安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D，
3．（ ）
A．2B．1C．D．0
4．命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在R上的函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．点是函数图象的一个对称中心D．直线是函数图象的一条对称轴
11．已知表示不超过的最大整数，则下列关于函数的判断，其中正确的是（ ）
A．函数是以为周期的周期函数B．函数的最大值为
C．函数在上单调递减D．当时，
12．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（ ）
A．为奇函数，为偶函数
B．
C．函数在上的最小值为1
D．函数在R上只有一个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则______．
14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
15．若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．
16．已知且，则的最大值为______，最小值为______．（第1空2分，第2空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（本小题满分12分）
已知幂函数是定义在R上的偶函数．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．
20．（本小题满分12分）
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且使成立的的最小值为．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设函数，求函数的最大值．
21．（本小题满分12分）
茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌。立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：
①（为常数，且）；
②（为常数，）．
（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；
（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：）
22．（本小题满分12分）
已知函数且过点．
（1）判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；
（2）若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围．
安庆市2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测
高一数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1.C 【解析】由题意可知，故选C.
2.B 【解析】由条件知函数在上单调递增，又，，根据零点存在定理知该函数零点所在区间为，故选B.
3.C 【解析】，故选C.
4.A 【解析】当时，，所以只需，故选A.
5.B 【解析】根据条件可知该扇面的面积为，故选B.
6.A 【解析】
，解得：
7.B 【解析】由条件知，，因此，故选B.
8.D 【解析】由题意得原不等式可化为，因，
所以在上恒成立，又函数在上单调递增，且，当时，；当时，.于是且，于是，，，故选D.
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.BC 【解析】由条件可知实数的正负无法判断，所以A，D错误，B，C正确.
10.ABD 【解析】根据图象和题目条件可知，，所以，解得，A正确；将代入，可得，解得，B正确；所以，经检验，C错误，D正确，故选ABD.
11.AD 【解析】因，所以，于是函数是以为周期的周期函数，A正确；
只需考虑当时，因，
当时，，所以，，
，所以B错误；
当时，，所以，，此时函数是常数函数，所以C错误；
根据周期性可知当时，，所以D正确.
12.ACD 【解析】容易验证A正确,容易验证,B错误；因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确；令，则，于是，所以，解得或（舍去），于是，因此函数在上只有一个零点，D正确，故选ACD.
三、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.1 【解析】因，所以，故填1.
14. 【解析】由已知，不等式的解集为，故，且，为方程的两根，所以，解得，故不等式为，
即，解得或，故解集为.
15. 【解析】因，，所以，因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得.
16. 【解析】由可得，当时取到等号；可得，当或时取到等号
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）当时，,…………2分
,…………4分
所以.…………5分
（2）因“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集. …………6分
当时，，所以只需，解得；…………8分
当时，是集合的真子集，符合题意，…………9分
综上所述，实数的取值范围是.…………10分
18.解：由题意可知，，
展开整理可得，…………2分
即，
解得，
所以.…………4分
（1）因为，所以.…………6分
（2）
…………9分
.…………12分
（其它解法参考给分）
19.解：（1）根据题意可得，即，
所以，解得，…………2分
又函数是定义在上的偶函数，
所以，即函数的解析式为.………4分
（2）由（1）可知
…………6分
…………7分
因，所以，…………8分
所以当，即，函数的最小值为；…………10分
当时，，函数的最大值为7. …………12分
20.解：（1）由题意可知，………1分
于是函数最大值为1，最小值为，
根据使成立的的最小值为
知函数的最小正周期满足，解得,…………3分
所以，解得，所以，…………4分
于是，解得，
因此函数的单调递减区间.………6分
（2）由（1）知，…………7分
令，则，………8分
于是…………10分
，…………11分
所以当且仅当，即时，函数的最大值为.………12分
21.解：（1）若选用①，根据条件可得，解得，
所以.…………2分
若选用②，根据条件可得，解得，
所以.…………4分
对于，随着的增大而减小，符合题意；………5分
对于，因，当时，随着的增大而增大，不符合题意，应舍去. …………6分
所以该函数模型为.…………7分
（2）由（1）知，…………8分
于是，…………9分
两边取常用对数得，……11分
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟. …………12分
22.解：由题意可知，所以，解得，
于是.…………2分
（1）因
， …………4分
所以是定值，定值为.…………5分
（2）由可知：，…………6分
令
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
方程有两不等实数根，所以 且 ，…………7分
于是：，………8分
所以，，…………9分
由得，…………10分
又，解得，
所以实数的取值范围是. …………12分