安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性学业质量检测数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性学业质量检测数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线与垂直，且，
所以，解得，
设的倾斜角为，，所以.
故选：A.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 380B. 200C. 190D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】求得等差数列的公差，进而求得
【详解】设等差数列的公差为，
则，
所以.
故选：A
3. 已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率，
所以由得，
所以，即渐近线方程为，
故选：A
4. ⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（ ）
A. B. 4
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果
【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2，
∴截得弦长.
故选：D
【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
5. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作准线于点，由抛物线的定义，推得，求得点到的距离与点到准线的距离之和的最小值为，进而求得点到的距离与到直线的距离和的最小值.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过点作准线于点，连接，
如图所示，由抛物线的定义，可得，则，
所以当为与抛物线的交点时，点到的距离与点到准线的距离之和的最小值为，
所以点到的距离与到直线的距离和的最小值是.
故选：D.
6. 如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得为线段的中点；由得，结合双曲线定义求得，利用勾股定理可得，即得a,c的关系式，求得答案.
【详解】如图，因为，所以为线段的中点；
由于，即,所以，
所以为等腰三角形，且有
连接，又，点Q在双曲线C上，
由双曲线定义，可得，故;
所以在中，有，即，
整理得，所以离心率，
故选:B．
7. 已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（ ）
A. 0B. 50C. 100D. 2525
【答案】B
【解析】
【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分组求和；
法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出，再分组求和.
【详解】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以．
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
故选：B．
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据椭圆定义求出，，利用即可求解.
【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以，
所以，即，又因为椭圆的离心率为，
所以，则有，
所以，则，则，
由，所以，因为，所以，
所以，即，解得：，
故选：.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知椭圆：与双曲线：（），下列关于两曲线的说法错误的是（ ）
A. 的长轴长与的实轴长相等B. 的短轴长与的虚轴长相等
C. 焦距相等D. 离心率不相等
【答案】AB
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程确定长轴、短轴、焦距与离心率，以及双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率，再逐项判断即可.
【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
离心率为，
当时，，，双曲线的焦点在轴上，
其实轴长为，虚轴长为，焦距为，
离心率为．
故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，
与的焦距相等，离心率不相等．故A，B错误；C，D正确.
故选：AB.
10. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）
A. 是数列中的最大项B. 是数列中的最大项
C. D. 满足的的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得出，代入与，对选项依次判断即可.
【详解】∵，∴，∴，∴，
∴，
，
对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确；
对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D，∵，∴，解得，
∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知，点P是直线上动点，过点P作的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（ ）
A. 关于直线l的对称圆方程
B. 若Q是上动点，则线段PQ的最大值为
C. 线段AB的最小值是
D. 若，则点P的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆与切线的相关计算对选项一一验证
【详解】对于选项A：
设的圆心关于直线l的对称的点为，
则，解得：，
则关于直线l的对称圆方程，
故A错误；
对于选项B：
Q是上动点，P是直线上动点，
则线段PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
即，
无最大值，
故B错误；
对于选项C：
根据题意分析，若线段AB最小，则点P到圆心的距离最小，
则此时的切线长为，
此时线段AB的长度的为：，
故C正确；
对于选项D：
若，则，
则，
则点P的轨迹长度为，
故D正确；
故选：ACD.
12. 已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值为4
C. 为定值D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出可判断C不正确；表示出，，由可判断D正确．
【详解】对于A，因为抛物线的准线，
所以，则，故A正确；
对于，抛物线，过焦点的直线为，则，
整理可得，设，
可得，，
，
所以，当 时取等号，
最小值为4，所以正确；
对于C，，
所以
所以，所以C不正确；
对于D，，，，
所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13. 数列满足，（），则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值．
【详解】
由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，
所以
【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算．
14. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可.
【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，
∴ ，且，∴
∵的顶点，
∴直线AC方程：，即，
与联立， ，解得：，
所以顶点C的坐标为，
故答案为：.
15. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点，若的最小值为，则周长为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据焦距为8，的最小值为可得：，，结合椭圆的定义进而求解.
【详解】由题意可知：，解得：，，
由椭圆的定义可得：周长为，
故答案为：.
16. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和．
【详解】
当时，符合，
当时，符合，
【点睛】一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便．先求，再求，再求，一切都顺其自然．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线，以点为圆心的圆C与直线l相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线交圆C于A，B两点，且，求的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C的标方程；
（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出．
【小问1详解】
设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴，
∴圆C的标准方程为．
【小问2详解】
由可得圆心C到直线的距离．
∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件；
当的斜率存在时，设，圆心C到直线的距离，解得，此时的方程为，即．
综上，的方程为或．
18. 已知数列满足，且.
（1）求；
（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由递推公式直接求出；（2）利用构造法得到，即可证明是等差数列，并写出的通项公式.
【小问1详解】
由题意可得，
则，
又，所以.
由，得，
所以.
【小问2详解】
由已知得，
即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
所以.
19. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．
（1）求该抛物线方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．
【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为，
联立，可得．
，，△，
解得，．
经过抛物线焦点的弦，解得．
抛物线方程为；
（2）由（1）知，，，代入直线，
可求得，，即，，，
，，，，
，，
点在抛物线上，故，
解得：或．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题．
20. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程．
（2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，，
解得，，，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
解：由题意可知，直线的斜率不为0，
设：，设，，
联立，消，得，
由，解得，则.
所以，
所以的面积，
由，整理得，
解得，，
所以直线的方程为或.
21. 已知数列满足
（1）求an.
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将当时，和两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立；
（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.
【小问1详解】
当时，；当时，
又，
上述两式作差可得，即，不满足，所以；
【小问2详解】
当时，，即，
所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.
①若为正奇数，则，，则，可得；
②若为正偶数，则，可得.
综上所述，.
22. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以为中点的弦所在直线的方程为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由点差法得出，进而由得出椭圆的方程；
（2）设，，，联立直线（）与椭圆方程，求出，，再由面积公式结合相似三角形的性质得出，令，由二次函数的性质得出的最大值以及点的坐标.
【小问1详解】
设，，则，
两式相减得，，
所以，即
即，∴
又，所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，，
则：，：
联立，消去得
同理，联立，消去得
所以
.
令，则
当且仅当，即，即时，取得最大值.
综上所述，当时，取得最大值.