l2的方程为y=k(x-2)(k<-),联立整理得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0.则xQ+2=,故xQ=,则yQ=k(xQ-2)=,所以Q().又直线A1B的方程为y=x+1,联立解得P,因为k<-,所以k2>,0<<4,所以(2,+∞).
2.(1)证明 因为f(x)=a2x+lnx+1,所以f(1)=a2+1,f'(x)=a2+,所以f'(1)=a2+1.所以y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为y=(a2+1)x经过定点(0,0),即y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线始终过定点.
(2)解 因为f(x)≤g(x)恒成立,即为a2-a对x>0恒成立.记h(x)=(x>0),
只需a2-a≤h(x)min.h(x)==+1=+1.
不妨设t=lnx+x(x>0).因为t'=+1>0,所以t=lnx+x在(0,+∞)上单调递增,当x=1时,t=1>0;当x=时,t=-1<0,故t=lnx+x在(0,+∞)存在唯一零点x0,记y=elnx+x-(lnx+x)-1=et-t-1.因为y'=et-1.令y'>0,解得t>0;令y'<0,解得t<0.所以y=et-t-1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以ymin=e0-0-1=0.所以y=elnx+x-(lnx+x)-1≥0.
而x>0,所以0,所以+1≥1.当且仅当lnx+x=0即x=x0时等号成立,即h(x)min=1,所以a2-a≤1.解得a,即实数a的取值范围为