2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.2.2 第2课时　函数奇偶性的应用

展开

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.2.2 第2课时　函数奇偶性的应用，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．定义在R上的偶函数f(x)满足：在x∈[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)A.(－1，0)
B.(－∞，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，0)
D.(0，1)
解析：因为f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以不等式f(2x－1)|1|，解得x<0或x>1.故选B．
2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( B )
A.最大值－eq \f(1,4) B.最大值eq \f(1,4)
C.最小值－eq \f(1,4) D.最小值eq \f(1,4)
解析：解法1：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，所以f(x)有最小值－eq \f(1,4)，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值eq \f(1,4).
解法2：(直接法)当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，所以当x>0时，f(x)有最大值eq \f(1,4).
3．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上( A )
A.单调递增且最小值为－5
B.单调递增且最大值为－5
C.单调递减且最小值为－5
D.单调递减且最大值为－5
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5.
4．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]．当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是( D )
A.[－5，－2)∪(2，5]
B.[－5，－2)
C.(－2，0)
D.(－2，0)∪(2，5]
解析：当x∈[0，5]时，如图，由f(x)的图象可知，x∈(0，2)时，f(x)>0，x∈(2，5]时，f(x)<0，又奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，x∈(－2，0)时，f(x)<0，x∈[－5，－2)时，f(x)>0，所以不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，5]，故选D．
5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式eq \f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为( C )
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1，0)∪(0，1)
解析：∵f(x)为奇函数，eq \f(f(x)－f(－x),x)<0，即eq \f(f(x),x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0，eq \f(f(x),x)<0.∵奇函数的图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0，∴当x<－1时，f(x)>0，eq \f(f(x),x)<0.综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
二、多项选择题
6．一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( AC )
A.这个函数有三个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7，0]上的图象，如图所示．
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值7；在其定义域内最小值不是－7.
7．函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，下列函数有对称中心的是( ABD )
A.f(x)＝x B.f(x)＝x3－3x2
C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝eq \f(1,x－1)
解析：∵函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b.由f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；f(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，∴当a＝1，b＝－2时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；∵f(x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；f(x)＝eq \f(1,x－1)的图象如图所示，其图象关于(1，0)对称，故D满足题意．
三、填空题
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，比较f(0)，f(1)，f(－2)的大小，用“<”连接是f(－2)解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)9．若函数f(x)＝ax3＋bx＋eq \f(c,x)＋5，则f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值的和为10.
解析：设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋eq \f(c,x)(x≠0)．∵g(－x)＝－ax3－bx－eq \f(c,x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，∴g(x)在[－3，3]上的最大值与最小值的和为0.又f(x)＝g(x)＋5，则f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值的和为10.
10．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是(－1，3)．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(|x－1|)>f(2)．∵|x－1|，2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2四、解答题
11．已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集．
解：(1)由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1故函数g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
(2)由g(x)≤0，
得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
所以f(x－1)≤－f(3－2x)．
因为f(x)为奇函数，
所以f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2，2)上是减函数，所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥2x－3，,\f(1,2)所以不等式g(x)≤0的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).
12．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：
①对于任意x，y∈(－1，1)都有f(x)＋f(y)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,1＋xy)))；
②f(x)在(－1，1)上单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1.
(1)求f(0)；
(2)证明f(x)为奇函数；
(3)解不等式f(2x－1)<1.
解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，解得f(0)＝0.
(2)证明：令y＝－x，则对任意x∈(－1，1)，有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数．
(3)因为f(x)在(－1，1)上单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，所以f(2x－1)<1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<2x－1<1，,2x－1<\f(1,2)，))解得0所以不等式f(2x－1)<1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(013．已知函数f(x)＝x2|x|，当x∈[－2，2]时，f(a－x)≤8f(3－x)，则实数a的取值范围是( D )
A.(－∞，－12]∪[8，＋∞)
B.[－12，8]
C.(－∞，0]∪[4，＋∞)
D.[0，4]
解析：首先f(－x)＝(－x)2|－x|＝x2|x|＝f(x)，f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)＝x3是增函数，f(2x)＝(2x)2|2x|＝8x2|x|＝8f(x)，因此不等式f(a－x)≤8f(3－x)先化为f(a－x)≤f(6－2x)，f(x)是偶函数，则有f(|a－x|)≤f(|6－2x|)，又x≥0时，f(x)＝x3是增函数，因此|a－x|≤|6－2x|，x∈[－2，2]，6－2x>0，因此有|a－x|≤6－2x，2x－6≤a－x≤6－2x，3x－6≤a≤6－x，所以3x－6≤a≤6－x对x∈[－2，2]恒成立，3x－6≤0(x＝2时取等号)，6－x≥4(x＝2时等号成立)，所以0≤a≤4.故选D．
14．写出一个定义域为R，值域为(－∞，8]的偶函数：f(x)＝－x2＋8(答案不唯一)．
解析：依题意，偶函数f(x)的定义域为R，值域(－∞，8]，故f(x)＝－x2＋8符合题意．(答案不唯一)
15．定义在R上的奇函数f(x)是单调函数，满足f(3)＝6，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R.
(1)求f(0)，f(1)；
(2)若对于任意x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，都有f(kx2)＋f(2x－1)<0成立，求实数k的取值范围．
解：(1)定义在R上的奇函数f(x)，满足f(3)＝6，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R.
令x＝y＝0，可得f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0，
令x＝1，y＝1，可得f(2)＝2f(1)，
令x＝2，y＝1可得f(3)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋2f(1)＝3f(1)＝6，
∴f(1)＝2.
(2)∵f(x)是奇函数，且f(kx2)＋f(2x－1)<0在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上恒成立，∴f(kx2)又定义在R上的奇函数f(x)是单调函数，且f(0)＝0∴f(x)在R上是增函数，∴kx2<1－2x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上恒成立，
∴k由于eq \f(1,2)≤x≤3，∴eq \f(1,3)≤eq \f(1,x)≤2.
∴g(x)min＝g(1)＝－1，
∴k<－1，即实数k的取值范围为(－∞，－1)．