通关练34 条件概率和全概率公式-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

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一、单选题
1．（2023春·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期中）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选：D．
2．（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（ ）
A．0.275B．0.28C．0.32D．0.6
【答案】C
【分析】直接根据全概率公式计算得到答案.
【详解】.
故选：C
3．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，，， ，故，所以.
故选：B.
4．（2023春·江西宜春·高二宜春市第三中学校考期中）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，根据题意可得出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，
因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.
故选：B.
5．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可.
【详解】由题意知，，
所以
.
故选:B.
6．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率为（ ）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.05
【答案】B
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；表示买到一件次品，
由题意有，
由全概率公式，得

.
故选：B.
7．（2023春·河南焦作·高二统考期中）“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念．小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行．已知小红骑单车的概率为0.5，乘坐公共汽车的概率为0.4，步行的概率为0.1，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为0.9，0.9，0.8，则小红准时到校的概率是（ ）
A．0.9B．0.89C．0.88D．0.87
【答案】B
【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车、步行准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率.
【详解】小红上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，步行准时到校的概率为，因此小红准时到校的概率为：，
故选：B
8．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）甲盒中有2个红球和1个黄球，乙盒中有1个红球和2个黄球，丙盒中有1个红球和1个黄球．从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】事件从丙盒抽到的是红球可视为事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球，
事件甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，事件丙盒抽到红球，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，
丙盒抽到红球，事件甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的和事件，利用互斥
事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可.
【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为，
甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为，
因此丙盒中抽到的红球的概率为．
故选：A．
9．（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，，
记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到3号球的事件为B，
．
故选:C．
10．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期中）盲盒里有大小、形状完全相同的个绿球，个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，求出，利用全概率公式可求得的值.
【详解】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，
又因为从盲盒里每次取出个球的所有取法是，即基本事件总数为，
而从袋中每次取出个绿球的所有取法是，即事件所含基本事件数为，
所以掷出点，取出的球全是绿球的概率为，
所以，.
故选：B.
二、多选题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则A，B独立
C．若A，B独立，则D．
【答案】ABD
【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案.
【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确.
B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确.
C选项，若独立，则，C选项错误.
D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
所以，所以D选项正确.
故选：ABD
12．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则（ ）
A．P(AB)＝B．P(AB)＝
C．P(B)＝D．P(B)＝
【答案】AC
【详解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.
13．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据条件概率和独立事件概率公式依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，当事件为独立事件，则，故A错误；
对选项B，当事件为互斥事件时，，
故B错误；
对选项C，，故C正确；
对选项D，，故D正确.
故答案为：AB
14．（黑龙江大庆市2023届高三三模数学试题）已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【分析】由事件的包含关系、互相独立事件、互斥事件和条件概率的计算公式验证各选项.
【详解】解：对于A，因为，，，所以，故A错误；
对于B，因为与互斥，所以，故B正确；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；
对于D，因为与相互独立，所以与相互独立；因为，所以，所以，故D正确.
故选：BD
15．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）2023春节档期有《流浪地球2》，《满江红》，《深海》，《无名》，《交换人生》5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A：“《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场”，事件B：“《深海》是第一场”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件B包含144个样本点B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由条件求出样本空间的样本点的个数，再分别求事件所包含的样本点的个数，由此判断A，再利用古典概型概率公式及条件概率公式判断其余选项.
【详解】随机试验采用抽签法决定5部电影放映顺序有个样本点，
《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场的排法可分为两类
第一类，《满江红》排最后一场，其余4部电影在前4个位次全排列，共有种排法，
第二类，《满江红》不排在最后一场，先排《满江红》有种排法，再排《无名》有种排法，
再排其它影片有种排法，故第二类共有 种排法，
所以事件包含的样本点的个数为，
事件包含的样本点的个数为，所以A错误；
由古典概型概率公式可得，B正确；
《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场，且《深海》是第一场的排法可分为三步完成，
第一步先排《深海》排在第一场，只有一种方法；再在第二场到第四场中排《无名》有种方法，最后在剩余三个位次排列其它影片有种排法，
所以事件包含的样本点的个数为，
由古典概型概率公式可得，C正确；
由条件概率公式可得，D错误；
故选：BC.
16．（2023春·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．3次传球后球在甲手上的概率是
D．n次传球后球在甲手上的概率是
【答案】ACD
【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；
n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，
令，则于是得，
故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.
故选：ACD
17．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】CD
【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解
【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ,则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A错误
对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且
应用全概率公式, 有，故B错误
对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则
故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为 的口袋的概率最大.故C正确
对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确
故选：CD
18．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
【答案】ABC
【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.
【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确；
对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，，
故B选项正确；
对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，
记第二次抽到3号球的事件为，,
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，
即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；
故选：ABC.
三、填空题
19．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽．思原随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则____________．
【答案】
【分析】由题意求出，利用条件概率的公式求解.
【详解】思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，思原随机取出两个，共有种取法，
又事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，
，
所以.
故答案为：.
20．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期中）两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.
【答案】0.957/95.7%
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则，，
由全概率公式得：.
故答案为：0.957
21．（2023春·天津河东·高二统考期中）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为______.
【答案】/0.6
【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出概率作答.
【详解】不放回的逐一取球，在第一次取得红球的条件下，袋中还有2红3白的5个球，
从中任取1球，有5个基本事件，取到白球的事件含有3个基本事件，概率为，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为.
故答案为：
22．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件为“第四行有一个数字是1”，事件为“第三行有一个数字是2”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为_______.
【答案】/
【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.
【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.
当1在第四行时，第四行前3个数字选法，第三行前2个数字选法，第二行第1个数字选法.
当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法，第三行前2个数字选法，第二行第1个数字选法.
所以，
故答案为：.
23．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为______.
【答案】
【分析】由贝叶斯公式与全概率公式求解，
【详解】记三个笼子分别为，
若从一个笼子里拿出一只雄兔，则该笼子为的概率为，
该笼子为的概率为，该笼子为的概率为，
故此时再从从这个笼子里取出雄兔的概率为，
故答案为：
24．（2023春·天津南开·高二天津四十三中校考期中）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为___________；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为___________.
【答案】
【分析】由全概率公式与条件概率公式求解即可
【详解】设为甲厂产品，为乙厂产品，表示合格产品，则，，，，
所以，
灯泡是甲厂生产的概率为，
所以
故答案为：；
25．（2023春·福建漳州·高二校考期中）已知，，，则______.
【答案】
【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得
,
故答案为：
26．（2023春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考期中）核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同．现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是_____________．
【答案】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，
所取核桃为空壳为事件，则，，
所以该核桃是空壳的概率是，
故答案为：.
四、解答题
27．（2023春·山西吕梁·高二校考阶段练习）设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
【答案】(1)
(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
【详解】（1）取到次品的概率为
（2）若取到的是次品，则：
此次品由甲车间生产的概率为：.
此次品由乙车间生产的概率为：.
此次品由丙车间生产的概率为：.
28．（2023春·辽宁大连·高二大连市第一中学校考阶段练习）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
【答案】(1)0.86
(2)这件产品由丙厂生产的可能性最大
【分析】（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得；
（2）由贝叶斯公式计算可得，
【详解】（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
由全概率公式得P(A)＝ (Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
（2）由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
P(B3|A)＝＝＝.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．
29．（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1､2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱，问这一箱含有一个次品的概率是多少？（结果保留小数点后两位）
【答案】
【分析】设：从一箱中任取只检查，结果都是好的， “箱中恰有件残次品”， ，1，2，依题意求出，，，再由贝叶斯公式计算可得；
【详解】解：设：从一箱中任取只检查，结果都是好的， “箱中恰有件残次品”， ，1，2，已知、、，则，，，
由贝叶斯公式可得
30．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
(1)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；
（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．
∵，，
∴，
即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．
（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．
∵，，，
∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为
．
31．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X的分布列；
(2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）由题意分析出X的可能取值，分别求概率，写出分布列；
（2）对从甲盒所取出的2个小球颜色分类讨论，利用古典概型的概率公式计算概率，即可求解.
【详解】（1）由题意可知：X的可能取值为：0，1，2.
所以；；.
分布列为：
（2）i.若，则甲盒任取2白球放入乙盒，所以乙盒的小球4白3红，再从乙盒任取1球为红球的概率为；
ii. 若，则甲盒所取放入乙盒的两个小球为1白1红，所以乙盒的小球3白4红，再从乙盒任取1球为红球的概率为；
iii. 若，则甲盒任取2红球放入乙盒，，所以乙盒的小球2白5红，再从乙盒任取1球为红球的概率为.
所以从乙盒取出的1个球为红球的概率为.
32．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.
(1)不同的安排方法共有多少种？
(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.
(3)求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率.
【答案】(1)36
(2)
(3)
【分析】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，再进行全排列即可；
（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校共有办法，再除以安排方法的总数可得概率；
（3）先求出甲志愿者被安排到学校支教的方法数，在其中找到学校有两位志愿者的方法数，求其概率即可.
【详解】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，先选2人为一组，其余2人各自一组，则有种办法，再进行3个的全排列即可， 根据分步乘法计数原理
则共有种方法.
（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校，共有种方法，其余两人有种方法，
则以上共有种办法，
由（1）知甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教总共有36种方法.
则所求概率为.
（3）甲志愿者被安排到学校支教，若学校只有一个人，则需要把剩余3人分成两组，两组人员再分配到两所学校，则有种安排方法；
若学校有两个人，则需要从剩余3人选出1人去学校，另外2人去剩余的两所学校，共有种安排方法.
甲志愿者被安排到学校支教的方法数，
在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率为.
33．（2023春·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考期中）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．
(1)小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．
(2)小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，求小明做这道多项选择题得5分或2分的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全概率公式和条件概率公式即可求解；
（2）利用概率的加法公式和概率的乘法公式即可求解.
【详解】（1）事件A为“该单项选择题回答正确”，事件B为“小明知道该题的正确答案”，
∵，
∴，
即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为．
（2）设事件表示小明选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的，
∴；
；
小明做这道多项选择题得5分或2分的概率为.
34．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）(1)对于任意两个事件，若，，证明：；
(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？
【答案】(1)证明见解析；
(2) （i）；（ii）
【分析】(1)根据条件概率进行证明即可；(2)利用已知条件给的贝叶斯公式，以及条件概率的计算方法计算即可.
【详解】(1)因为，，所以
(2) （i）记检查结果呈阳性为事件A，被检查者患有肺癌为事件B，由题意可得：，，由贝叶斯公式得
，
因此某烟民的检查结果为阳性，他真的患有肺癌的概率是.
（ii）同（i），.
X
0
1
2
P