福建省南平第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省南平第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知空间的直线l,m,n和平面,,,下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
2、两直线与平行,则它们之间的距离为( )
A.4B.C.D.
3、设双曲线与椭圆有公共焦点,.若双曲线经过点,设P为双曲线与椭圆的一个交点,则的余弦值为( )
A.B.C.D.
4、如图,在正三棱柱中,,P是的中点,则异面直线BC与AP所成角的余弦值为( )
A.0B.C.D.
5、已知椭圆,M,N分别为椭圆C的左､右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得,则椭圆C的离心率e的取值范围为( )
A.B.C.D.
6、在中,,,,点P在该三角形的内切圆上运动,当最大时,则的值为( )
A.B.C.D.
7、如图,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,延长BA至D,是是以BC为底边的等腰三角形,,当时,边( )
A.B.C.D.
8、在直角坐标系xOy中,,分别是双曲线的左、右焦点,位于第一象限上的点是双曲线C上的一点,的外心M的坐标为,的面积为,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
9、若双曲线与圆有4个交点,则C的渐近线方程可能为( )
A.B.C.D.
10、已知圆,直线.下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.圆C被y轴截得的弦长为
C.直线l被圆C截得弦长存在最大值,此时直线l的方程为
D.直线l被圆C截得弦长存在最小值,此时直线l的方程为
11、已知正方体的棱长为1,下列四个结论中正确的是( )
A.直线与直线所成的角为
B.直线与平面所成角的余弦值为
C.平面ACD
D.点到平面的距离为
12、已知,是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点,P是他们的一个公共点,且,则以下结论正确的是( )
A.B.
C.D.的最小值为
二、填空题
13、已知直线,,若,则m的值为___________
14、已知点P在圆上,点、,当最大时,则线段PB的长度为___________.
15、已知点、、、、,如果直线PA、PB的斜率之积为,记,,则___________.
16、已知三棱锥满足PA底面ABC,在中,,,,D是线段AC上一点,且.球O为三棱锥的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40,则球O的表面积为___________.
三、解答题
17、在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,,,已知P为平面内的一个动点,三角形周长为定值.
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）若P的轨迹上有一点满足,求的值.
18、已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若同时满足下列四个条件中的三个：① ;② ;③ ;④ .
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些?
（2）请在（1）所有组合中任选一组,求对应的面积.
19、已知圆C经过点、,并且直线平分圆C.
（1）求圆C的方程;
（2）过点,且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N,且,求k的值.
20、已知双曲线的离心率为2,点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线l交E于不同的两点A,B（均异于点P）,求直线PA,PB的斜率之和.
21、如图,四棱锥中,底面ABCD为正方形,为等边三角形,平面底面ABCD,E为AD的中点.
（1）求证：;
（2）在线段BD（不包括端点）上是否存在点F,使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为,若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
22、已知椭圆经过点,且其右焦点F为,过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点.
（1）求椭圆的方程;
（2）设O为坐标原点,线段OF上是否存在点,使得?若存在,求出n的取值范围;若不存在,说明理由;
（3）过点且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为E,试证明：直线AE过定点.
23、在平面直角坐标系中,已知点P到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求点P的轨迹C的方程;
（2）过点且斜率为的直线l与C交于A,B两点,与x轴交于点M,线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,求的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：选项A中,当,时,m与n有可能相交、平行、异面,所以A错误;
选项B中,当,时,平面,有可能相交,所以B错误;
选项C中,当,时,由线面垂直的性质可知,所以C正确.
选项D中,当,时,m与n有可能相交、异面,所以D不正确;
故选：C.
2、答案：D
解析：因为两直线平行,所以,解得,将化为,
由两条平行线间的距离公式得,
故选：D.
3、答案：A
解析：由题得,双曲线中,,所以,双曲线方程为,
假设P在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义可得：,解得：,,
所以根据余弦定理,.
故选：A.
4、答案：D
解析：如图,取的中点Q,连接PQ,AQ.
因为,所以即异面直线BC与AP所成的角或其补角.
在正三棱柱中,设,则,,
在三角形APQ中,由余弦定理得：.
故选：D
5、答案：A
解析：由题意,椭圆,可得,,
设,代入椭圆的方程,可得,
则,
即,即.又因为,所以.
故选：A.
6、答案：A
解析：在中,因为,,,所以,
所以为直角三角形,其中.
以B为原点,,分别为x,y轴正方向建立直角坐标系,
则,,.所以直线.设的内切圆.
因为点P在该三角形的内切圆上运动,所以.
,（当且仅当时等号成立）.此时.
所以,而,所以.
故选：A
7、答案：A
解析：已知且,则由余弦定理代入,
化简得：,,
又由,,所以,,,
根据等腰三角形的性质,设,,
所以有整理得,故,
故选A.
8、答案：D
解析：由的外心,知：,
在中,,即,故,
在中,,而,
,即,
,而,
由题意知：,故双曲线的渐近线方程为：.
故选：D.
9、答案：ABD
解析：因双曲线与圆有4个交点,
则有双曲线C的顶点在圆M内,于是有,从而得,
而双曲线C的渐近线方程为,所以双曲线C的渐近线方程可能为A,B,D,不可能为C.
故选：ABD.
10、答案：BD
解析：将直线l的方程整理为,由,解得.
则无论m为何值,直线l恒过定点,故A不正确;
令,则,解得,故圆C被y轴截得的弦长为,故B正确;
无论m为何值,直线l不过圆心,即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值,故C错误;
当截得的弦长最短时,此时直线l垂直于圆心与定点的连线,则直线l的斜率为,此时直线l的方程为,即,故D正确.
故选：BD.
11、答案：ABC
解析：如图以D为原点,分别以DA,DC,DD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
对于A：,,因为,
所以,即,直线与直线所成的角为,故选项A正确;
对于C：因为,,,所以,,所以,,因为,所以平面,故选项C正确;
对于B：由选项C知：平面,所以平面的一个法向量,因为,所以,即直线与平面所成角的正弦值为,所以直线与平面所成角的余弦值为,故选项B正确;
对于D：因为,平面的一个法向量,所以点到平面的距离为,故选项D不正确.
故选：ABC.
12、答案：BD
解析：由题意可得,所以A错误;
可设P是第一象限的点,,,由椭圆的定义可得,,
解得,,又,因为,在中,
由余弦定理可,化为,
则,故B正确;
由,可得,即有,故C错误;
由,当且仅当,取得等号,即有的最小值为,故D正确.
故选：BD.
13、答案：-1或2
解析：因为,所以解得：或
14、答案：
解析：圆的圆心为,半径为4,
直线AB的方程为,即,当最大时,PB与圆M相切,
连接MP、BM,可知,,,由勾股定理可得.
15、答案：
解析：
由题意,化简可得,
在椭圆中,,,,所以,C、D为椭圆的两个焦点,
因此,.
故答案为：.
16、答案：112
解析：将三棱锥补成直三棱柱,且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O,记三角形ABC的中心为,设球的半径为R,,则球心O到平面ABC的距离为x,即,
连接,则,,在中,取AC的中点为E,连接,,
则,,.在中,,
由题意得到当截面与直线OD垂直时,截面面积最小,
设此时截面圆的半径为r,则,
所以最小截面圆的面积为12,当截面过球心时,截面面积最大为,
,,球的表面积为.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）依题可知,,所以,
故动点P的轨迹是以,为焦点,
长轴长为4的椭圆（除去两点,）,
由,,所以,即动点P的轨迹方程为.
（2）因为点满足,则有,且,
,,
即①,
而点在椭圆C上,则②,取立①②消去,得,所以.
18、答案：（1）序号组合为①②③,①②④
（2）答案不唯一,具体见解析
解析：（1）对于③,,,;
对于④,,
即,且,,B,C,则,
故③,④不能同时存在,则满足有解三角形的序号组合为①②③,①②④.
（2）选①②③：,,时,由余弦定理：,
整理得：且,则,
的面积为.
选①②④：,,时,由余弦定理：,整理得：,则,的面积.
19、答案：（1）
（2）1
解析：（1）线段AB的中点,,故线段AB的中垂线方程为,
即,因为圆C经过A、B两点,故圆心在线段AB的中垂线上.
又因为直线平分圆C,所以直线m经过圆心.
由即与的交点即圆心,
所以圆心的坐标为,而圆的半径,.
（2）直线l的方程为.圆心C到直线l的距离,
,两边平方整理得：,解之得：.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得,
将①代入②得：,
设、,则由根与系数的关系可得：,,
而,所以,故有,整理,解得.
此时有,所以k值为1.
20、答案：（1）;
（2）3.
解析：（1）由已知可得,,解得①
又点在E上,②,由①②可得,.
双曲线E的方程为.
（2）过点的直线l斜率显然存在,设l的方程为：,,,
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得,
依题意,且,所以且,因此,可得,,
∴
21、答案：（1）证明见解析;
（2）存在;点F为靠近点B的三等份点.
解析：（1）取AB的中点O连PO,DO,
,,又面面ABCD,面PAB面,PO面PAB,PO面ABCD,
法一：EC面ABCD,则,在正方形ABCD内,O,E分别为AB,AD的中点,
,则有,又,
,,,平面POD,
又平面POD,.
法二：取CD的中点G,连OG,则OB,OP,OG两两垂直,
∴分别以OB,OG,OP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图空间直角坐标系.
设,则,,,,
,,则有,.
（2）由（1）中法二,所得空间直角坐标系,易知,,,,
设,则,
设面的法向量为,则,即,
令,则
设直线AP与平面PEF所成角的为,,
整理得：,即.
在BD上存在点F,使得直线AP与平面PEF成角的正弦值为,
此时点F为靠近点B的三等份点,即.
22、答案：（1）;
（2）存在,;
（3）证明见解析.
解析：（1）椭圆右焦点,且经过点,
,解得,椭圆的方程为：.
（2）设直线PQ的方程为：,,代入,
得：,恒成立.
设,,线段PQ的中点为,
则,,
由,得：,直线NR为直线PQ的垂直平分线,
直线的方程为：,令得：N点的横坐标,
,,.
线段OF上存在点,使得,其中.
（3）证明：设直线AB的方程为：,,
代入,得：,
过点且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,
由,得：,
设,,,则,,
则直线AE的方程为,
令得：
.
直线AE过定点.
23、答案：（1）
（2）
解析：（1）设,由题意,
因为,所以,
即,两边平方并整理得.
故点P的轨迹C的方程为.
（2）设直线方程为,联立,
消y并整理得,,
设,,则,,
又,可得线段AB中点坐标为,
所以线段AB中垂线的方程为,
令,可得,
对于直线,令,可得,所以.
又,
所以,
令,则,
因为在上单调递增,
所以,故.