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2023-2024学年安徽省安庆市第一中学高一上学期第一次阶段性检测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年安徽省安庆市第一中学高一上学期第一次阶段性检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若关于x的不等式的解集是或，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.
【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，
所以关于x的方程的根为或，
所以，
所以.
故选：A
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】解不等式得到，或，求出交集.
【详解】，
等价于，解得或，
故或，
所以.
故选：B
3．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含关系得出结果.
【详解】设，
或，
所以，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．命题“，是奇函数”的否定是（ ）
A．，是偶函数B．，不是奇函数
C．，是偶函数D．，不是奇函数
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.
故选：B.
5．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令求，再利用不等式的性质求的取值范围.
【详解】令，
∴，即，
∴，故.
故选：D
6．若a，R，记，则函数(R)的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．3
【答案】C
【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.
【详解】比较函数与函数值的大小，取较小值，得到如图所示的图像：
当时，令，则解得，；
当时，令，则，解得，
所以函数与的交点坐标为，
，
由图可知时，函数有最大值1.
故选：C.
7．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知当时，，进而结合递推即可得当时，．
【详解】解：当时，，
易知当时，，
因为，所以，
所以当时，；当时，，综上，当时，．
故选：D．
8．已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案.
【详解】取，则，即，
故在上单调递减，
，
解得，
从而，即，则，
解得
所以原不等式的解集是．
故选：D.
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；
对于B，显然，则，则，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，同理可得，
即，故C正确；
对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．
故选：BC
10．“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出“方程没有实数根”时，实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若方程没有实数根，则，解得，
因为，，，
，
所以，“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是、，
故选：BC.
11．已知函数为R上的单调函数，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】AC
【分析】由已知在上单调，讨论，并确定的可能范围，结合一次函数性质，分段函数的单调性列不等式求的范围.
【详解】因为函数为R上单调函数，所以函数在上单调，
当时，在单调递增，
又在上单调递减，与已知矛盾；
当时，由函数在上单调，
可得，且函数在上单调递增，
所以函数为R上的单调递增函数，
所以，所以，
故选：AC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域可以是空集
B．函数图像与y轴最多有一个交点
C．函数的单调递增区间是
D．若，则定义域、值域分别是，
【答案】BD
【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；
对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；
对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；
对于D，若，则定义域满足，解得，
即函数定义域为，又，，
所以，即函数的值域为，D正确；
故选：BD．
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】
【分析】利用换元法，令，则，然后代入即可求解.
【详解】令，则，，
所以，，
所以，
故答案为：
14．若的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】结合抽象函数定义域的求法可得答案.
【详解】由已知可得，解得，
则函数的定义域为,
故答案为：,
15．设,则的最大值为 ．
【答案】
【详解】由两边同时加上
得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）
故填：.
【解析】基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
16．若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则
（1）是E的第____个子集；
（2）E的第211个子集是_______
【答案】5，
【详解】（1）由题意新定义知，中，，，故第一空应填5；
（2）因为，所以E的第211个子集包含，此时211-128=83；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3；
又因为，，所以E的第211个子集包含，
此时3-2=1；因为，所以E的第211个子集包含；
故E的第211个子集是．故第二空应填．
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将代入，求出集合，，再根据并集的定义求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）解：当时，，
所以或，
所以或= 或；
（2）解：因为，
当， 即， 时，因为，不满足题意；
当时，则有，解得；
综上所述，实数m的取值范围为.
18．已知
(1)函数的值域；
(2)用定义证明在区间上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最大值，最小值
【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，
（3）由在上递增，可求得其最值.
【详解】（1）由题意，函数，
因为，所以，
所以的值域为．
（2）任取，，且，
则，
，
，，
，
即，
故函数在区间上是增函数．
（3）由知函数在区间上是增函数，
，．
19．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔t满足：，其中．
(1)求，并说明的实际意义；
(2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【答案】(1)，的实际意义为发车时间间隔为5分钟时，载客量为35
(2)当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【分析】（1）代入计算，实际意义即题设中的说明；
（2）求出净收益函数，分段说明函数的单调性得最小值，比较后即得结论．
【详解】（1）．
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．
（2），
∴当，，，
对，，设，，，
，，在上是增函数，因此是减函数，
∴t＝5时，y的最大值为．
当，时，，该函数在区间上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值18.8．
综上，当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元．
五、问答题
20．设函数的最小值为.
(1)求的值；
(2)若，，为正实数，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，先求出的分段函数，画出函数图象，结合图象进行分类讨论，即可得出结果；
（2）根据已知条件，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1），画出函数的图象，如下图：
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，取最小值.
（2）由（1）可知，
因为，，为正实数，
则
当且仅当，即，，时取等号，
所以的最小值为.
六、解答题
21．已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．
(1)分别求函数和的解析式；
(2)设，，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；
（2）求出，分、、讨论可得答案.
【详解】（1）定义在上的函数满足①，
可得②，
由①②可得；
设二次函数，
因为的最小值为，且，
所以，解得，
可得；
（2）
，
当时，在上单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，
当时，所以，
所以．
22．1.若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．
(1)判断函数是否为P函数，并说明理由；
(2)是否存在实数a使得函数为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不是P函数，理由见解析
(2)存在，a=1
【分析】（1）先根据函数特征为第一象限的双曲线的一支，且m，n为整数，得出，mn＞1，再根据函数单调性，得出mn＝1，推出矛盾，从而作出判断；（2）由二次函数的图象特点可知，要想函数为P函数，整数m，n是方程的两个根，且，从而得到m（1－n）＝1，从而得到m，n的值，a的值
【详解】（1）函数不是P函数，理由如下：
因为m，n为整数，由题意可知，即mn＞1，
令，即，解得，
若函数为P函数，
则，即mn＝1，而mn＞1，所以不存在这样的m，n，
所以函数不是P函数；
（2）因为关于x的不等式的解集恰为[m，n]
所以，即
将①代入③得，m（1－n）＝1
又m，n为整数，m＜n，所以，解得，此时a＝1，满足题意，
综上所述，存在实数a使得函数为P函数，a＝1
一、单选题
1．若关于x的不等式的解集是或，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.
【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，
所以关于x的方程的根为或，
所以，
所以.
故选：A
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】解不等式得到，或，求出交集.
【详解】，
等价于，解得或，
故或，
所以.
故选：B
3．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含关系得出结果.
【详解】设，
或，
所以，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．命题“，是奇函数”的否定是（ ）
A．，是偶函数B．，不是奇函数
C．，是偶函数D．，不是奇函数
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.
故选：B.
5．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令求，再利用不等式的性质求的取值范围.
【详解】令，
∴，即，
∴，故.
故选：D
6．若a，R，记，则函数(R)的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．3
【答案】C
【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.
【详解】比较函数与函数值的大小，取较小值，得到如图所示的图像：
当时，令，则解得，；
当时，令，则，解得，
所以函数与的交点坐标为，
，
由图可知时，函数有最大值1.
故选：C.
7．已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知当时，，进而结合递推即可得当时，．
【详解】解：当时，，
易知当时，，
因为，所以，
所以当时，；当时，，综上，当时，．
故选：D．
8．已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案.
【详解】取，则，即，
故在上单调递减，
，
解得，
从而，即，则，
解得
所以原不等式的解集是．
故选：D.
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；
对于B，显然，则，则，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，同理可得，
即，故C正确；
对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．
故选：BC
10．“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出“方程没有实数根”时，实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若方程没有实数根，则，解得，
因为，，，
，
所以，“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是、，
故选：BC.
11．已知函数为R上的单调函数，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】AC
【分析】由已知在上单调，讨论，并确定的可能范围，结合一次函数性质，分段函数的单调性列不等式求的范围.
【详解】因为函数为R上单调函数，所以函数在上单调，
当时，在单调递增，
又在上单调递减，与已知矛盾；
当时，由函数在上单调，
可得，且函数在上单调递增，
所以函数为R上的单调递增函数，
所以，所以，
故选：AC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域可以是空集
B．函数图像与y轴最多有一个交点
C．函数的单调递增区间是
D．若，则定义域、值域分别是，
【答案】BD
【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；
对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；
对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；
对于D，若，则定义域满足，解得，
即函数定义域为，又，，
所以，即函数的值域为，D正确；
故选：BD．
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】
【分析】利用换元法，令，则，然后代入即可求解.
【详解】令，则，，
所以，，
所以，
故答案为：
14．若的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】结合抽象函数定义域的求法可得答案.
【详解】由已知可得，解得，
则函数的定义域为,
故答案为：,
15．设,则的最大值为 ．
【答案】
【详解】由两边同时加上
得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）
故填：.
【解析】基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
16．若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则
（1）是E的第____个子集；
（2）E的第211个子集是_______
【答案】5，
【详解】（1）由题意新定义知，中，，，故第一空应填5；
（2）因为，所以E的第211个子集包含，此时211-128=83；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3；
又因为，，所以E的第211个子集包含，
此时3-2=1；因为，所以E的第211个子集包含；
故E的第211个子集是．故第二空应填．
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将代入，求出集合，，再根据并集的定义求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）解：当时，，
所以或，
所以或= 或；
（2）解：因为，
当， 即， 时，因为，不满足题意；
当时，则有，解得；
综上所述，实数m的取值范围为.
18．已知
(1)函数的值域；
(2)用定义证明在区间上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最大值，最小值
【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，
（3）由在上递增，可求得其最值.
【详解】（1）由题意，函数，
因为，所以，
所以的值域为．
（2）任取，，且，
则，
，
，，
，
即，
故函数在区间上是增函数．
（3）由知函数在区间上是增函数，
，．
19．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔t满足：，其中．
(1)求，并说明的实际意义；
(2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【答案】(1)，的实际意义为发车时间间隔为5分钟时，载客量为35
(2)当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【分析】（1）代入计算，实际意义即题设中的说明；
（2）求出净收益函数，分段说明函数的单调性得最小值，比较后即得结论．
【详解】（1）．
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．
（2），
∴当，，，
对，，设，，，
，，在上是增函数，因此是减函数，
∴t＝5时，y的最大值为．
当，时，，该函数在区间上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值18.8．
综上，当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元．
五、问答题
20．设函数的最小值为.
(1)求的值；
(2)若，，为正实数，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，先求出的分段函数，画出函数图象，结合图象进行分类讨论，即可得出结果；
（2）根据已知条件，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1），画出函数的图象，如下图：
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，取最小值.
（2）由（1）可知，
因为，，为正实数，
则
当且仅当，即，，时取等号，
所以的最小值为.
六、解答题
21．已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．
(1)分别求函数和的解析式；
(2)设，，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；
（2）求出，分、、讨论可得答案.
【详解】（1）定义在上的函数满足①，
可得②，
由①②可得；
设二次函数，
因为的最小值为，且，
所以，解得，
可得；
（2）
，
当时，在上单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，
当时，所以，
所以．
22．1.若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．
(1)判断函数是否为P函数，并说明理由；
(2)是否存在实数a使得函数为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不是P函数，理由见解析
(2)存在，a=1
【分析】（1）先根据函数特征为第一象限的双曲线的一支，且m，n为整数，得出，mn＞1，再根据函数单调性，得出mn＝1，推出矛盾，从而作出判断；（2）由二次函数的图象特点可知，要想函数为P函数，整数m，n是方程的两个根，且，从而得到m（1－n）＝1，从而得到m，n的值，a的值
【详解】（1）函数不是P函数，理由如下：
因为m，n为整数，由题意可知，即mn＞1，
令，即，解得，
若函数为P函数，
则，即mn＝1，而mn＞1，所以不存在这样的m，n，
所以函数不是P函数；
（2）因为关于x的不等式的解集恰为[m，n]
所以，即
将①代入③得，m（1－n）＝1
又m，n为整数，m＜n，所以，解得，此时a＝1，满足题意，
综上所述，存在实数a使得函数为P函数，a＝1
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