2023-2024学年江苏省苏州市昆山市昆山通海实验中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市昆山市昆山通海实验中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在实数 2，−34，0.32，227，π3， 2−10，− 9，0.1010010001…中，无理数有
个．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.据统计，2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人，数据1437000精确到万位，并用科学记数法可表示为( )
A. 144×104B. 1.44×106C. 1.44×104D. 1.43×106
4.下列说法：① (−10)2=−10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的( )
A. 三条角平分线的交点B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点D. 三边的垂直平分线的交点
6.如图，在▵ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠DFE=70∘，则∠DAE的度数是
( )
A. 30∘B. 40∘C. 60∘D. 70∘
7.如图：▵ABC是等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，AD=9，PE=1，则PQ的长是
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.如图，在▵ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点G，交AC于点E，EF⊥BC于点F，AF交BE于点Q.下列结论：①AE=AG；②S▵AGQ=S▵AQE；③∠DAC=2∠EBC；④▵AGE为等边三角形．其中所有正确结论的序号是
( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 4的算术平方根是 ．
10.直角三角形斜边长为10，则斜边中线长为 ．
11.一个正数的两个平方根为a+2和a−6，则这个数为 ．
12.若 a+1+b2−4b+4=0，则ab的值等于 ．
13.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O.过O点作DE//BC，分别交AB、AC于D、E.若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ．
14.如图，在▵ABC中．∠BCA=90∘，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，且BE=2.则▵ABD的面积是 ．
15.如图，▵ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于50°，则∠A度数等于 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
计算：
(1) (−2)2+ 2−1− 2−1；
(2)− 32+ −62−3−8．
18.(本小题8.0分)
求下列各式中x的值：
(1)4x−22=36；
(2)x+53−27=0．
19.(本小题8.0分)
如图，已知OA和OB是两条公路，C，D是两个村庄，建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC=MD，且M到OA，OB两条公路的距离相等．请用尺规作图法作出点M的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
20.(本小题8.0分)
如图，在若干个长度为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出▵ABC与关于直线l成轴对称的▵A1B1C1；
(2)求▵ABC的面积；
(3)在直线l上找到一直P，使PB+PC的长最短，在图中标出这一点的位置．
21.(本小题8.0分)
已知6a+34的立方根是4，5a+b−2的算术平方根是5，c是 13的整数部分
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a−b+c的平方根．
22.(本小题8.0分)
已知：如图，AD是▵ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：AD垂直平分EF．
23.(本小题8.0分)
如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD.求证：AB=AC．
24.(本小题8.0分)
如图，▵ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
(1)求证：BD=CE；
(2)若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．
25.(本小题8.0分)
观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1) 2=1.414， 200=14.14， 20000=141.4… 0.03=0.1732， 3=1.732， 300=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动__位，其算术平方根的小数点向__移动__位；
(2)已知 5=2.236， 50=7.071，则 0.5=__， 500=__；
(3)31=1，31000=10，31000000=100…小数点变化的规律是：_ _.
(4)已知310=2.154，3100=4.642，则310000=__，−30.1=__．
26.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180∘−α，BD平分∠ABC．

(1)如图1，若α=90∘，根据教材中一个重要性质直接可得：AD______DC.(填>、<、=)
(2)如图2，求证AD=CD；
(3)如图3，在等腰▵ABC中，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．
27.(本小题8.0分)
如图1，▵ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4，S△ABC=40cm2

(1)求BD和CD的长
(2)如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)，
①若▵DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，▵MDE能否成以DE为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念进行求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】由零次幂可得 2−10=1，然后根据定义：无理数就是无限不循环小数，即可判断．
【详解】解：无理数有 2，−34，π3，0.1010010001…，共4个，
不是无理数的是0.32，227， 2−10=1，− 9共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数常见的三种类型(1)开不尽的方根，如 2等．(2)特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003⋯(两个3之间依次多一个0).(3)含有π的绝大部分数，如2π.注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如 16是有理数，而不是无理数．还考查了零次幂的计算．
3.【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【详解】1437000≈1440000=1.44×106．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法与有效数字，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，要对这个数用科学记数法表示．
4.【答案】B
【解析】【分析】直接利用算术平方根概念，无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断得出答案．
【详解】解：① (−10)2=10，故此选项不符合题意；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故此选项符合题意；
③任何实数不是有理数就是无理数，故此选项符合题意；
④两个无理数的和不一定是无理数，故此选项不符合题意；
即：正确的有②③，共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根，实数与数轴，正确掌握相关定义是解题关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】先根据四边形内角和为360∘求出∠BAC=110∘，再根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=70∘，然后根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，进而得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由此得∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=70∘，据此可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵AB、AC的垂直平分线相交于点F，∠DFE=70∘，
由四边形的内角和等于360∘，得：∠BAC=360∘−90∘−90∘−70∘=110∘，
∴∠B+∠C=180∘−∠BAC=180∘−110∘=70∘，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=70∘，
∴∠DAE=∠BAC−∠DAB+∠EAC=110∘−70∘=40∘，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质等，理解线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，等腰三角形的两个底角相等，灵活运用三角形的内角和定理，四边形内角和等于360∘进行计算是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】先利用等边三角形的性质证▵ABE≌▵CADSAS，得BE=AD=9，∠CAD=∠ABE，则BP=8，再求出∠BPQ=60∘，则∠PBQ=30∘，然后由含30∘角的直角三角形的性质求出PQ的长即可．
【详解】解：∵▵ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60∘，
∵AE=CD，
∴▵ABE≌▵CADSAS，
∴BE=AD=9，∠CAD=∠ABE，
∵PE=1，
∴BP=BE−PE=9−1=8，
∵∠BAC=60∘，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60∘，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90∘，
在Rt△BQP中，∠PBQ=90∘−60∘=30∘，
∴PQ=12BP=4，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含30∘角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据BE平分∠ABC得∠ABE=∠EBF，根据∠BAC=∠EFB=90∘得∠AEB=∠BEF，利用AD/​/EF，∠AGE=∠GEF=∠BEF可得∠AGE=∠AEB从而可得AG=AE，得①正确；证明△ABE≌△FBE得AE=EF，从而推得∠AQE=∠FQE=90∘，利用▵AGE是等腰三角形，AQ⊥GE得GQ=QE，可得S▵AGQ=S▵AQE，可知②正确；根据AD/​/EF，得∠DAC=2∠EFA，根据∠EFA+∠BEF=∠EBC+∠BEF=90∘得∠EFA=∠EBC，可证明∠DAC=2∠EBC，可知③正确；连接GF先证明▵AGQ≌▵FGQ得AG=AE=EF=GF得四边形AGFE是菱形，要想▵AGE是等边三角形，则菱形AGFE中较小的角需要是60∘，而题干中无法得知∠GAE为60∘，可知④不正确．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF
∵∠BAC=90∘，∠EFB=90∘，
∴∠AEB=∠BEF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AD//EF，∠AGE=∠GEF
∵∠AEB=∠BEF=∠GEF
∴∠AGE=∠AEB
∴AG=AE，可得①正确
由①得AG=AE
∵∠AEB=∠BEF，∠ABE=∠EBF，BE=BE
∴△ABE≌△FBE(ASA)
∴AE=EF
∴∠EAF=∠AFE
∴∠AQE=∠FQE
∵∠AQE+∠FQE=180∘
∴∠AQE=∠FQE=90∘
∵▵AGE是等腰三角形，AQ⊥GE
∴GQ=QE
∴S▵AGQ=12GQ⋅AQ=12QE⋅AQ=S▵AQE
可得②正确
∵AD//EF
∴∠DAC=∠FEC=∠EAF+∠EFA=2∠EFA
∵∠EFA+∠BEF=90∘，∠EBC+∠BEF=90∘
∴∠EFA=∠EBC，则∠DAC=2∠EBC
可得③正确
连接GF
∵AQ=QF,∠AQG=∠GQF=90∘,GQ=GQ
∴▵AGQ≌▵FGQ(SAS)
∴AG=GF
∵AG=AE=EF
∴四边形AGFE是菱形
要想▵AGE是等边三角形，则菱形AGFE中较小的角需要是60∘
而题干中无法得知∠GAE为60∘
故④不正确
故选：C
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，掌握相关定理和性质是解题关键．
9.【答案】 2
【解析】【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【详解】解： 4=2
∴ 4的算术平方根是 2．
故答案为： 2．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】5
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵直角三角形斜边长为10，
∴斜边中线长为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，比较简单．
11.【答案】16
【解析】【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解方程即可求出a，进而可得答案．
【详解】解：根据题意得：a+2+a−6=0，解得：a=2，
所以这个数是：(2+2)2=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平方根的定义，属于基础题目，熟知平方根的定义是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，进而得出答案．
【详解】∵ a+1+b2−4b+4=0，
∴ a+1+(b−2)2=0，
∴a+1=0b−2=0,
解得：a=−1b=2,
∴ab=(−1)2=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③算术平方根．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目．
13.【答案】9
【解析】【分析】由在ΔABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE//BC，易证得ΔDOB与ΔEOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得ΔADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．
【详解】解：∵在ΔABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴OD=BD，OE=CE，
∵AB=5，AC=4，
∴ΔADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE
=AD+DB+EC+AE
=AB+AC=5+4=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意证得ΔDOB与ΔEOC是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
14.【答案】4
【解析】【分析】分别延长AC、BE，它们交于F点，由AE平分∠CAB，BE⊥AE，得到BF=2BE；再证▵ACD≌▵BCF，则根据全等三角形的性质，AD=BF，根据三角形面积公式即可求出▵ABD的面积．
【详解】解：分别延长AC、BE交于点F，如图，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=∠EAF，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90∘，
∵AE=AE，
∴▵ABE≌▵AFEASA，
∴BE=FE，
∴BF=2BE=4，
∵∠ACB=∠AEB=90∘=∠BCF，∠ADC=∠EDB，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCFASA，
∴AD=BF=4，
∴▵ABD的面积=12AD⋅BE=12×4×2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15.【答案】12013
【解析】【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥12013，即可得出答案．
【详解】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt▵ABD中，AD=12，
∴SΔABC=12×BC×AD=12×AB×CN，
∴CN=BC×ADAB=10×1213=12013，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF=FM，
∴CF+EF=CF+FM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF+EF≥12013，
即CF+EF的最小值是12013，
故答案为：12013．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16.【答案】40°或25°．
【解析】【分析】由折叠的性质得出AD=PD=BD，∠CPD=∠B，∠PDC=∠BDC，∠PCD=∠DCB，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=AD=BD，由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，然后分三种情况求解即可．
【详解】由折叠可得，AD=PD=BD，∠CPD=∠B，∠PDC=∠BDC，∠PCD=∠DCB，
∴D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD=BD，
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，
当∠CPD=50°时，∠B=50°，
∴∠A=90°−∠B=40°；
当∠PCD=50°时，∠DCB=∠B=50°，
∴∠A=40°；
当∠PDC=∠BDC=50°时，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠A=12∠BDC=25°；
故答案为40°或25°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；灵活运用相关性质是解题的关键．
17.【答案】(1)解： (−2)2+ 2−1− 2−1
=2+ 2−1− 2+1
=2；
(2)解：− 32+ −62−3−8
=3+6−−2
=11．

【解析】【分析】(1)先分别化简算术平方根，化简绝对值，再计算加减法；
(2)先计算乘方，立方根及算术平方根，再计算加减法．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】(1)解：4x−22=36
∴x−22=9，
即x−2=±3，
解得：x=−1或5；
(2)解：x+53−27=0
x+53=27，
∴x+5=3，
解得：x=−2．

【解析】【分析】(1)利用平方根的性质解答，即可求解；
(2)利用立方根的性质解答，即可求解．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，连接CD，分别以C、D为圆心，以大于CD长的一半为半径画弧，二者交于G、H，连接GH；以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别与OA，OB交于E、F，再分别以E，F为圆心，以大于EF长的一半为半径画弧，二者交于点P，连接OP并延长与GH交于M，点M即为所求．

【解析】【分析】根据建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC=MD，则M在线段CD的垂直平分线上；再由M到OA，OB两条公路的距离相等，则M又在∠AOB的角平分线上，由此求解即可．
【点睛】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质．
20.【答案】(1)如图所示，△AB′C′即为所求；

(2)▵ABC的面积=2×4−12×2×2−12×1×2−12×1×4=8−2−1−2=3；
(3)如图所示，连接B′C交直线l于P，点P即为所求；
由对称的性质可得PB=PB′，
∴PB+PC=PC+PB′，
∴当P、C、B′三点共线时，PB+PC有最小值B′C．

【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
(2)用长方形的面积减去3个直角三角形的面积求解即可；
(3)根据轴对称确定最短路线，连接B′C，与对称轴l的交点即为所求点P．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)∵已知6a+34的立方根是4，
∴6a+34=64，
∴a=5，
∵5a+b−2的算术平方根是5，
∴5a+b−2=25，
又∵a=5，
∴b=2，
∵9< 13<16，
∴3< 13<4，
∵c是 13的整数部分，
∴c=3，
∴a=5，b=2，c=3，
(2)解：∵a=5，b=2，c=3，
∴3a−b+c=3×5−2+3=16，
∴3a−b+c的平方根是±4．

【解析】【分析】(1)根据立方根的定义求得a的值，根据算术平方根的定义求得b的值，估算 13的大小即可求得c的值；
(2)将(1)中a，b，c的值代入代数式，进而根据平方根的定义求得3a−b+c的平方根
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】证明：∵AD是▵ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90∘，
∴DE=DF，
在Rt▵DEA和Rt▵DFA中，DA=DADE=DF,
∴Rt▵DEA≌Rt▵DFAHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF．

【解析】【分析】先根据角平分线的性质得到DE=DF，则证明Rt▵DEA≌Rt▵DFAHL得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质及角平分线的性质和线段垂直平分线的判断，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
23.【答案】证明：
过D分别作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点
∵AD平分∠BAC，
用AAS证△BED≌△CFD
∴AE=AF，DE=DF.
又∵BD=CD
用HL证△BED≌△CFD
∴BE=CF.
∴AE+BE=AF+CF．
即AB=AC．

【解析】【分析】作DE⊥AB，DF⊥AC，根据三角形的角平分线性质，可得DF=DE，根据“HL”定理，易证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质．
24.【答案】(1)证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP=EP，
在RtΔBDP和RtΔCEP中，
BP=CPDP=EP,
∴RtΔBDP≅RtΔCEP(HL)，
∴BD=CE；
(2)解：在RtΔADP和RtΔAEP中，
AP=APDP=EP,
∴RtΔADP≅RtΔAEP(HL)，
∴AD=AE，
∵AB=6cm，AC=10cm，
∴6+AD=10−AE，
即6+AD=10−AD，
解得AD=2cm．

【解析】【分析】(1)连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=EP，然后利用“HL”证明RtΔBDP和RtΔCEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
(2)利用“HL”证明RtΔADP和RtΔAEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
25.【答案】(1) 2=1.414， 200=14， 20000=141.4…
0.03=0.1732， 3=1.732， 300=17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
(2)已知 5=2.236， 50=7.071，则 0.5=0.7071， 500=22.36，
(3)31=1，31000=10，31000000=100…
小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右(左)移三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位；
(4)∵310=2.154，3100=4.642，
∴310000=21.54，−30.1=−0.4642．
故答案为：(1)两；一；(2)0.7071；22.36；(3)被开方数的小数点向右(左)移三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位；(4)21.54；−0.4642

【解析】【分析】(1)观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
(2)利用得出的规律计算即可得到结果；
(3)归纳总结得到规律，写出即可；
(4)利用得出的规律计算即可得到结果．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
26.【答案】(1)解：∵BD平分∠ABC，∠BAD=α=90∘，∠BCD=180∘−α=90∘，
∴AD=DC，
故答案为：=；
(2)证明：如图，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，则∠DEA=∠DFC=90∘，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠BCD=180∘，∠BAD+∠EAD=180∘，
∴∠EAD=∠BCD，
在▵DEA和▵DFC中，∠DEA=∠DFC∠DAE=∠DCFDE=DF,
∴▵DEA≌▵DFCAAS，
∴AD=CD；
(3)证明：如图，在BC上截取BK=BD，连接DK，

∵▵ABC为等腰三角形，∠BAC=100∘，则AB=AC，
∴∠ABC=∠C=40∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK=12∠ABC=20∘，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80∘，
即∠A+∠BKD=180∘，
由(2)的结论得AD=DK，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40∘，
∴DK=CK，
∴AD=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．

【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质定理解答；
(2)作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，由∠BAD+∠BCD=180∘，∠BAD+∠EAD=180∘，得∠EAD=∠BCD，可证明▵DEA≌▵DFC，根据全等三角形的性质证明结论；
(3)在BC上截取BK=BD，连接DK，根据(2)的结论得到AD=DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD=KC，结合图形证明．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质等知识，解本题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27.【答案】(1)解：由BD:AD:CD=2:3:4，设BD=2xcm，AD=3xcm，CD=4xcm，
则AB=5xcm，
S△ABC=12AB⋅CD=12×5x×4x=10x2=40cm2，而x>0，
∴x=2，则BD=4cm，CD=8cm；
(2)由(1)可知，AB=AC=5x=10cm，AD=3x=6cm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
当MN/​/BC时，∠B=∠AMN，∠ACB=ANM，则∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，即：10−t=t，解得t=5；
当DN//BC时，∠B=∠ADN，∠ACB=AND，则∠ADN=∠AND，
∴AD=AN，即：6=t；
综上，若▵DMN的边BC与平行，t值为5或6；
②延长DE使得DE=GE，连接AG，则DE=12DG，
∵点E是边AC的中点，
∴CE=AE，
∵∠DEC=∠GEA，
∴△DEC≌△GEASAS，
∴CD=AG，∠G=∠CDE，
∴CD//AG
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠GAD=90∘，
∵AD=DA，
∴△ADC≌△DAGSAS，
∴AC=DG，
∴DE=12DG=12AC=5cm，

当点M在BD上，即0≤t<4时，为钝角三角形，但DM≠DE；
当点M运动到点D时，不构成三角形；
当点M在DA上，即4如果DE=DM，则t−4=5，可得t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，可得t=10；
综上所述，符合要求的t值为9或10．

【解析】【分析】(1)由BD:AD:CD=2:3:4，设BD=2xcm，AD=3xcm，CD=4xcm，则AB=5xcm，由▵ABC的面积可得10x2=40cm2，求出x即可求解；
(2)①由(1)知AB=AC=5x=10cm，AD=3x=6cm，由AB=AC，知∠B=∠ACB，分两种情况：当MN/​/BC时，AM=AN；当DN//BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②延长DE使得DE=GE，连接AG，则DE=12DG，可证△DEC≌△GEASAS，△ADC≌△DAGSAS，进而可得AC=DG，DE=12DG=12AC=5cm，根据题意得出当点M在DA上，即4【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识，需要进行分类讨论是解决问题的关键．