2022-2023学年广东省阳江市第一中学高一上学期期中数学试题A（解析版）

2022-2023学年广东省阳江市第一中学高一上学期期中数学试题A

一、单选题

1．已知集合,，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集的概念可求出结果.

【详解】，

.

故选：D

2．已知向量，且，则（    ）

A． B．15 C． D．

【答案】A

【分析】利用两向量平行的坐标表示，列出方程求解即可.

【详解】向量，且

解得：

故选：A.

3．水平放置的平面四边形的斜二测直观图为一个边长为4，其中一个夹角为的菱形，则四边形的实际周长为（    ）

A．16 B．20 C．24 D．28

【答案】C

【分析】根据斜二测画法可知，平面四边形是一个长为，宽为的矩形，由此可求出结果.

【详解】根据斜二测画法可知，平面四边形是一个长为，宽为的矩形，

所以四边形的实际周长为.

故选：C

4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ）

A． B．4 C． D．2

【答案】A

【分析】利用正弦定理角化边，然后联立解方程求出与的值，进而得出.

【详解】由正弦定理得：，

即：

又 ，

故选：A.

5．若，则（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】D

【分析】由正切两角差的公式直接求解.

【详解】.

故选:D

6．已知圆锥的底面积为，高为4，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆的面积公式，结合勾股定理、圆锥的侧面积公式进行求解即可.

【详解】由题意得，圆锥底面圆的半径，则母线长，所以圆锥的侧面积为，

故选：B

7．在平行四边形中，，若的中点为E，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的加法和数乘运算可求出结果.

【详解】.

故选：D

8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则边上的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】已知两边和夹角，利用余弦定理求出的长，然后根据面积相等解出边上的高即可.

【详解】在中，，由余弦定理得：

解得：

设边的高为，

即 解得：

故选：D.

二、多选题

9．已知复数z满足，则z可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】设，由可求出结果.

【详解】设，

则，解得或，

所以或.

故选：AC

10．已知平面内三点，，，则（    ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】BCD

【分析】由题意可求得向量的坐标，由此判断A;计算，判断B;根据向量坐标，求出，判断C;利用向量的夹角公式求得与的夹角，判断D.

【详解】由题意得向量，，，故A错误；

因为，所以，B正确.

因为，所以，C正确.

因为，

因为，所以与的夹角为，D正确.，

故选：BCD

11．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线（    ）

A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】AD

【分析】根据三角函数的图象的周期变换、相位变换的结论以及诱导公式进行求解可得答案.

【详解】对于A，把余弦曲线的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，再将其向右平移个单位长度，得到的图象，故A正确；

对于B，把余弦曲线的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，故B不正确；

对于C，把余弦曲线的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C不正确；

对于D，把余弦曲线的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，故D正确；

故选：AD

12．在中，，则（    ）

A． B．

C． D．的面积为

【答案】ABD

【分析】根据正弦定理可判断A正确；利用及，结合两角和的正弦公式可判断故B正确；根据，利用二倍角的余弦公式可判断C不正确；根据，求出和，再根据三角形的面积公式可判断正确.

【详解】因为，所以，

由正弦定理得，故A正确；

因为，所以，

则，即，则，故B正确；

因为，所以，故C不正确；

因为，所以，

所以

，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．若函数在上为奇函数，则___________.

【答案】

【分析】利用区间关于原点对称求出，再根据恒成立求出，即可得解.

【详解】因为函数在上为奇函数，

所以，得，

又，即，即恒成立，

所以，所以.

故答案为：.

14．一艘轮船从A地开往北偏西方向上的B地执行任务，完成任务后开往北偏东方向上的C地，轮船总共航行了，若C地在A地北偏东的方向上，则A，B两地相距约为___________.（结果保留整数，参考数据：）

【答案】400

【分析】由题意根据方位角得出三角形的三个内角，设，则，由正弦定理可求解.

【详解】由题意，作图如图所示.

所以

设，则

由正弦定理可得,所以

所以

故答案为：400

15．在钝角中，内角的对边分别为，，且，则的一个值可以为___________.

【答案】6（答案不唯一，均可）

【分析】根据已知条件判断出必为钝角，由得，即，再根据，得到，然后在这个范围内任取一个值，即可得解。

【详解】因为，由正弦定理得，

所以，所以不是钝角，

又，所以，所以也不是钝角，故必为钝角，

从而，所以，则，

又，所以.

故答案为：6（答案不唯一，均可）

四、双空题

16．已知复数z满足，则___________，___________.

【答案】         

【分析】根据等式求出复数，得到的复数化简后得到结果，再直接利用模长公式求解即可.

【详解】

故答案为：；.

五、解答题

17．已知复数.

(1)若z为纯虚数，求m的值；

(2)若复数的实部与虚部之和为14，求m的值.

【答案】(1)5

(2)1

【分析】（1）先将复数进整理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案.

(2)先化简复数，得出实部与虚部，从而求出答案.

【详解】（1）

由z为纯虚数，则，解得（舍去）

（2）

所以，解得

18．已知向量满足，且.

(1)求；

(2)记向量与向量的夹角为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积的定义求出，进而求出；

（2）利用夹角公式求出.

【详解】（1）因为，所以.

因为向量满足，所以，所以.

所以.

（2）因为，

所以.

19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B的大小；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据余弦定理角化边得到，再根据余弦定理可求出结果；

（2）由以及求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.

【详解】（1）由及余弦定理得，化简得，

所以，

又，所以.

（2）由（1）知，，

所以，所以，所以，

所以的面积.为.

20．已知是定义在上的偶函数，当时，.

(1)求的解析式并指出的单调区间；

(2)求的解集.

【答案】(1)；的增区间为；减区间为

(2)

【分析】（1）根据偶函数的定义先求出时，的解析式，得出函数的解析式；由时，函数为增函数，再由函数为偶函数得出上的单调性.

（2）由为偶函数，结合条件可得，由单调性从而可得，解出不等式可得答案.

【详解】（1）当时，则，又为偶函数

所以

所以

函数在上均为增函数，则函数在上均为增函数

又为偶函数，则在上单调递减.

所以的增区间为；减区间为

（2）由为偶函数，则，即

根据在上单调递增，所以

所以且 ，即且

解得：或，且

所以不等式的解集为

21．如图，在平行四边形中，E为的中点，与交于点G.

(1)用表示.

(2)若，四边形的面积为，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形相似得到，得到，再根据减法运算可得结果；

（2）根据平行四边形的面积求出，将和用表示，求出，再用不等式知识可求出结果.

【详解】（1）依题意可知，与相似，所以，

所以，所以.

（2）因为，四边形的面积为，

所以，所以，

因为，所以，

所以，

，

所以

，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

22．如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧形小路上取两点A，B，准备分别以A，B两处为入口，在河岸内侧建造两条玻璃栈道，，并在两条栈道的终点P处建造一个观景台，已知弧所对的圆心角为.

(1)若为等腰直角三角形，且为斜边，求的面积；

(2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1200元/米，试问当时，修建两条玻璃栈道最多共需要多少万元？

【答案】(1)平方米.

(2)万元.

【分析】（1）根据圆心角和半径求出弦长，根据等腰直角三角形求出直角边，再根据面积公式求出面积.

（2）设，，利用正弦定理求出、，在求出的最大值，然后乘以即可得解.

【详解】（1）因为弧所对的圆心角为，圆的半径为500，所以米，

又为等腰直角三角形，且为斜边，所以米，

所以的面积为平方米.

（2）设，，

由正弦定理得，得，

由正弦定理得，得，

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值为米，

所以修建两条玻璃栈道最多共需要万元.