2023-2024学年广东省阳江市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省阳江市高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集的运算可得.
【详解】因为，所以，
又因为，所以．
故选：B
2．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举反例可判断选项A、B、C错误；利用作差法证明选项D正确．
【详解】当，，时，，故选项A错误；
当，，，时，，故选项B错误；
当，，，时，，故选项C错误；
因为，所以，
故，D选项正确．
故选：D．
3．当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式及一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】由题意可知，
当且仅当，即时取得等号，
故，即A正确；
故选：A
4．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，
所以
当且仅当，即时，等号成立．
故选：D．
5．下列不等式中，解集为R的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式性质判断A，利用特殊值判断BC，由判别式判断D．
【详解】选项A，，且，所以恒成立，A满足题意；
选项B，时，，B不符合题意；
选项C，时，，C不符合题意；
选项D，，因此不等式的解集不是R，不符合题意；
故选：A．
6．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用根式和分式有意义即可求解.
【详解】要使有意义，只需要，解得且，
所以的定义域为.
故选：D.
7．函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
8．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据待定系数法求解，即可代入求解.
【详解】设，则，
所以，故，
故选：C
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合，由可得，
则或或或，
当时，满足即可；
当时，需满足，解得：；
当时，需满足，解得：；
因为时有且只有一个根，所以.
所以的值可以为.
故选：ABD.
10．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【分析】根据二次函数、基本不等式等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，且，
A选项，，，
当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
，
当且仅当，时等号成立，所以B选项正确.
C选项，，
当且仅当，时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由于，所以由基本不等式得，
所以D选项正确.
故选：ABCD
11．若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为9
C．的最小值为D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】根据基本不等式“1”的妙用与逐项判断即可.
【详解】因为，均为正数，且，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，
而，均为正数，故等号不成立，所以D错误.
故选：BC.
12．函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．在单调递增C．D．
【答案】AC
【分析】由题设得且关于中心对称，求得，进而求参数a判断区间单调性，再由证得是的一个周期，根据周期性求.
【详解】∵是奇函数，则，
∴，故C正确；
又，故，
所以，即是的一个周期，故A正确；
由关于中心对称，即函数在上的单调性与上的单调性一致，
由，则时，，此时函数单调递减，即B错误；
由上知：，故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．已知集合，集合，若，则 .
【答案】
【分析】由交集定义分类讨论可得答案.
【详解】因为集合，，则，所以或，
则或或，
当时，集合，集合，此时，符合题意；
当时，集合，集合，此时，不合题意；
当时，集合，集合，此时，不合题意；
所以.
故答案为：
14．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．已知，则的最大值为 ．
【答案】1
【分析】根据基本不等式即可求出的最大值.
【详解】由题意，
在中，
，
当且仅当时取等号，
即，
故答案为：.
16．设函数则 .
【答案】1
【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.
【详解】当时，，
则.
故答案为：1
四、解答题
17．已知全集U=R，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）先求，再求其补集即可；
（2）按照集合B是否为空集分类讨论，建立不等式求解即可.
【详解】（1）当时，.
又因为集合，所以，
所以或.
（2）当时，，即，这时.
当时，有，解得.
综上，实数m的取值范围为.
18．已知函数.
(1)若，试讨论不等式的解集；
(2)若对于任意，恒成立，求参数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解；
（2）利用分离参变量的方法求解.
【详解】（1）若不等式，即，
①当时，不等式，解得，该不等式的解集为；
②当时，因式分解可得，
因为，不等式可变为，
（i）当即时，不等式的解集为；
（ii）当即时，不等式的解集为；
（iii）当即时，不等式的解集为；
综上所述：当时，该不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）对于，恒成立，
化简得在上恒成立，
设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴，
所以在上单调递增，，所以，
则的取值范围为.
19．已知二次函数.
(1)若的解集为，解关于的不等武；
(2)若不等式对恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的解求得的关系式，再解一元二次不等式求得正确答案.
（2）根据判别式列不等式，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）由于的解集为，
所以，则，
所以不等式可化为，
，解得，
所以不等武的解集为.
（2）依题意，不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，显然，
所以，即，则，
则，
若，则，此时.
所以，则，
所以，
所以，则，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
20．已知.
(1)若不等式的解集为，求实数、的值；
(2)若时，对于任意的实数，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题首先可根据题意得出方程的两根为、，然后通过计算并检验即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出，然后结合题意得出对于任意的实数都有，最后令，分为、、三种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）因为的解集为，，
所以方程的两根为、，
故，解得，
经检验：当、时，不等式的解集为.
（2）当时，，
对于任意的实数，都有，
即对于任意的实数，都有，
令，
当时，恒成立；
当时，函数是增函数，即，解得；
当时，函数是减函数，即，解得，
综上所述，，的取值范围为.
21．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）；
(2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
【答案】(1)方案一元升；方案二元升
(2)方案二比较经济划算，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果.
【详解】（1）第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，
所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
（2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
且，所以选择第二种加油方案比较经济划算.
22．设，，函数.
(1)求关于的不等式解集；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）由题可得，然后分类讨论即得；
（2）根据二次函数的性质结合条件可得，进而即得.
【详解】（1）因为，又，，
的解集等价于的解集，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；
（2）因为，，，函数的对称轴为，抛物线开口向下，
又在上的最小值为，
，即，
，即的取值范围为.