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2023-2024学年贵州省毕节市威宁县第八中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年贵州省毕节市威宁县第八中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合的并交补运算求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：A
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题判断.
【详解】由特称命题的否定是全称命题可得，“”的否定为“”.
故选：B
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先把化简，再利用充分条件和必要条件的定义域进行判断即可
【详解】解：由，得，
因为当时，不一定成立，
当时，一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
4．函数图像关于轴对称，且在上单调递增，则在上（ ）
A．单调递增；函数是偶函数B．单调递减；函数是偶函数
C．单调递增；函数是奇函数D．单调递减；函数是奇函数
【答案】B
【解析】根据奇偶性的定义判断函数是偶函数，由偶函数的性质判断单调性.
【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数
函数在上单调递增，结合对称性可知在上单调递减
故选：B
5．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】的对称轴为，
要想函数在区间上是减函数，则，
解得，
故选：D
6．已知则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】先求，再求，最后求即可.
【详解】，所以，
，所以，
故选D.
7．函数的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据定义域为可排除选项；根据，函数值与对比递从而可得结果.
【详解】函数的定义域为，
且此函数在定义域上是增函数，排除，
另外，时，，
所以时，函数图象要在的下方，
排除选项，故选B.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查幂函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
8．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】时，所以，单调递增，是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由得，即，解得．
二、多选题
9．下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BD
【解析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可判断.
【详解】对于A，，对应关系不一致，故A错误；
对于B，和的定义域都为，且，对应关系一致，故B正确；
对于C，满足，故的定义域为，满足，解得或，即的定义域为，定义域不一致，故C错误；
对于D，和的定义域都为，且，，对应关系一致，故D错误.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：判断两个函数是否同一个函数的方法：先求出函数的定义域，判断定义域是否相同，再化简判断函数的对应关系是否一致.
10．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C．
【详解】由题意可知，A选项正确；
是方程的两根，
则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确．
故选：ABD．
11．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD,根据特殊值法可判断BC.
【详解】对于A，
，所以，所以，所以，故选项A一定不成立；
对于B，不妨取，，则，故选项B可能成立；
对于C，不妨取，，则，故选项C可能成立；
对于D，，故，故选项D一定不成立；
故选：AD．
12．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（ ）
A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了
D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了1.8吨
【答案】ABD
【解析】由分段函数图像，可以读出各段上对于变化状态.
【详解】本题考查统计图的应用.由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所是加速增长，所以选项A正确；
当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；
当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；
当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D正确.
故选:ABD.
【点睛】由函数图像分析要注意以下量：.此题为基础题.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】解：由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．已知幂函数为奇函数，则实数 .
【答案】2
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】为幂函数，
，
解得：或；
当时，，不是奇函数，不满足题意；
当时，，是奇函数，满足题意；
综上所述：；
故答案为：2.
15．求函数单调递增区间 .
【答案】
【解析】由二次函数、幂函数的单调性判断复合函数的单调区间.
【详解】令，且开口向上，
∴在上单调递减，在上单调递增；
又∵在单调递增，
∴综上知：在上单调递减，在上单调递增；
故答案为：.
【点睛】结论点睛：复合函数单调性判断，注意口诀“同增异减”，
1、当内外层函数为同增或同减时，复合函数为增函数；
2、当内外层函数一增一减时，复合函数为减函数.
16．已知条件和条件，则使是的充分不必要条件的最小正整数 .
【答案】
【解析】解不等式和不等式，根据是的充分不必要条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围即可得解.
【详解】解不等式，可得或.
，解不等式，即或，解得或.
因为是的充分不必要条件，则或或，
所以，解得，
，所以，满足条件的正整数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，全集，
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）=
【详解】试题分析：（1）化简集合A,B后，根据交集的定义即可求出；（2）根据补集及交集的定义运算.
试题解析：
（1）
（2）
=
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
18．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
19．已知函数.
（1）当函数是偶函数时，解不等式；
（2）当，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由偶函数可得，即可解出不等式；
（2）讨论对称轴的范围结合二次函数的性质可求解.
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，
所以，
∴，即，解得，
∴解集为.
（2）由题意得的对称轴为，
①当，即时，，
②当，即时，，
③当，即时，，
∴.
20．如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.
(1)求的值；
(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；
(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.
【答案】(1)1
(2)
(3)最大值为分米，此时.
【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；
（2）利用基本不等式求出的最小值即可；
（3）利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，则，
整理可得；
（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，
因为，则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，剩下木板的面积最大；
（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.
21．已知函数是上的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数在上单调性；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）最大值为1，最小值为.
【详解】试题分析：（1）依据偶函数的定义建立方程求出实数的值；（2）先取特殊值判断其单调性，然后再运用单调性的定义及差比法进行推理和证明；（3）借助（2）中的单调性结论及函数的对称性进行推断和探求最大、小值．
试题解析：
（1）若函数是上的偶函数，则，
即，对任意实数恒成立，解得.
（2）由（1）得：，
函数在上为增函数，下证明：
设任意且，即
则
∵且，
∴，即，
于是函数在上为增函数.
（3）由（2）知，函数在上为增函数，
又是偶函数，则在上为减函数，
又，，，
所以的最大值为1，最小值为．
点睛：本题设置的目的旨在考查函数的单调性、奇偶性、最大最小值等函数的基本性质，同时也在检测运算求解能力、推理论证能力等基本能力．求解第一问时，直接依据偶函数的定义建立方程进行求解；第二问的解答，则是依据函数的单调性的定义进行分析推证，从而证得函数的单调性的正确性；第三问的求解是直接借助函数单调性进行分析求解．
22．已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.
（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；
（2）若为函数的一个“和谐区间”，求的值；
（3）求函数的所有的“和谐区间”.
【答案】（1）、、；（2）；（2）和.
【解析】（1）本题可令，解得或，然后根据函数的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；
（2）本题首先可将函数转化为，然后令，解得或，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果；
（3）本题可令，解得或，然后结合函数图像即可得出结果.
【详解】（1）函数是增函数，定义域为，
令，解得或，
故函数的所有“和谐区间”为、、.
（2）因为，所以，
因为为函数的一个“和谐区间”，
所以可令，解得或，
如图所示，绘出函数图像：
结合“和谐区间”的定义易知，当时满足题意，
故的值为.
（3）函数，定义域为，
令，解得或，
如图所示，绘出函数图像：
结合图像易知，函数的所有“和谐区间”为和.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合的并交补运算求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：A
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题判断.
【详解】由特称命题的否定是全称命题可得，“”的否定为“”.
故选：B
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先把化简，再利用充分条件和必要条件的定义域进行判断即可
【详解】解：由，得，
因为当时，不一定成立，
当时，一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
4．函数图像关于轴对称，且在上单调递增，则在上（ ）
A．单调递增；函数是偶函数B．单调递减；函数是偶函数
C．单调递增；函数是奇函数D．单调递减；函数是奇函数
【答案】B
【解析】根据奇偶性的定义判断函数是偶函数，由偶函数的性质判断单调性.
【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数
函数在上单调递增，结合对称性可知在上单调递减
故选：B
5．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】的对称轴为，
要想函数在区间上是减函数，则，
解得，
故选：D
6．已知则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】先求，再求，最后求即可.
【详解】，所以，
，所以，
故选D.
7．函数的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据定义域为可排除选项；根据，函数值与对比递从而可得结果.
【详解】函数的定义域为，
且此函数在定义域上是增函数，排除，
另外，时，，
所以时，函数图象要在的下方，
排除选项，故选B.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查幂函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
8．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】时，所以，单调递增，是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由得，即，解得．
二、多选题
9．下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BD
【解析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可判断.
【详解】对于A，，对应关系不一致，故A错误；
对于B，和的定义域都为，且，对应关系一致，故B正确；
对于C，满足，故的定义域为，满足，解得或，即的定义域为，定义域不一致，故C错误；
对于D，和的定义域都为，且，，对应关系一致，故D错误.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：判断两个函数是否同一个函数的方法：先求出函数的定义域，判断定义域是否相同，再化简判断函数的对应关系是否一致.
10．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C．
【详解】由题意可知，A选项正确；
是方程的两根，
则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确．
故选：ABD．
11．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD,根据特殊值法可判断BC.
【详解】对于A，
，所以，所以，所以，故选项A一定不成立；
对于B，不妨取，，则，故选项B可能成立；
对于C，不妨取，，则，故选项C可能成立；
对于D，，故，故选项D一定不成立；
故选：AD．
12．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（ ）
A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了
D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了1.8吨
【答案】ABD
【解析】由分段函数图像，可以读出各段上对于变化状态.
【详解】本题考查统计图的应用.由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所是加速增长，所以选项A正确；
当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；
当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；
当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D正确.
故选:ABD.
【点睛】由函数图像分析要注意以下量：.此题为基础题.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】解：由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．已知幂函数为奇函数，则实数 .
【答案】2
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】为幂函数，
，
解得：或；
当时，，不是奇函数，不满足题意；
当时，，是奇函数，满足题意；
综上所述：；
故答案为：2.
15．求函数单调递增区间 .
【答案】
【解析】由二次函数、幂函数的单调性判断复合函数的单调区间.
【详解】令，且开口向上，
∴在上单调递减，在上单调递增；
又∵在单调递增，
∴综上知：在上单调递减，在上单调递增；
故答案为：.
【点睛】结论点睛：复合函数单调性判断，注意口诀“同增异减”，
1、当内外层函数为同增或同减时，复合函数为增函数；
2、当内外层函数一增一减时，复合函数为减函数.
16．已知条件和条件，则使是的充分不必要条件的最小正整数 .
【答案】
【解析】解不等式和不等式，根据是的充分不必要条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围即可得解.
【详解】解不等式，可得或.
，解不等式，即或，解得或.
因为是的充分不必要条件，则或或，
所以，解得，
，所以，满足条件的正整数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，全集，
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）=
【详解】试题分析：（1）化简集合A,B后，根据交集的定义即可求出；（2）根据补集及交集的定义运算.
试题解析：
（1）
（2）
=
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
18．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
19．已知函数.
（1）当函数是偶函数时，解不等式；
（2）当，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由偶函数可得，即可解出不等式；
（2）讨论对称轴的范围结合二次函数的性质可求解.
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，
所以，
∴，即，解得，
∴解集为.
（2）由题意得的对称轴为，
①当，即时，，
②当，即时，，
③当，即时，，
∴.
20．如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.
(1)求的值；
(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；
(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.
【答案】(1)1
(2)
(3)最大值为分米，此时.
【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；
（2）利用基本不等式求出的最小值即可；
（3）利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，则，
整理可得；
（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，
因为，则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，剩下木板的面积最大；
（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.
21．已知函数是上的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数在上单调性；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）最大值为1，最小值为.
【详解】试题分析：（1）依据偶函数的定义建立方程求出实数的值；（2）先取特殊值判断其单调性，然后再运用单调性的定义及差比法进行推理和证明；（3）借助（2）中的单调性结论及函数的对称性进行推断和探求最大、小值．
试题解析：
（1）若函数是上的偶函数，则，
即，对任意实数恒成立，解得.
（2）由（1）得：，
函数在上为增函数，下证明：
设任意且，即
则
∵且，
∴，即，
于是函数在上为增函数.
（3）由（2）知，函数在上为增函数，
又是偶函数，则在上为减函数，
又，，，
所以的最大值为1，最小值为．
点睛：本题设置的目的旨在考查函数的单调性、奇偶性、最大最小值等函数的基本性质，同时也在检测运算求解能力、推理论证能力等基本能力．求解第一问时，直接依据偶函数的定义建立方程进行求解；第二问的解答，则是依据函数的单调性的定义进行分析推证，从而证得函数的单调性的正确性；第三问的求解是直接借助函数单调性进行分析求解．
22．已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.
（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；
（2）若为函数的一个“和谐区间”，求的值；
（3）求函数的所有的“和谐区间”.
【答案】（1）、、；（2）；（2）和.
【解析】（1）本题可令，解得或，然后根据函数的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；
（2）本题首先可将函数转化为，然后令，解得或，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果；
（3）本题可令，解得或，然后结合函数图像即可得出结果.
【详解】（1）函数是增函数，定义域为，
令，解得或，
故函数的所有“和谐区间”为、、.
（2）因为，所以，
因为为函数的一个“和谐区间”，
所以可令，解得或，
如图所示，绘出函数图像：
结合“和谐区间”的定义易知，当时满足题意，
故的值为.
（3）函数，定义域为，
令，解得或，
如图所示，绘出函数图像：
结合图像易知，函数的所有“和谐区间”为和.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.
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