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2023-2024学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中考试数学
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这是一份2023-2024学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中考试数学，共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知A，B是椭圆E，已知曲线C，下列结论正确的是，若两条平行直线等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．内切D．相交
3．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件C．既不充分又不必要条件
4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，
若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知A，B是椭圆E：上的两点，点是线段AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知曲线C：，直线l：，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
B．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则
C．直线l的方向向量，平面α的法向量，则
D．若，，，则P点在平面ABC内
10．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（ ）
A．3B．9C．12D．15
11．已知椭圆E：的左、右焦点分别是，，点P是上的一点（异于左，右顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为10
B．的面积的最大值为
C．若，则点P到x轴的距离为
D．存在8个不同的点P，使得为直角三角形
12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是
直线上l的一点，过P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．当取得最大值时，
B．当取得最小值时，
C．四边形PMCN的面积的最小值为
D．O点到直线MN的距离的最大值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间向量，，若，则______．
14．直线：关于直线：的对称直线方程为______．
15．已知F是椭圆E：学的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；上的一点，则的最小值为______．
16．已知，，点P在圆O：上运动，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17，（本小题满分10分）
已知的三个顶点是，，．
（1）求BC上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点B，且点A，C到直线的距离相等，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上，且过，．
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点．
（1）求直线与EF所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的左，右焦点分别为，过点的直线交C于A，B两点，．
（1）若，的周长为18，求的值；
（2）若，求C的离心率．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，点E是棱PA上的一点．
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6．
（1）求E的方程；
（2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
2023～2024学年高二年级上学期期中检测联考•数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为，又因为，，所以，解得．故选B．
2．D 圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则，故这两个圆相交．故选D．
3．若方程表示椭圆，则有因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．
4．C 由题意知
．故选C．
5．C 由直线与直线互相垂直，所以，即，又，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以ab的最大值为．故选C．
6．A 设，，则AB的中点坐标为，所以，，将A，B的坐标代入椭圆的方程作差可得，所以，所以直线AB的方程为，即．故选A．
7．A 取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则平面ABC，连接
OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC，
所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，
OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所
示．又，所以，，，
，所以，所以，，所以，
所以点到直线的距离，故选A．
8．D 由曲线C：，得，所以曲线C是以为圆心，半径为2的圆的上半部分．当直线l与曲线C相切时，，解得或（舍）．当直线l：与直线间的距离为1时，，解得或（舍）．当时，曲线C上至多有2个点到直线l的距离为1，不符合题意；当直线l过点时，得．当直线l：与直线间的距离为1时，，解得或（舍），当，曲线C上至多有1个点到直线l的距离为1，不符合题意；当时，曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1，符合题意．
综上，a的取值范围是．故选D．
9．ABD 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间一组基底，故正确；因为，所以，故B正确；不能确定直线l是否在平面α内，故C错误；因为，故D正确．故选ABD．
10．BC 由题意知，解得，所以：，又：，即，所以，解得或，所以或．故选BC．
11．BC 的周长为，故A错误；的面积，所以的面积的最大值为，此时，故B正确；因为，
所以
，
解得，
所以的面积为，
所以，故正确；
当时，此时有2个不同的点P；当时，此时
有2个不同的点P．设，所以，
所以
，
所以，所以存在4个不同的点P，使得为直角三角形，故D错误．故选BC．
12．ABD 易得，，当取得最大值时，直线AM与圆C相切，此时，故A正确；当取得最小值时，直线AM与圆C相切，此时，故B正确；因为四边形PMCN的面积，又，所以四边形PMCN的面积的最小值为，故C错误；设，所以以PC为直径的圆的方程为，又圆C：，所以直线MN的方程为，所以直线MN恒过定点，所以O到直线MN的距离的最大值为，此时，故D正确．故选ABD．
13．－8 因为，，所以，又，所以，解得．
14． 设直线关于直线对称的直线为，由解得则点在直线上；在直线上取一点，设其关于直线对称的点为，则
解得即，所以直线的方程为，即．
15． 记E的右焦点为，所以，所以，
所以
，
当且仅当点C在线段上，点C在线段上时等号成立，所以的最小值为．
16． 设，所以，
所以．
设，所以直线，所以，解得，即的取值范围是．
17．解：（1）因为，，所以直线BC的斜率，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时点到直线的距离为3，点到直线的距离为7，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，所以直线的方程为，即，所以，
解得或，
所以直线的方程为或．
18．解：（1）因为，，所以MN的中点坐标为，直线MN的斜率为，所以线段MN的中垂线的直线方程为．
由解得，，即，
所以，
所以圆C的方程为．
（2）因为，所以，
所以，又，所以，
所以点C到直线AB的距离．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，所以直线l的方程为，即，
所以，
解得，所以直线l的方程为．
综上，直线l的方程为或．分
19．解：（1）以A为坐标原点，AB，AD，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设，则，，，，所以，，
所以，
所以直线与EF所成角的余弦值为．
（2）因为，所以，设平面的一个法向量，
所以令，解得，，
所以平面的一个法向量．
易得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为θ，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）由，，得，．
因为的周长为18，所以由椭圆定义可得，解得．
又，，所以，，
所以．
（2）设，则，．由椭圆定义可得，．
在中，由余弦定理可得，
即，化简可得，
又，，故，所以，，
所以，所以，
所以，即，
解得：，
所以C的离心率．
21．证明：连接BD，记，再连接PO，如图所示．因为四边形ABCD是菱形，，，所以O是BD的中点，，，．
在中，，O是BD的中点，，所以，
又，，AC，平面PAC，所以平面PAC，
又平面ABCD，所以平面平面ABCD．
（2）解：若，，，所以，所以．以O为坐标原点OA，OB，OP，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，，，，所以，，
设平面PAD的一个法向量，所以令，解得，，
所以平面PAD的一个法向量．
设，所以，
设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ，
所以，
解得，所以．
22．解：（1）由题意知
解得，，，
所以E的方程为．
（2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
又直线BC的方程为，由，解得，，
即．
由得，解得或，
当时，，即，
所以直线CP的斜率，
所以直线CP的方程为，令，得，即．
所以直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．内切D．相交
3．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件C．既不充分又不必要条件
4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，
若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知A，B是椭圆E：上的两点，点是线段AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知曲线C：，直线l：，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
B．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则
C．直线l的方向向量，平面α的法向量，则
D．若，，，则P点在平面ABC内
10．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（ ）
A．3B．9C．12D．15
11．已知椭圆E：的左、右焦点分别是，，点P是上的一点（异于左，右顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为10
B．的面积的最大值为
C．若，则点P到x轴的距离为
D．存在8个不同的点P，使得为直角三角形
12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是
直线上l的一点，过P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．当取得最大值时，
B．当取得最小值时，
C．四边形PMCN的面积的最小值为
D．O点到直线MN的距离的最大值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间向量，，若，则______．
14．直线：关于直线：的对称直线方程为______．
15．已知F是椭圆E：学的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；上的一点，则的最小值为______．
16．已知，，点P在圆O：上运动，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17，（本小题满分10分）
已知的三个顶点是，，．
（1）求BC上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点B，且点A，C到直线的距离相等，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上，且过，．
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点．
（1）求直线与EF所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的左，右焦点分别为，过点的直线交C于A，B两点，．
（1）若，的周长为18，求的值；
（2）若，求C的离心率．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，点E是棱PA上的一点．
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6．
（1）求E的方程；
（2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
2023～2024学年高二年级上学期期中检测联考•数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为，又因为，，所以，解得．故选B．
2．D 圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则，故这两个圆相交．故选D．
3．若方程表示椭圆，则有因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．
4．C 由题意知
．故选C．
5．C 由直线与直线互相垂直，所以，即，又，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以ab的最大值为．故选C．
6．A 设，，则AB的中点坐标为，所以，，将A，B的坐标代入椭圆的方程作差可得，所以，所以直线AB的方程为，即．故选A．
7．A 取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则平面ABC，连接
OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC，
所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，
OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所
示．又，所以，，，
，所以，所以，，所以，
所以点到直线的距离，故选A．
8．D 由曲线C：，得，所以曲线C是以为圆心，半径为2的圆的上半部分．当直线l与曲线C相切时，，解得或（舍）．当直线l：与直线间的距离为1时，，解得或（舍）．当时，曲线C上至多有2个点到直线l的距离为1，不符合题意；当直线l过点时，得．当直线l：与直线间的距离为1时，，解得或（舍），当，曲线C上至多有1个点到直线l的距离为1，不符合题意；当时，曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1，符合题意．
综上，a的取值范围是．故选D．
9．ABD 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间一组基底，故正确；因为，所以，故B正确；不能确定直线l是否在平面α内，故C错误；因为，故D正确．故选ABD．
10．BC 由题意知，解得，所以：，又：，即，所以，解得或，所以或．故选BC．
11．BC 的周长为，故A错误；的面积，所以的面积的最大值为，此时，故B正确；因为，
所以
，
解得，
所以的面积为，
所以，故正确；
当时，此时有2个不同的点P；当时，此时
有2个不同的点P．设，所以，
所以
，
所以，所以存在4个不同的点P，使得为直角三角形，故D错误．故选BC．
12．ABD 易得，，当取得最大值时，直线AM与圆C相切，此时，故A正确；当取得最小值时，直线AM与圆C相切，此时，故B正确；因为四边形PMCN的面积，又，所以四边形PMCN的面积的最小值为，故C错误；设，所以以PC为直径的圆的方程为，又圆C：，所以直线MN的方程为，所以直线MN恒过定点，所以O到直线MN的距离的最大值为，此时，故D正确．故选ABD．
13．－8 因为，，所以，又，所以，解得．
14． 设直线关于直线对称的直线为，由解得则点在直线上；在直线上取一点，设其关于直线对称的点为，则
解得即，所以直线的方程为，即．
15． 记E的右焦点为，所以，所以，
所以
，
当且仅当点C在线段上，点C在线段上时等号成立，所以的最小值为．
16． 设，所以，
所以．
设，所以直线，所以，解得，即的取值范围是．
17．解：（1）因为，，所以直线BC的斜率，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时点到直线的距离为3，点到直线的距离为7，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，所以直线的方程为，即，所以，
解得或，
所以直线的方程为或．
18．解：（1）因为，，所以MN的中点坐标为，直线MN的斜率为，所以线段MN的中垂线的直线方程为．
由解得，，即，
所以，
所以圆C的方程为．
（2）因为，所以，
所以，又，所以，
所以点C到直线AB的距离．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，所以直线l的方程为，即，
所以，
解得，所以直线l的方程为．
综上，直线l的方程为或．分
19．解：（1）以A为坐标原点，AB，AD，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设，则，，，，所以，，
所以，
所以直线与EF所成角的余弦值为．
（2）因为，所以，设平面的一个法向量，
所以令，解得，，
所以平面的一个法向量．
易得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为θ，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）由，，得，．
因为的周长为18，所以由椭圆定义可得，解得．
又，，所以，，
所以．
（2）设，则，．由椭圆定义可得，．
在中，由余弦定理可得，
即，化简可得，
又，，故，所以，，
所以，所以，
所以，即，
解得：，
所以C的离心率．
21．证明：连接BD，记，再连接PO，如图所示．因为四边形ABCD是菱形，，，所以O是BD的中点，，，．
在中，，O是BD的中点，，所以，
又，，AC，平面PAC，所以平面PAC，
又平面ABCD，所以平面平面ABCD．
（2）解：若，，，所以，所以．以O为坐标原点OA，OB，OP，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，，，，所以，，
设平面PAD的一个法向量，所以令，解得，，
所以平面PAD的一个法向量．
设，所以，
设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ，
所以，
解得，所以．
22．解：（1）由题意知
解得，，，
所以E的方程为．
（2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
又直线BC的方程为，由，解得，，
即．
由得，解得或，
当时，，即，
所以直线CP的斜率，
所以直线CP的方程为，令，得，即．
所以直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
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