2023-2024学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，可得出，即可得解.
【详解】因为，则，则，
故选：C.
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确；
对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确；
对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确；
对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
这两个事件是对立事件，不正确；
故选：.
3．如图，在四面体中，，分别是，的中点，为上一点，且，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依题意可知，，，然后根据，代入计算即可.
【详解】因为，分别是，的中点，
所以，.
因为，
所以
.
故选：D.
4．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.
【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
5．某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.
则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为（ ）
A．0.04B．0.08C．0.17D．0.26
【答案】C
【分析】根据题意，先得到前两位居民办理业务的时间是：每人两分钟；其中一人1分钟，另一人三分钟；共两种情况，求出对应概率再求和，即可得出结果.
【详解】因为第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务，
若前两位居民办理业务分别用两分钟，则对应概率为；
若前两位居民办理业务的时间分别为：1分钟和三分钟，则对应的概率为；
因此，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查独立事件的概率计算，属于基础题型.
二、多选题
6．如图，在三棱锥中，平面，，，，以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据空间直角坐标系，得出点 的坐标,分别计算即可求值，得出答案.
【详解】
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，即，
取，可得.
因为，，且
所以平面PAB，即
所以平面平面PAB，
所以，所以.
综上所述，B，C错，A，D正确.
故选：AD
三、单选题
7．平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量加法的几何意义，结合平行六面体中相关线段的位置关系可得，再由空间向量数量积的运算律求，进而可得的长.
【详解】由题设，可得如下示意图，
由图知：，，
∴，
又，
∵，
∴，即.
故选：A
8．如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，，分别为和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）
A．平面B．
C．与所成角的正切值为D．与平面所成角的正切值为2
【答案】B
【分析】对于A：结合已知条件，构造平行四边形，然后利用线面平行判定定理即可判断；对于B：结合空间几何关系即可判断；对于CD：通过直线的平行关系，利用异面直线夹角的求法和线面夹角的定义即可判断.
【详解】分别取，的中点为，，连接，，，，如下图所示：
对于A：由题意可知，，且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B： 因为直三棱柱的棱长均相等，所以，即为等腰三角形，从而与不垂直，
因为，，
所以与不垂直，故B错误；
对于C：因为
所以与所成角为与所成角，
从而，故C正确；
对于D：与平面所成角为与平面所成角，
由直三棱柱的性质可知，所求角为，
故，故D正确.
故选：B.
四、多选题
9．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（ ）
A．事件A与事件B互斥B．
C．事件A与事件相互独立D．
【答案】BC
【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.
【详解】由题意可得：，则，
∵，
∴，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：，
故，
可知B正确，D错误；
又∵，
∴事件A与事件相互独立，C正确；
故选：BC.
10．已知空间三点：，设，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．是等边三角形
D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的线性运算坐标表示可判断A；根据向量数量积的几何意义可得判断B；计算、、可判断C；利用数量积的坐标运算可判断D，进而可得符合题意的选项.
【详解】，，，
所以，故选项A正确；
在方向上的投影向量等于，故选项B不正确；
，，，所以是等边三角形，故选项C正确；
，，
，
所以，故选项D正确.
故选：ACD
11．甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A．小明得6分的概率为
B．小明得分低于6分的概率为
C．小明得分不少于3分的概率为
D．小明恰好得3分的概率为
【答案】BD
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D.
【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中摸出一个红球”为事件，
则，且独立.
在A中，小明得6分的概率为，A错误；
在B中，小明得分低于6分的概率为，B正确；
在中，小明得分不少于3分的概率为，C错误；
在D中，小明恰好得3分的概率为，D正确.
故选：BD
12．如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A．平面B．平面与平面相交
C．点О到直线的距离为D．点O到平面的距离为
【答案】BC
【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
对A：∵，则，即与不共线，
∴不与平面垂直，A错误；
对B：∵，则与不共线，
∴平面与平面相交，B正确；
对C：∵，则，即为锐角，
∴，
故点О到直线的距离为，C正确；
对D：点O到平面的距离为，D错误.
故选：BC.
五、填空题
13．设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则 ．
【答案】
【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.
【详解】与对立，，
与互斥，.
故答案为：.
14．已知，，，且点D在平面ABC内，则 .
【答案】11
【分析】根据四点共面得到存在唯一一对实数，，列出方程组，求出答案.
【详解】因为点在平面内，所以存在唯一一对实数，使得成立，所以，
因此，解得.
故答案为：11
15．甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率 ．
【答案】
【分析】根据题意，分4种情况讨论，即可求得第4次由甲射击的概率．
【详解】根据题意，第4次由甲射击分为4种情况：
甲连续射击3次且都击中；
第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中；
第1次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第3次没有击中；
第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中，
所以这件事的概率为.
故答案为：
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为 ．
【答案】/
【分析】分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由求出点坐标后可得线段的长．
【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
，则是靠近的线段的三等分点，，
，，
在平面上，设，则，
由AP⊥平面MBD1，得，解得，
所以，．
故答案为：．
六、解答题
17．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）因为甲、乙、丙三位同学是否中奖是相互独立，因此可用相互独立事件同时发生的概率求三位同学都没有中奖的概率；
（2）将此问题看成是三次独立重复试验，每试验“中奖”发生的概率为.
试题解析：解：设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件A、B、C，那么事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)．
(1)三位同学都没有中奖的概率为：
P(··)=P()P()P()．
(2)三位同学中至少有两位没有中奖的概率为：
P=．
【解析】1、相互独立事件同时发生的概率；2、独立重复试验.
18．已知空间三点.
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)若向量分别与垂直，且，求的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用空间向量的夹角余弦公式求出，从而得到以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）设出，根据空间向量垂直关系和模长，列出方程组，求出的坐标.
【详解】（1），
，
,
∵，
.
故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积.
（2）设.
，且，
，解得或
故或.
19．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【答案】（1）0．05；（2）0．45；（3）1200.
【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.
【详解】把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．
从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.
(1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P（E）==0．05.
(2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）==0．45.
（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）==0．1，假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．
则一天可赚，每月可赚1200元．
【解析】1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义
七、证明题
20．已知正四棱柱中，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，表示出，由即可证明；
（2）求出平面和的法向量，由向量夹角的余弦公式求解即可；
（3）假设存在，设，求出平面的法向量，由法向量垂直求出，即可求解.
【详解】（1）
易得两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，则，
，则；
（2）由（1）知，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
则，又二面角为钝角，则二面角的余弦值为；
（3）假设存在，设，则，又，则，
设平面的法向量，则，令，则，
又由（2）知平面的法向量为，由平面平面，可得，
即，解得，则，.
办理业务所需要的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1