2023-2024学年福建省漳州市华安县第一中学高二上学期第一次（10月）月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省漳州市华安县第一中学高二上学期第一次（10月）月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【详解】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故选：D．
2．若直线过两点，则直线的一般式方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可
【详解】因为直线过两点，
所以直线的方程为，即，
故选：A
3．当取不同实数时，直线恒过一个定点，这个定点是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先化简直线方程，令的系数为0，即可求出定点坐标.
【详解】将直线方程化为，，解得，故直线过定点．
故选：B.
4．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
5．已知，则“直线与平行”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.
【详解】若直线与平行，
则，即，当，时，
两直线方程为，，此时两直线重合，
故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查充分必要条件，考查直线的位置关系，是基础题.
6．已知点，则当点到直线的距离最大时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定直线过定点，当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，由此可得参数值．
【详解】因为直线恒过定点，
则当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，
此时过的直线的斜率为
所以直线的斜率为，即，所以.
故选：B．
7．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可知直线恒过定点，画出图象并根据直线与线段相交的斜率范围即可求出数的取值范围.
【详解】将直线可变形成可知，
直线恒过定点，如下图所示：
由图可知，当直线绕点从位置旋转到位置时，直线与线段相交，
此时直线斜率需满足或；
即或，解得或；
故选：C
8．斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.
【详解】如图，以为原点建系，
根据题意，最短拉索的锚，满足，，
且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，
则，即点，
同理，
又，即点，
所以，
即最长拉索所在直线的斜率为.
故选：B.
二、多选题
9．已知等比数列中，满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，仍成等比数列
【答案】AC
【分析】由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】等比数列中，满足，则，有，
由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A正确；
而，则数列是递减数列，故B不正确；
又，，，
故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C正确；
数列中，，，，，故D错误.
故选：AC．
10．已知直线：和直线：，则（ ）
A．若，则或B．若在轴和轴上的截距相等，则
C．若，则或2D．若，则与间的距离为
【答案】CD
【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.
【详解】若，由，解得或，
经检验当时，，重合，当时，，
所以，故A错误；
若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；
若，则，解得或2，故C正确；
当时，，则：，：，
即：，则与间的距离为，故D正确．
故选：CD．
11．已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可
【详解】当时，，∴，∴A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；
∵，
∴数列为递减数列，∴C正确；
∵，∴，两式相减得，
∴，
∴．∴D正确．
故选：ACD．
12．已知数列满足，，则（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前n项和
【答案】AD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B不正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．过点且方向向量为的直线的方程为
【答案】
【分析】由方向向量可得斜率，再由点斜式可得方程.
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，
又直线过点，所以直线方程为，即.
故答案为：
14．点关于直线：的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】设Q的坐标，由题意可得直线l为线段PQ的中垂线，可得点的坐标．
【详解】设是点关于直线：的对称点，
由题意可得，解得，，可得.
故答案为：.
15．若数列的通项公式是，则
【答案】3036
【分析】根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可.
【详解】因为，
所以，，，，
所以，
故答案为：3036
四、双空题
16．已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是 ；若数列满足，且为等差数列，则c的值是
【答案】 或0
【分析】利用等差数列定义并根据公差大于零可求得数列的首项为，公差，即得数列的通项公式；求出前n项和为，再根据等差数列性质即可求得或.
【详解】设等差数列的首项为，公差为；
由，可得，解得；
所以可得，
即数列的通项公式是
可知数列的前n项和，
即，所以；
因为为等差数列，所以可得，
即，解得或，
经检验时，；时，都符合题意；
故答案为：；或0
五、解答题
17．等差数列满足，.
(1)求的通项公式和前项和；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可求得、的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式；
（2）设等比数列的公比为，求出、的值，利用等比数列的的求和公式可求得的表达式.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，
，解得，则.
所以，.
（2）解：设等比数列的公比为，则，，
所以，.
18．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线：，：
(1)经过直线与的交点，且与坐标原点距离为的直线；
(2)一入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出直线与的交点，分别当其斜率不存在时，斜率存在时根据坐标原点到直线的距离为可得；
（2）先求出点关于直线的对称点，求出直线的方程即为反射光线所在直线方程．
【详解】（1）由得，即直线与的交点为，
设所求直线为，当其斜率不存在时，直线方程为，原点到其距离为，
当其斜率存在时，设斜率为，则直线方程为即，
原点到其距离为，得，故方程为，
综上，直线方程为或.
（2）设关于直线：对称点坐标为，
则，得，即，
反射光线所在直线方程为，即得，
即反射光线所在直线方程为.
19．已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】分析：（1）由题意可求得等差数列的公差，从而可得．（2）由（1）可得，然后根据裂项相消法得到，由此可得结论成立．
详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，
．
∵成等比数列，
∴，
即，
又
∴，
∴，
∴.
（2）证明：由（1）得，
∴．
∴
．
∴．
点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：
（1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．
20．已知直线.
(1)若直线l不能过第三象限求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)S的最小值为4，此时直线l的方程：.
【分析】（1）由直线方程得直线过定点，分析斜率k的取值满足直线l不过第三象限；
（2）求出点A，点B的坐标，写出面积的表达式，利用基本不等式求最小值，并由等号成立的条件，得直线的方程.
【详解】（1）直线l的方程：，即，
所以直线过定点，当直线l过坐标原点时，斜率，
因为直线不能过第三象限，所以直线的倾斜角大于或等于过原点时直线的倾斜角或为零度，
得.
（2）直线l交x轴负半轴于点A，令，，，
直线l交y轴正半轴于点B，令，，，
由题，解得，
，
当且仅当时，等号成立，S最小为4，
此时直线l的方程为：.
21．已知各项为正的数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）升次作差得，再结合等差数列定义即可求出；
（2），再利用乘公比错位相减法即可.
【详解】（1）因为①，所以②.
②①两得，即
又因，所以；当时，
解得，所以.
（2）由（1）知，则①，
②，
①②得
，
所以.
22．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，用、表示及，即可求解作答；
（2）方法1，利用（1）的结论求出、，再分奇偶求和求出即可；方法2，利用（1）的结论求出、，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是；
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当为奇数时，.
所以.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，若，则
，
显然满足上式，因此当为奇数时，.
.