2022-2023学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】直线的斜率为.又倾斜角为,故.

故选：A

【点睛】本题主要考查了直线的斜率为倾斜角的正切值这一知识点,属于基础题型.

2．直线（）与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

【答案】B

【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.

【详解】由，

所以直线恒过定点，

圆可化为，

因为，

所以点在圆的内部，

所以直线与圆相交.

故选：B

3．已知，若三向量共面，则实数等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据向量共面列方程求解即可.

【详解】因为、、三向量共线，所以，即，整理得，解得.

故选：A.

4．下列命题正确的是（    ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示

D．不经过原点的直线都可以用方程表示

【答案】C

【解析】A.由直线的斜率是否存在判断；B.由截距是否为零判断；C.由直线的两点式方程判断；D.由斜率是否存在判断；

【详解】当直线的斜率不存在时，经过定点的直线方程为，不能写成的形式，故A错误.

经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以B错误；

经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为，

能用方程表示，故C正确，

不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为（）的形式，故D错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查直线方程的形式的使用条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

5．椭圆的两顶点为，，左焦点为，在中，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可知，转化成关于，，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．

【详解】据题意，，，，

，即，即.

又，，同除得，即（舍）或.

故选：B.

6．在正方体中，与平面所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

【详解】以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体的边长为，则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，令，则，即，

设与平面所成角为，

则.

故选：B

7．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）．

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.

【详解】由图象可知，，

则，

因为棱长为，，

所以，，

即的不同值的个数为，

故选：A

8．在平面直角坐标系中，已知三点，，，动点P满足，则下列说法正确的是（    ）

A．点P的轨迹方程为 B．面积最小时

C．最大时， D．P到直线距离最小值为

【答案】D

【分析】根据可求得点轨迹方程为，A不正确；

根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，

由此可确定面积最大时，由此可确定B不正确；

当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；

求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.

【详解】设，由得：，

即，

化简可得：，

即点轨迹方程为，

故A不正确；

因为直线过圆的圆心，

所以点到直线的距离的最大值为圆的半径，

即为，

因为，所以面积最大为，

此时，

所以面积最大时，B不正确；

当最大时，则为圆的切线，

所以，C不正确；

直线的方程为，

则圆心到直线的距离为，

所以点到直线距离最小值为，D正确.

故选：D.

二、多选题

9．已知椭圆的焦距为4，则（    ）

A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的倍

C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为

【答案】BC

【分析】根据条件先求解出的值，然后逐项判断焦点位置、长轴长和短轴长的数量关系、离心率以及椭圆上的点到焦点的最大距离.

【详解】因为，所以，所以焦点在轴上，故A错误；

又因为焦距为，所以，所以，所以，

所以长轴长，短轴长，所以，故B正确；

因为，所以离心率，故C正确；

因为椭圆方程，取一个焦点，设椭圆上的点，

所以，

又因为，当时取最大值，所以，故D错误；

故选：BC.

【点睛】结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：

（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；

（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.

(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)

10．下列命题中，不正确的命题有（    ）

A．是共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使得

C．若A，B，C不共线，且，则P，A，B、C四点共面

D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

【答案】AB

【分析】利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；利用共线向量定理判断；利用空间向量的基底的概念和反证法判断D的正误即可．

【详解】对于A，当时，，共线成立，但当，同向共线时，，

所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确;

对于B，当时，，不存在唯一的实数，使得，故B不正确;

对于C，由于，而，根据共面向量定理知，，，，四点共面，故C正确;

对于D，若，，为空间的一个基底，则，，不共面，利用反证法证明，，不共面，假设，，共面，则,所以，所以，，共面，与已知矛盾.所以，，不共面，则，，构成空间的另一个基底，故D正确．

故选：AB

11．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A．AC1=6

B．AC1⊥DB

C．向量与的夹角是60°

D．BD1与AC所成角的余弦值为

【答案】AB

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.

【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，

所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，

(++)2=+++2·+2·+2·

=36+36+36+3×2×18=216，

则||=|++|=6， 所以A正确；

·=(++)·(-)

=·-·+-·+·- =0，所以B正确；

显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.

因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；

因为=+-=+ ，

所以||==6，||==6，

·=(+-)·(+)=36，

所以cos<>===，所以D不正确.

故选:AB.

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ）

A．点P的轨迹方程是号

B．直线：是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为5

D．点P的轨迹与圆C：没有交点

【答案】BC

【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点.

【详解】设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，化简得，故A错误；

联立方程可得，解得，故存在，所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；

过P作PB垂直直线，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；

由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．若直线与直线平行，则___________.

【答案】

【分析】根据两条直线平行列方程，由此求得的值.

【详解】依题意可得，解得，当时，两条直线重合，故.

故答案为：

14．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点，若，，，则__________．

【答案】

【分析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.

【详解】解：)=．

故答案为：.

15．已知，为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为__________．

【答案】4

【分析】根据题意分析可得，利用勾股定理结合椭圆定义求，进而可求四边形的面积.

【详解】由椭圆可得：，

由题意可得：，则为平行四边形，

∵，则，

∴，则，

又

，∴，

则四边形的面积.

故答案为：4.

16．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．

【答案】2或7##7或2

【分析】由条件建立平面直角坐标系，由条件，求出点的轨迹方程，进一步求出其位置，再由两点距离公式求.

【详解】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．

由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．

，解得或．

∴垃圾处理站的坐标为或，

∴或，

即垃圾处理站与村相距或．

答案：2或7

四、解答题

17．如图，在中，边上的高所在的直线方程为，直线与直线垂直，若点的坐标为.

求（1）和所在直线的方程；

（2）求的面积.

【答案】(1) ，；(2)12.

【详解】试题分析：（1）先求出顶点，再利用斜率公式可得，利用点斜式可得的方程，由上的高所在直线的方程为，可得的斜率为，再由点斜式可得的方程；（2）由两点间距离公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高，根据三角形面积公式可得结果.

试题解析：（1）由得顶点.

又的斜率,所在直线的方程为①

已知上的高所在直线的方程为，故的斜率为，

所在的直线方程为②

（2）解①，②得顶点的坐标为.

又直线的方程是

到直线的距离，

所以的面积

18．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.

【答案】（1）；（2）和.

【分析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.

(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.

【详解】（1）设圆的标准方程为：

圆心到直线的距离：，

则

圆的标准方程：

（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.

②当切线斜率存在时，设切线：，即

则圆心到直线的距离：.

解得：，即

则切线方程为：

综上，切线方程为：和

19．如图，长方体中，、与底面所成的角分别为60°和45°，且，点P为线段上一点．

(1)求长方体的体积；

(2)求最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据长方体边长和体对角线的关系，求出边长得到体积.

（2）利用向量法找到最小值时的位置，求得最小值.

【详解】（1）因为平面，且、与底面所成的角分别为60°和45°，

所以，，因此设，

又，所以，因此，

因为，所以，解得，

故长方体的体积为；

（2）由题意，，

当时，取得最小值，最小值为，

因此的最小值为，故的最小值为．

20．已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求点N到直线l：的最大距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据斜率之积建立方程，化简后得到椭圆方程；

（2）设直线，根据几何性质，可知当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l距离最大，设出直线：，联立椭圆方程，由求出，利用两平行线间距离公式求出最大距离.

【详解】（1）由题意，设，则，，

因为直线，的斜率之积是，所以．

整理得椭圆方程为；

（2）由（1）中结论可得，椭圆方程为，

设直线，则当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离，

设直线：，联立方程

，得，则，

解得或，

因为要求点到直线l的最大距离，所以直线为，

故最大距离为．

21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，其中，侧面为正三角形，．

(1)证明：；

(2)求平面与平面的夹角余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明，

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，

【详解】（1）取的中点为E，连接，，

因为侧面为正三角形，所以，又底面为菱形且，

所以为正三角形，因此，又平面，平面，，

因此平面，平面，

所以，又因为，所以；

（2）由（1）中结论可得，，又，所以，

由，，可得，因此，

所以，

以为x轴，为y轴，向上为z轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，

，

，

设平面的法向量为，则

，

设平面的法向量为，则

，

因此，故平面与平面的夹角余弦值为．

22．如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）若直线l与曲线交于A，B两点，且以为直径的圆恒过坐标原点O，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，定值为.

【分析】(1)由题意有，从而，根据椭圆的定义可得答案.

(2) 当直线l的斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据题意得，即，将韦达定理代入可得，又原点O到直线l的距离，得出的值，根据，再验证直线l的斜率不存在时的情况，从而得出答案,

【详解】（1），圆心，半径. 由

连接，由点Q在圆内，又由点M在线段的垂直平分线上.

，，

由椭圆的定义知，点M的轨迹是以，Q为焦点的椭圆，其中，.

，点M的轨迹方程为.

（2）①当直线l的斜率存在时，设直线，，.

联立得，

由题意，（*）

且

以为直径的圆恒过坐标原点O，则，，

即，整理得，

代入上述（*）中，得恒成立.

设原点O到直线l的距离为h，由

由，可得

所以，而，.

②当直线l的斜率不存在时，设，则，则，代入椭圆方程得

综上，是定值，定值为.