2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.3.3　换底公式

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.3.3　换底公式，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up6(\f(1,3))－lg32×lg427＋2 0230＝( A )
A．0B．eq \f(3,2)
C．－1D．eq \f(1,2)
解析：原式＝eq \f(1,2)－eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(3lg 3,2lg 2)＋1＝0，故选A．
2．下列计算错误的是( C )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－60－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up6(\f(1,3))＝－1
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－lg27＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln e))＝7
C．lg23×lg34＝lg67
D．lg 25＋eq \f(2,3)lg 8－lg 200＋lg 2＝0
解析：对于A，原式＝eq \f(3,2)－1－eq \f(3,2)＝－1，所以A正确；对于B，原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lgeq \s\d9(\f(1,2))7＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln e))＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 22,lg 3)＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋eq \f(2,3)lg 23－lg 200＋lg 2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg 5＋lg 2))－lg eq \f(200,2)＝2－2＝0，所以D正确．故选C．
3．在某款计算器上计算lgab时，需依次按下“lg”“(”“a”“，”“b”“)”6个键．某同学使用该计算器计算lgab(a>1，b>1)时，误将“lg”“(”“b”“，”“a”“)”这6键依次按下，所得到的值是正确结果的eq \f(1,9)倍，则( C )
A．2a＝bB．a2b＝1
C．a3＝bD．a3＝b2
解析：由题意，lgba＝eq \f(1,9)lgab ，由换底公式得：lgba＝eq \f(1,lgab)＝eq \f(1,9)lgab，a＞1，b＞1，
∴lgab＞0 ，∴lgab＝3，b＝a3 .故选C．
4．已知a＝lg23，3b＝5，则lg615＝( A )
A．eq \f(a＋ab,a＋1)B．eq \f(a,a＋1)
C．eq \f(a＋ab,ab＋1)D．eq \f(a,ab＋1)
解析：因为a＝lg23＝eq \f(lg 3,lg 2)，b＝lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝eq \f(1－lg 2,lg 3)，所以lg 2＝eq \f(1,ab＋1)，lg 3＝eq \f(a,ab＋1)，则lg615＝eq \f(lg 15,lg 6)＝eq \f(lg 3＋lg 5,lg 3＋lg 2)＝eq \f(lg 3－lg 2＋1,lg 3＋lg 2)＝eq \f(\f(a,ab＋1)－\f(1,ab＋1)＋1,\f(a,ab＋1)＋\f(1,ab＋1))＝eq \f(a＋ab,a＋1).故选A．
5．若eq \f(1,m)＝lg35，则5m＋5－m的值为( B )
A．eq \f(8,3)B．eq \f(10,3)
C．eq \f(24,5)D．eq \f(26,5)
解析：由于eq \f(1,m)＝lg35，所以m＝lg53，5m＋5－m＝5lg53＋5－lg53＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3).
二、多项选择题
6．下列各式化简结果不为1的是( BCD )
A．lg53×lg32×lg25
B．lgeq \r(2)＋eq \f(1,2)lg 5
C．lgeq \r(a)a2(a>0，且a≠1)
D．eln 3－(0.125)－eq \f(2,3)
解析：由lg53×lg32×lg25＝eq \f(lg 3,lg 5)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 5,lg 2)＝1，lgeq \r(2)＋eq \f(1,2)lg 5＝lgeq \r(2)＋lgeq \r(5)＝lgeq \r(10)＝eq \f(1,2)，lgeq \r(a)a2＝eq \f(lg a2,lg\r(a))＝eq \f(2lg a,\f(1,2)lg a)＝4，eln 3－(0.125)－eq \f(2,3)＝3－(2－3)－eq \f(2,3)＝3－4＝－1，可知只有A中式子化简结果为1，故选BCD．
7．已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋lg2b＝3，则a＋b的值可以为( CD )
A．2B．3
C．4D．5
解析：因为ba＝4，所以lgb4＝a，故a＋lg2b＝lgb4＋lg2b＝2lgb2＋lg2b＝3，设lg2b＝x，则lgb2＝eq \f(1,x)，故eq \f(2,x)＋x＝3，解得x＝1或x＝2，当x＝1时，lg2b＝1，故b＝2，a＝lg24＝2，故a＋b＝4；当x＝2时，lg2b＝2，故b＝4，a＝lg44＝1，故a＋b＝5.故选CD．
三、填空题
8．记lg32＝a，则lg427＝eq \f(3,2a).(用a表示)
解析：由lg32＝a⇒lg23＝eq \f(1,a)，由lg427＝lg2233＝eq \f(3,2)lg23＝eq \f(3,2a).
9．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))－eq \f(2,3)－lg25•lg58＝1.
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))－eq \f(2,3)－lg25•lg58＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(23))eq \s\up6(\f(2,3))－3lg25•lg52＝4－3×eq \f(lg 5,lg 2)×eq \f(lg 2,lg 5)＝4－3＝1.
10．已知lg23＝a，lg27＝b，用a，b表示lg4256＝eq \f(b＋3,b＋a＋1).
解析：由题知，a＝lg23＝eq \f(ln 3,ln 2)，b＝lg27＝eq \f(ln 7,ln 2)，∴aln 2＝ln 3，bln 2＝ln 7，lg4256＝eq \f(ln 56,ln 42)＝eq \f(ln 7＋ln 8,ln 7＋ln 6)＝eq \f(ln 7＋3ln 2,ln 7＋ln 3＋ln 2)＝eq \f(bln 2＋3ln 2,bln 2＋aln 2＋ln 2)＝eq \f(b＋3,b＋a＋1).
四、解答题
11．(1)计算：eq \f(1,2)lg 25＋lg 2－lg eq \r(0.1)－lg29×lg32.
(2)已知正数a，b满足2a＝3b＝c，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1，求a，b，c的值．
解：(1)由题意eq \f(1,2)lg 25＋lg 2－lg eq \r(0.1)－lg29×lg32＝lg 5＋lg 2－lg 10－eq \f(1,2)－2lg23×lg32＝lg (5×2)＋eq \f(1,2)－2×eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)＝1＋eq \f(1,2)－2＝－eq \f(1,2).
(2)由2a＝3b＝c(c>0，且c≠1)得a＝lg2c，b＝lg3c，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,lg2c)＋eq \f(2,lg3c)＝lgc2＋2lgc3＝lgc18＝1，所以c＝18，则a＝lg218，b＝lg318.
12．假设某地的物价从1983年的100增加到四十年后2023年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？(注意：增长率<0.1，可用：ln(1＋x)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3)
解：设年增长率为x，则100(1＋x)40＝500，40lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＝ln 5，
由lg 5＝lg eq \f(10,2)＝lg 10－lg 2＝1－0.3＝0.7，则ln 5＝eq \f(lg 5,lg e)＝ln 10×lg 5＝2.3×0.7＝1.61，
利用lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))≈x，则有x≈eq \f(ln 5,40)＝eq \f(1.61,40)＝0.040 25≈4%，由4%<0.1，符合题意．故每年增长百分之四．
13．(多选题)下列函数满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg45))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg54))的是( BCD )
A．f(x)＝eq \f(x2＋1,x)
B．f(x)＝lg x
C．f(x)＝eq \f(x2－1,x)
D．f(x)＝eq \f(1＋x,1－x)
解析：lg45＝eq \f(1,lg54)>1，则当feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)时，必有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg45))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg54)).若f(x)＝eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(x)，则A错误．若f(x)＝lg x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝lg eq \f(1,x)＝－lg x＝－f(x)，则B正确．若f(x)＝eq \f(x2－1,x)＝x－eq \f(1,x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，则C正确．若f(x)＝eq \f(1＋x,1－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1＋\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq \f(x＋1,x－1)＝－f(x)，则D正确．故选BCD．
14．约翰•纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，则ab＝N⇔b＝lgaN，现已知2a＝6，3b＝36，则eq \f(4a,9b)＝eq \f(1,36)，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1.
解析：∵2a＝6，3b＝36，∴a＝lg26，b＝lg336，∴eq \f(4a,9b)＝eq \f(4lg26,9lg336)＝eq \f(2lg262,3lg3362)＝eq \f(62,362)＝eq \f(1,36)，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,lg26)＋eq \f(2,lg336)＝lg62＋lg63＝1.
15．设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)试求x，y，z之间的关系；
(2)求使2x＝py成立，且与p最近的正整数；(即求与p的差的绝对值最小的整数)
(3)比较3x，4y，6z的大小．
解：(1)设3x＝4y＝6z＝t，由x，y，z均为正数得t>1.
故取以t为底的对数，可得xlgt3＝ylgt4＝zlgt6＝1.
∴x＝eq \f(1,lgt3)，y＝eq \f(1,lgt4)，z＝eq \f(1,lgt6).
eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝lgt6－lgt3＝lgt2＝eq \f(1,2)lgt4＝eq \f(1,2y)，
∴x，y，z之间的关系为eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
(2)p＝eq \f(2x,y)＝eq \f(2,lgt3)•lgt4＝2•lg34＝lg316.
由9<16<27，得lg39而p－2＝lg316－lg39＝lg3eq \f(16,9)，3－p＝lg327－lg316＝lg3eq \f(27,16).
由eq \f(16,9)÷eq \f(27,16)＝eq \f(256,243)>1知eq \f(16,9)>eq \f(27,16)，
∴p－2＝lg3eq \f(16,9)>lg3eq \f(27,16)＝3－p.
从而所求正整数为3.
(3)∵3x－4y＝3lg3t－4lg4t＝eq \f(3lg t,lg 3)－eq \f(4lg t,lg 4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3lg 4－4lg 3,lg 3•lg 4)))·lg t＝eq \f(lg t,lg 3•lg 4) (lg 43－lg 34)．
而lg t>0，lg 3>0，lg 4>0，lg 43∴3x<4y.
又∵4y－6z＝2(2lg4t－3lg6t)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2lg t,lg 4)－\f(3lg t,lg 6)))＝eq \f(2lg t(2lg 6－3lg 4),lg 4•lg 6)＝eq \f(2lg t(lg 62－lg 43),lg 4•lg 6)，
而lg t>0，lg 4>0，lg 6>0，lg 62∴4y<6z.故有3x<4y<6z.