求数列的通项公式方法 专题讲义 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

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求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列满足：， 求；2.已知数列满足，求数列的通项公式； 3.数列满足=8， （），求数列的通项公式；4. 已知数列满足，求数列的通项公式；5.设数列满足且，求的通项公式6. 已知数列满足，求数列的通项公式。7.等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式8. 已知数列满足，求数列的通项公式；9.已知数列满足 （），求数列的通项公式；10.已知数列满足且（），求数列的通项公式；11. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；12.数列已知数列满足则数列的通项公式= （2）累加法1、累加法 适用于： 若，则 两边分别相加得 例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。2. 已知数列满足，求数列的通项公式。3.已知数列满足，求数列的通项公式。4.设数列满足，，求数列的通项公式（3）累乘法适用于： 若，则两边分别相乘得，例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。2.已知数列满足，，求。3.已知， ，求。（4）待定系数法 适用于解题基本步骤：1、确定2、设等比数列，公比为3、列出关系式4、比较系数求，5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例：1. 已知数列中，，求数列的通项公式。2.在数列中，若，则该数列的通项_______________3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足求数列的通项公式；4.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设5. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设6.已知数列中，,，求7. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 8. 已知数列满足，求数列的通项公式。递推公式为（其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为其中s，t满足9. 已知数列满足，求数列的通项公式。（5）递推公式中既有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式． 2.已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．3．已知数列中，前和 = 1 \* GB3 ①求证：数列是等差数列 = 2 \* GB3 ②求数列的通项公式4. 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。（6）根据条件找与项关系例1.已知数列中，，若，求数列的通项公式2.在数列中，（I）设，求数列的通项公式（7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。（8）对无穷递推数列消项得到第与项的关系例：1. 已知数列满足，求的通项公式。2.设数列满足，．求数列的通项；（8）、迭代法例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。（9）、变性转化法1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式例： 已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得 2、换元法 适用于含根式的递推关系例： 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则数列求和1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，例：1.已知等差数列满足，求前项和2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）A．9 B．10 C．11 D．123.已知等比数列满足，求前项和4.设，则等于（ ） A. B. C. D.2．错位相减法求和：如：例：1．求和 2.求和：3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， （Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 数列是等差数列，数列的前项和例：1.数列的前项和为，若，则等于（　B　）A．1 B． C． D．2.已知数列的通项公式为，求前项的和；3.已知数列的通项公式为，求前项的和．4.已知数列的通项公式为＝，设，求．5．求。6．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。4．倒序相加法求和例：1. 求2.求证：3．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：综合练习：1.设数列满足且（1）求的通项公式（2）设记，证明：2.等比数列的各项均为正数，且，（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前n项和3.已知等差数列满足, .(1)求数列的通项公式及 （2）求数列的前n项和4.已知两个等比数列，，满足，，，（1）若求数列的通项公式（2）若数列唯一，求的值5.设数列满足，（1）求数列的通项公式（2）令，求数列的前n项和6.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.7.已知等差数列满足：，的前n项和（1）求及（2）令（），求数列前n项和8．已知数列中，前和 = 1 \* GB3 ①求证：数列是等差数列 = 2 \* GB3 ②求数列的通项公式 = 3 \* GB3 ③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。9.数列满足=8， （），（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．