吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题(无答案)

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了已知，则等内容，欢迎下载使用。

高（一）年级期中考试
考试时长：120分钟 试卷总分：120分
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，且复数z满足，则（ ）
A．3B．C．5D．
2．已知向量，，且与平行，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
4．在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，若（m，），则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
6．如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为2．那么在它的原平面图形中，顶点对应的顶点B到x轴的距离是（ ）
A．1B．2C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有两个正确选项的，每选对一个得3分，有三个正确选项的，每选对一个得2分，有选错的得0分．
9．设，，为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则且B．若，则的最小值为
c．若，则D．若，则
10．十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形．求作一点．使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为废马点．已知在△ABC中，，，，CM是△ABC的角平分线，交AB于M，P为△AMC的费马点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________．
13．己知△ABC中，，点D满足，且对任意，恒成立，则________．
14．己知点D为△ABC所在平面内一点，且，则的取值范围是________；又已知△ABC的面积为1，则的最小值是________．
四、解答题：共计55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分8分）
已知，，其中，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分10分）
如图，在直角△ABC中，角A为直角，点M是AC边的中点，点P满足，点Q是BC边上的动点．
（1）若点Q是BC边上靠近C的三等分点，设，求的值；
（2）若，，求的取值范围．
17．（本小题满分10分）
已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式，并求在区间上的值域；
（2）若，且函数在区间上单调，求a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，．
（1）设单位向量，若与共线，且，求A；
（2）当且△ABC为斜三角形时：
（i）若，求B；
（ii）求的最小值．
19．（本小题满分15分）
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四个点E，F，G，H经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D．对于四个有序点A，B，C，D，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）证明：；
（2）已知，点B为线段AD的中点，，，求．