2024高考压轴试卷——数学（新高考II卷）（Word版附解析）

这是一份2024高考压轴试卷——数学（新高考II卷）（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．
3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．
4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A. x1，x2，…，xn的平均数B. x1，x2，…，xn的标准差
C. x1，x2，…，xn的最大值D. x1，x2，…，xn的中位数
2. 已知向量，满足，，则的值为（ ）
A.4B. 3C. 2D. 0
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则且
C. 若，则
D. 若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
8. 已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
10. 已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的最小值为
C．的最小值为D．若恒成立，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知集合，．若，则实数的取值集合为______．
13. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______．
14. 某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数（精确到0.1）；
（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率．
参考数据：若，则，．
16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求到平面的距离
17．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
18. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，.
（1）若，且点在第一象限，点关于轴的对称点为，求直线与双曲线相交所得的弦长；
（2）探究：的外心是否落在双曲线在点处的切线上，若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由.
19.如果n项有穷数列满足，，…，，即(i=1，2…，n)，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2=3，b5=5，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当k为何值时，取得最大值?
②若=2024，且=2024，求k的最小值.
KS5U2024高考压轴卷 新高考II卷
数学答案
1【KS5U答案】B
【KS5U解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；
平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．
2【KS5U答案】C
【KS5U解析】.故选：C.
3【KS5U答案】B
【KS5U解析】对A：由，故，即，故A错误；
对B：由，，则，且，
当且仅当时，等号成立，故，故B正确；
对C：由，故，即有，
又由B可得，即，故C错误；
对D：由，故，即，故D错误.故选：B.
4【KS5U答案】B
【KS5U解析】如图所示，
连接，，由对称性可知，，
取的中点，则，，
又因为正六边形的边长为1，所以，
所以，故选：B．
5【KS5U答案】A
【KS5U解析】由题意可得，视力4.9的视标边长约为： cm.
故选：A.
6【KS5U答案】D
【KS5U解析】
由正弦定理可得，，
又，所以，
不妨设，
所以由余弦定理得．故选：D．
7【KS5U答案】D
【KS5U解析】设、，、、、，
对A：若，则有，
即且，故A错误；
对B：取、，亦有，故B错误；
对C：取，，则有，，故C错误；
对D：设，、，若，
则有，
即有，
整理得，
由，故与不能同时成立，
故在复平面对应的点在直线上，
故D正确.故选：D.
8【KS5U答案】A
【KS5U解析】由、，
有，故，
对有，故过定点，
对有，故过定点，
则中点为，即，
，则，
故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，
又在原，该圆圆心为，半径为，
又，则.故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.
9【KS5U答案】AB
【KS5U解析】二项式展开式的通项公式，
由，解得，则，于是，解得，
所以实数m的值为或.故选：AB
10【KS5U答案】AC
【KS5U解析】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.故选：AC.
【KS5U答案】ABD
【KS5U解析】的定义域为，则，故切线方程为，即，故A正确．由得，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，故B正确，C错误．恒成立，其中，所以，记，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则实数的取值范围为，D正确．故选ABD．
12【KS5U答案】
【KS5U解析】由题意，所以或，则或，
所以实数的取值集合为.故答案为：.
13【KS5U答案】
【KS5U解析】连接，分别取、、中点、、，连接、、，
由底面是正方形，平面，和均为等边三角形，
故，底面，又，故，
则，故，
由为底面正方形中心，，故可在直线上取一点，
使为羡除外接球球心，连接、、，
设半径为，，则,
由底面，平面，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故，故，
又，故有，即，
又，
故有，解得，
故，即，
则这个几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题，关键在于借助题目条件，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则该几何体的外接球球心必在该直线上，设出该点位置，从而可结合勾股定理计算出该球半径，即可得解.
14【KS5U答案】
【KS5U解析】设，则，
设一次实验中成功运行的概率为，
则
，
令，，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，
由服从二项分布，故有，则.故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取一次实验中成功运行的概率的最大值，结合二项分布期望公式得到最少需要进行的试验次数.
15．解：（1）根据频率分布直方图，可得，
，
所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是．
（2）由，
所以，
所以，
故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16．
16证明：（1）
平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，；
四边形为正方形，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
解：（2）取中点，连接，
，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
分别为中点，，又，；
以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
，，，，
，，，，，，
，，，，，
设，则，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，解得：（舍）或，
，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离.
17．（1）解：当时，，则，所以，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）①解：函数，
（ⅰ）当时，，所以，
则在上单调递增，没有极值点，不合题意；
（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，所以在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以函数在区间内有唯一极值．点，符合题意．
综上，的取值范围是．
②证明：由①知，当时，，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以时，，则
又因为，
所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点．
由①知，所以，
则
设，则，
因为，所以，
在上单调递增，又，所以，
又时，，所以，所以．
由前面讨论知在单调递增，所以
18解：（1）依题意，，则直线的斜率为,
则直线，即；
联立，得，解得或，
故所求弦长为.
（2）的外心落在双曲线在点的切线上，证明过程如下，
设双曲线在点的切线斜率为，则在点处的切线方程为，
联立得，
其中，则，
而，故，代入上式可得，，
解得，故双曲线在点处的切线方程为，即.
直线的斜率为，线段的中点为，
故直线的中垂线方程为，
联立可得，故外心坐标为，
其满足，故的外心落在双曲线在点处的切线上.
19.解：(1)因为数列是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差，……3分
所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1.……4分
(2)①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck+1，…，c2k-1构成公差为-2的等差数列
故
所以当=1012时，取得最大值
②因为即，
所以即.
于是
因为数列是“对称数列”，所以)
，
因为，故，解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025
当c1，c2，…，ck构成公差为-2的等差数列时，满足c1=2024，且，
此时k=2025，所以k的最小值为2025