2023-2024学年福建省漳州市华安县高二上册期末练习数学测试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省漳州市华安县高二上册期末练习数学测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的方向向量可以是（ ）
A．B．C．(2，)D．(，2)
2．从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有（ ）
A．240种B．125种C．120种D．60种
3．设，数列中，，，，则下列选项正确的是（ ）
A．当，时，则
B．当，时，则
C．当，时，则
D．当，时，则
4．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为
A．B．C．D．
5．在等差数列中，若，则（ ）
A．5B．10C．15D．50
6．记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．已知二项式的展开式中，第四项与第五项的二项式系数相等，则展开式中项的系数是（ ）
A．21B．28C．84D．112
8．已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（ ）
A．B．
C．D．
10．设等差数列的前n项和为，公差为d，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．时，n的最小值为13
11．已知圆，圆心为，且点，在圆上，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为9
B．的最大值为3
C．若，则的最小值为2
D．若，则的最大值为6
12．已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，设，则
C．当时，中最大的是
D．当时，
三、填空题
13．已知直线，若，则的值为 .
14．已知6，a，b，48成等差数列，6，c，d，48成等比数列，则 ．
15．已知的展开式中常数项为，则展开式中的系数为 .
16．如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为 .
四、解答题
17．已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.
（1）求的值及展开式中项的系数
（2）求展开式中的常数项
18．在平面直角坐标系xy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（﹣3，0）．
（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；
（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．
19．已知数列的前项和为，，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和为.
20．已知等差数列为递增数列，且，是方程的两根.数列的前项和为，且满足.
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，求.
21．已知椭圆：过点，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.（其中，，分别是直线、的斜率）
22．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.
(1)求的方程
(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值
1．A
【分析】先得到直线的斜率，进而可得解.
【详解】直线的斜率为2，经对比选项，只有满足题意.
故选：A.
2．D
【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解.
【详解】由题意可知,
故选：D
3．D
【分析】根据数列的周期性、等差数列的前项和公式和通项公式、等比数列的通项公式逐一判断即可.
【详解】选项A：当，时，，，∴.数列的周期为，∴，故A不正确；
选项B：，时，即，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，∴，故选项B不正确；
选项C：当，时，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则，则选项C也不正确；
选项D：当，时，即，则有，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，∴则选项D正确，
故选：D
4．B
根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线的离心率建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程．
【详解】解：椭圆的标准方程为，
椭圆中的，，则，
双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，
双曲线中，
双曲线的离心率为，
，则．
在双曲线中，
则双曲线的方程为，
故选：．
本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，属于基础题．
5．C
【分析】所求式子利用等差数列的性质化简,将已知等式代入计算即可求出值.
【详解】因为在等差数列中，，所以，
所以，
故选：C.
本题考查等差数列的性质：等差中项，注意观察各项的脚标，是否满足等差中项的性质，属于基础题.
6．B
【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列方程组，解方程求出，即可求出，代入即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为．由条件可知解得
所以，．
由，得，即，解得（舍去）．
故选：B．
7．C
【分析】根据二项式的展开式中第四项与第五项的二项式系数相等，求得，进而利用二项展开式的通项，求得的系数，得到答案．
【详解】由题意在二项式的展开式中第四项与第五项的二项式系数相等，即，解得，
所以二项式的展开式中的项为，
所以展开式中的系数为，
故选：C．
8．D
【分析】先根据点关于直线的对称点求法求出点，再根据距离公式可得，从而判断出为直角，再根据椭圆的定义以及勾股定理计算得出，从而得解．
【详解】设关于直线的对称点，
由，得．

可知，又知，
所以，则为直角，
由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，
，设，则，
在直角三角形中，，
解得，从而，
所以.
故选：D．
9．BC
【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验
【详解】由题意知，，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，
所以当时，；当时，，
故选：BC
10．ACD
【分析】利用给定条件结合等差数列性质及前n项和公式确定出，进而求出d的范围即可逐一判断各选项作答.
【详解】依题意，，于是得，而，，B错误；
显然有，而，解得，又，解得，因此得，A，C正确；
数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，前6项都为正，从第7项起的各项都为负，
而，，于是得时，，从而得时，n的最小值为13，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】对于A、B：利用消元法求出的最大值为9，的最大值为9.即可判断；
对于C、D：先表示出.不妨设， ，得到利用三角函数求出最小值和最大值.
【详解】对于A：因为点，在圆上，所以.
因为，所以，解得.
所以.
当时，.
所以的最大值为9.故A正确；
对于B：同理可求：的最大值为9.故B错误；
对于C、D：设到直线的距离为，则，所以.
设到直线的距离为，所以.
所以.
不妨设，因为，所以，即.
所以，.
所以
.
因为，所以.
即的最小值为2，的最大值为6.
故C、D正确.
故选：ACD.
12．AD
【分析】令可得各项系数和判断A，根据二项式定理求得判断B，求出后判断C，在展开式中先求得，再令计算后判断D．
【详解】在已知式中令得，A正确；
时，，
，
，，B错；
时，，
，C错；
在中，令得，
令，则，
所以，D正确．
故选：AD．
13．
【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解.
【详解】由可得，得，
故
14．90
由等差性质,由等比数列定义可知,即可求得进而求得即可得出结果.
【详解】解：6，a，b，48成等差数列，则；
6，c，d，48成等比数列，则，
从而．
故答案为:90.
本题考查等差数列性质和等比数列的定义,考查学生对知识点的认知能力,难度较易.
15．
【分析】首先写出展开式的通项，再根据展开式的常数项为得到方程，即可求出，再求出的系数即可；
【详解】解：因为，
因为的通项公式为，
所以的展开式中常数项为，则，解得，
所以展开式中的系数为
故
16．##
【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率
【详解】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，
由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则，
所以.由直线AB的斜率，得，
则直线OM的斜率.
设，，则
两式相减，得，化简得，
即，
所以该双曲线的离心率.
故
17．（1），项的系数为；（2）
【分析】（1）首先根据二项式系数之和得到，再利用通项求解即可；
（2）根据题意得到或，从而得到或，再利用通项求解即可.
【详解】（1）由已知可得，
因为
令，
所以项的系数为.
（2）求展开式中的常数项，
即或，
所以或，
故常数项为.
18．（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）设出双曲线方程，利用点在双曲线以及双曲线的离心率求解即可．
（2）求出直线与坐标轴的交点，然后利用抛物线的性质求解抛物线方程即可．
试题解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，∵点P（﹣3，0）在双曲线上，∴a=3．∵双曲线C的离心率为：，∴，∵c2=a2+b2，∴b=3，∴双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x．
（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+3），即y=2x+6，直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣3，0），F2（0，6），∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣12x；以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=24y．
19．（Ⅰ）.（Ⅱ）.
【分析】（1）由，，，两式相减，得，，.根据等比数列的公式得到通项；（2），根据错位相减得到
【详解】（Ⅰ）由题设，，，两式相减，得
，，.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列.
∴.
（Ⅱ）由，
. ①
②
∴①-②，得 ，
，
.
20．（1），；（2.
【分析】（1）由题得，再求出等差数列的通项，利用项和公式求的通项公式；（2）由题得，再利用分组求和得.
【详解】（1）因为方程的两根为和，且数列为递增数列，
所以.
设数列的公差为，则，所以，
所以.
当时，由，解得；
当时，因为，所以，
以上两式相减得，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
所以 ，
所以 ，
所以.
本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求数列的通项，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．(1)
(2)1
【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组有，，故椭圆的标准方程为.
（2）结合（1）的结论可知，易知当直线的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程可得，进而可得，由此综上得证.
【详解】（1）依题意，得
，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）易知，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆只有一个交点，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去整理得，，
设，，由,得，
，，
故
，
综上所述，为定值.
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．(1)
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据抛物线的定义，得到，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组求得，得到，由抛物线的定义得到，根据，求得，设，得到，进而求得，因为为的中点，求得，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，抛物线，可得其准线方程，
如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
因为时，，可得，
又由抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）解：由抛物线，可得，设，
因为直线的直线过点，设直线的方程为
联立方程组，整理得，
可得，则，
因为为的中点，所以，
由抛物线的定义得，
设圆与直线相切于点，
因为交于点，所以且，
所以，即，解得，
设，则，且，可得，
因为，所以点为的中点，所以，
又因为为的中点，可得，
所以，即的面积与的面积的比值为.