2023-2024学年广东省六校高一上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省六校高一上学期期中联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果.
【详解】，.
故选：C.
2．若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，即，所以，故B正确；
当时，
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
5．已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】由是幂函数，可得，，即，，
又由点在一次函数的图像上，所以，
因为，，所以由基本不等式，得
，
当且仅当时取等号，即当，时，，
故选：B.
6．“”是“函数是定义在上的增函数”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求得分段函数在上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择.
【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是：
，解得.
又是的真子集，
故“”是“函数是定义在上的增函数”的必要不充分条件.
故选：.
7．新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防技工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（ ）
A．30分钟B．60分钟C．90分钟D．120分钟
【答案】B
【分析】先求出函数的表达式，再令即可求解
【详解】由题意可知：，
又图象过点，则，解得，
所以，
当时，令，解得，
故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟时间进行教室消毒，
故选：B
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.
【详解】函数的定义域为，
且，即是偶函数，
当时，，
构造，，
令，则在上单调递增，又也是增函数，
则在上单调递增，
又是定义域内的增函数，故在上单调递增，
不等式等价于，
即，平方得：，解得且，
则不等式的解集为.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.
【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，若命题“，”为假命题，
则方程无解，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，故B正确；
对于C，当时，，则由不能推出，
所以“”的充要条件不是“”，故C错误；
对于D，若，则，
故由可以推出，
若当时，，则由不可以推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD.
10．下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．奇函数和偶函数的定义域都为R，则函数为奇函数
C．不等式对恒成立，则实数k的取值范围是
D．若，使得成立，则实数m的取值范围是
【答案】BD
【分析】令，求出，即可判断A；利用函数的奇偶性即可判断B；根据带参数的不等式对参数进行分类讨论即可判断C；先进行变量分离，然后根据能成立的条件即可判断D.
【详解】对于选项A：令，则，故，故，故A错误；
对于选项B：因为，所以，所以函数为奇函数，故B正确；
对于选项C：当时，，故对恒成立；
当时，对恒成立可知：
解得：，综上可知，故实数k的取值范围是，故C错误；
对于选项D：，故，
故只要，当时，，则，故D正确；
故选：BD
11．已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是9D．的最小值是
【答案】BC
【分析】根据基本不等式即可逐一求解.
【详解】由，得，当且仅当时等号成立，故A错误，
由于，所以，当且仅当时等号成立，故B正确，
，，当且仅当时等号成立，故C正确，
，故D错误，
故选：BC
12．函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数
B．函数的图像的对称中心为
C．函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数
D．函数的图像关于直线对称
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形，
则有
函数为奇函数，则有，
即有
所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是
为为奇函数，A正确；
对于B,，则
因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确；
对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是，
即函数是偶函数，因此C不正确；
对于D，，
则，
则，
所以关于对称，D正确
故选:ABD.
三、填空题
13．定义在上的函数，当时，．若函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性（对称性）求得正确答案.
【详解】函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以关于对称，即，
所以.
故答案为：
14．方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．
【详解】∵方程 的一根大于1，另一根小于1，
令，
则，
解得.
故答案为：.
15．已知函数,若恒成立,则实数m的最小值是 .
【答案】
【分析】对进行换元,注意新元范围,原题就转化为,根据对称轴,只需分类讨论新元的范围和对称轴的关系,求出所对应的,让,求出m的取值范围即可找出最值.
【详解】解:由题知令,
要想恒成立,只需即可,
因为对称轴为,
(1) 时,
当单调递减,单调递增,
所以,与矛盾,舍;
(2) 时,
当单调递增,
所以,
解得(舍)或
故,
综上: m的最小值是.
故答案为：
16．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，所以不等式可化为，
设，，则，则，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根据集合交并补运算求解即可；
（2）由题知，进而解不等式即可得答案.
【详解】（1）当时，，又因为，
所以或，所以，．
（2）因为，集合，或，
所以解得．所以实数的取值范围为．
18．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）1；（2）65.
【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
19．已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性（不必证明）；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)单调递增
(3)
【分析】（1）根据求出，再由奇函数的定义验证即得；
（2）根据指数函数的单调性即得；
（3）根据函数的奇偶性及单调性可得，解不等式即得.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，
所以；
（2）在上单调递增；
理由如下：因为，
函数单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增；
（3）因为为奇函数，可得，
又在上单调递增，所以，
解得，
所以原不等式的解集为.
20．已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比,对该种矿石加工时,有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石,在切割过程中的重量损耗忽略不计,但矿石的价值会损失.
(1)把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石时,价值损失率为37.5%,求x的值;
(2)把一块该种矿石切割成两块矿石时,价值损失率最大值是多少？
（注：价值损失率=）
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)根据题意设出稀有矿石的价值与其重量的函数解析式,根据公式,列出关于价值损失率的等式,求出的值;
(2)不妨设切割成两块矿石时,一块重量为,一块重量为,根据公式列出等式,求出最值.
【详解】（1）解:由题知,不妨设稀有矿石的价值为,其重量为,,
由题知,两块矿石的重量为和,
因为价值损失率为37.5%,
即,
即,故或;
（2）由(1)知,不妨设切割成两块矿石时,一块重量为,一块重量为,
根据公式价值损失率=,
当且仅当时价值损失率取得最大值,最大值为.
21．已知函数，.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1），使得成立，即在区间上，利用单调性求函数最大值即可.
（2）不等式等价于，讨论a的正负以及对应方程两根的大小，求出解集.
【详解】（1）为二次函数，在上是减函数，在上是增函数，所以，，
由于在上是增函数，所以，，
由于，，使得，
所以，所以，即，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，由可得：，即，
令，则或.
讨论如下：①当时，，原不等式的解集为；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为.
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
22．定义在上的奇函数其中，且，其中是自然对数的底数，.
(1)当时，求函数的解析式；
(2)若存在，满足，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；
（2）由函数解析式，根据的范围分类讨论：，，，分别得出的关系，把化为的函数，从而得其范围．
【详解】（1）是奇函数
，则.
当时，
又是奇函数，则
当时，
又是奇函数，则
因为是定义在上的奇函数，则.
故,
（2）若，则由，有，且，
从而有
若，则由，有，而
所以等式不成立.
若，则由，有，即，且
从而有
综上：的取值范围为